高考数学 二轮复习 专题02 不等式与复数（练习）（解析版）

专题02不等式与复数目录01基本不等式二元式 102和式与积式 303柯西不等式二元式 704齐次化与不等式最值 1005复数的四则运算 1306复数的几何意义 1501基本不等式二元式1．（2023·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）若且，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．16【答案】C【解析】由题设，，当且仅当，即时等号成立．故选：C2．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若，，则的最小值为（

）A．1 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】设，则，由，得，即，则，，当且仅当，即时，等号成立，故选：C．3．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为正实数、满足，则，可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，故的最小值为．故选：B．4．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解析】由，，即，易知，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值为．故选：D5．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【解析】因为正实数x，y满足，所以，则，当且仅当且，即，时取等号．故选：C．6．（2023·广西玉林·高三博白县中学校考开学考试）若正数x，y满足，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当，即，时取等号．故选：C02和式与积式7．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考期中）已知，为方程的两个实根，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由题意得：，，，；对于A项：，因为：，所以：，所以得：，当且仅当时取等号，故A项正确；对于B项：由，所以得：，故B项错误；对于C项：，所以得：，故C项正确；对于D项：当时取等号，故D项正确．故选：ACD．8．（多选题）（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】，当且仅当，即时取等号，由于，所以，A正确，由于，，当且仅当且时，即时取等号，由于，所以，B正确，由以及可得，当且仅当，即时取等号，由于，所以，故C正确，，当且仅当，即时取等号，由于，所以D错误，故选：ABC9．（多选题）（2023·云南迪庆·高一统考期末）设正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为4 B．的最大值为C．的最大值为2 D．的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，，，，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，因为，所以的最大值为，故C错误；对于D，因为，故D正确．故选：ABD．10．（多选题）（2023·全国·高三校联考阶段练习）若，，且，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值2C．有最小值4 D．有最小值【答案】AC【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以有最大值，故A正确；对于B，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；对于C，，当且仅当，即时取等号，所以有最小值4，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误．故选：AC．11．（多选题）（2023·江苏无锡·高三统考期中）已知，，，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】AD【解析】A选项：，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，A选项正确；B选项：，当且仅当，即，时等号成立，B选项错误；C选项：由，得，，则，设函数，，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，C选项错误；D选项：，当且仅当，即，时等号成立，D选项正确；故选：AD．03柯西不等式二元式12．（2023·浙江湖州·高三统考期末）已知，，且，则的最小值是．【答案】【解析】凑配，进而根据柯西不等式结合已知求解即可．根据柯西不等式得：，，当且仅当时，上述两不等式取等号，所以，因为，所以当且仅当时，等号成立．故答案为：．13．（2023·浙江温州·统考二模）已知实数满足则的最大值为．【答案】【解析】直接利用柯西不等式得到答案．根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立．故答案为：．14．（2023·湖北武汉·统考一模）已知，则M的最大值为．【答案】1．【解析】利用柯西不等式求解．由柯西不等式得：，当且仅当，即取等号．故M的最大值为1故答案为：115．（2023·浙江金华·高三校联考期末）已知实数满足，则的取值范围为．【答案】【解析】由柯西不等式可得，，所以，即所以．故答案为：16．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知实数满足：，则的最小值为．【答案】2【解析】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点到直线的距离的倍”问题若相切，则有唯一解，两平行线与的距离所以方法二：柯西不等式法补充知识：二元柯西不等式已知两组数；，则已知两组数；，则所以，所以．方法三：判别式法设，将其代入，下面仿照方法一即可．方法四：整体换元根据对称性，不妨设，设，则，且方法五：三角换元由对称性，不妨设（为锐角）所以所以的最小值为217．（2023·河北衡水·高三河北安平中学校考期末）已知，则取得最小值时，，，形成的点．【答案】【解析】由于，故．当且仅当时等号成立，故．故答案为04齐次化与不等式最值18．（2023·山东日照·高一校考期中）已知，则的最小值是．【答案】【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解．∵∴且∴，当且仅当，即时取等号．∴的最小值为．故答案为：．19．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为．【答案】/【解析】因，则，即，令，则，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为．故答案为：20．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）若，则的最小值为．【答案】【解析】设，，所以，所以，其中满足，所以，所以，所以，即，所以，所以的最小值为．故答案为：21．（2023·天津滨海新·校联考模拟预测）已知，则的最大值是．【答案】【解析】先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值．，设，所以原式=，令所以原式=．（函数在上单调递增）故答案为：22．（2023·全国·高一专题练习）已知正数满足，且，求的值．【解析】，两边同时除以得，设得，解得或（舍去），，，两边同时除以得，．05复数的四则运算23．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知复数z满足，则复数z的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】设，复数满足，，化为，解得，或，，或1，或．故选：D．24．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，故选：A．25．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以的虚部为．故选：A．26．（2023·四川成都·校联考一模）已知为复数单位，，则的模为（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由可得，所以，所以，则．故选：A．27．（2023·湖南郴州·统考一模）已知复数是方程的一个根，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由复数是方程的一个根，得，解得，故选：D．06复数的几何意义28．（2023·江西赣州·统考二模）已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】设复数在复平面中对应的点为，由题意可得：，表示复平面中点到定点的距离为1，所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，因为表示表示复平面中点到定点的距离，所以，即的最大值为3．故选：C．29．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意设，由，得，因为，所以，解得，所以，所以．故选：A．30．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为复数，所以复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限．故选：C．31．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）棣莫弗公式，（是虚数单位，）是由法国数学家棣莫弗（）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内的复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，对应的点位于第二象限．故选：B32．（2023·安徽·校联考三模）已知复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由得，∴复数z在复平面内对应的点为，∴复数z在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．33．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】设，因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图，又，所以表示圆C上的动点到定点的距离，所以为，故选：B．34．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对