初中数学不等式组应用题专项训练

初中数学不等式组应用题专项训练引言：为什么不等式组应用题值得你关注？在初中数学的学习旅程中，不等式组的应用无疑是一块重要的基石。它不仅是对不等式知识的综合运用，更能培养同学们分析问题、解决问题的能力，以及将实际生活中的数量关系抽象为数学模型的思维习惯。这类题目往往与我们的日常生活紧密相连，比如分配物资、规划方案、优化选择等，掌握了它，你会发现数学原来如此“有用”。然而，不少同学在面对这类题目时，常常感到无从下手，或者在列不等式组时出现偏差。别担心，通过本次专项训练，我们将一起攻克这个难关，让你对不等式组应用题不再畏惧，从容应对。一、解题通用策略：拨开迷雾，找到关键解不等式组应用题，如同侦探破案，需要你仔细观察、冷静分析、合理推理。以下是一套经过实践检验的通用解题策略，希望能成为你解题时的“指南针”。1.审清题意，明确目标：拿到题目后，不要急于动笔。首先，通读一遍，了解题目讲述的是一个什么事件，已知条件有哪些，要求解决什么问题（通常是求某个量的取值范围，或确定最优方案等）。把关键信息，特别是那些表示数量大小关系的词语（如“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”、“大于”、“小于”等）圈划出来。2.设出未知数，用字母表示未知量：通常选择题目中所求的量设为未知数，用x（或y，z等）表示。有时为了方便列出关系式，也可能需要设间接未知数。设未知数时，要写清楚单位。3.找出不等关系，列出不等式组：这是解应用题的核心步骤。你需要从题目中找出所有能反映数量之间不等关系的语句，并将其转化为含有未知数的不等式。注意，可能不止一个不等关系，这就需要列出不等式组。如何找不等关系？关注“超过”、“不足”、“最多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“剩下的”、“不够的”等关键词，以及隐含在实际情境中的限制条件（如人数为正整数，物品数量为非负整数等）。4.解不等式组，求出解集：运用解一元一次不等式组的方法，求出未知数的取值范围。别忘了数轴这个好帮手，可以直观地帮你确定解集。5.检验解集的合理性，确定实际方案：数学解出的解集，一定要放回实际问题中去检验。因为在实际问题中，未知数往往有其特定的含义，比如人数必须是非负整数，物品个数不能为负数等。所以，我们要在解集范围内找到符合实际意义的解，有时可能还需要根据题目要求，比较不同方案的优劣，选择最佳方案。6.根据题目要求作答：最后，按照题目提出的问题，清晰、完整地写出答案。二、典型例题精讲：实战出真知类型一：分配与配套问题例题1：某校组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元。（1）求原计划租用45座客车的数量和参加社会实践活动的学生人数。（2）若你是本次活动的组织者，你认为怎样租用客车更合算？分析与解答：（1）第一步：设未知数。设原计划租用45座客车x辆。第二步：找不等关系（本题第一问实际是等量关系，为了完整性列出）。根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位”，学生人数可表示为：45x+15。根据“改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满”，学生人数也可表示为：60(x-1)。因为学生人数是固定的，所以：45x+15=60(x-1)。第三步：解方程。45x+15=60x-6015+60=60x-45x75=15xx=5则学生人数为：45×5+15=240（人）答：原计划租用45座客车5辆，参加社会实践活动的学生人数为240人。（2）第一步：明确问题。怎样租用客车（可以是混合租用），使得既能让240名学生都有座位，又能使租金最少。第二步：设未知数。设租用45座客车m辆，60座客车n辆，其中m、n为非负整数。第三步：找不等关系。总人数满足：45m+60n≥240（确保所有人都有座位）第四步：考虑租金。总租金W=220m+300n。我们需要在满足45m+60n≥240的前提下，找到使W最小的m、n的值。第五步：列举可能的方案并计算租金。由于车辆数为非负整数，我们可以根据m的可能取值进行讨论：*当n=0时，45m≥240→m≥5.333，m=6，租金W=220×6=1320元。*当n=1时，45m≥____=180→m≥4，租金W=220×4+300×1=880+300=1180元。*当n=2时，45m≥____=120→m≥2.666，m=3，租金W=220×3+300×2=660+600=1260元；m=2时，45×2+60×2=90+120=210<240，不行。*当n=3时，45m≥____=60→m≥1.333，m=2，租金W=220×2+300×3=440+900=1340元；m=1时，45+180=225<240，不行。*当n=4时，60×4=240，m=0，租金W=300×4=1200元。*比较上述方案的租金：1180元（m=4,n=1）<1200元（m=0,n=4）<1260元<1320元<1340元。答：租用4辆45座客车和1辆60座客车更合算。类型二：方案设计与优化问题例题2：某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的4倍，问最多能购进多少件B商品？分析与解答：（1）第一步：设未知数。设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元。第二步：列方程组。3x+2y=1205x+4y=220第三步：解方程组。将第一个方程×2：6x+4y=240减去第二个方程：(6x+4y)-(5x+4y)=____→x=20将x=20代入3x+2y=120：60+2y=120→y=30答：A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。（2）第一步：设未知数。设购进B商品m件，则购进A商品n件。第二步：找不等关系。总进价不超过1000元：20n+30m≤1000A商品数量不少于B商品数量的4倍：n≥4mm、n为正整数（或非负整数，根据实际情况，购进数量至少为1件或0件，此处“准备购进”，通常理解为至少购进一种，且数量为正整数）。第三步：将n用m表示并代入不等式。由n≥4m，为了使m尽可能大，n应取最小值，即n=4m（因为n越大，m就越小）。代入20n+30m≤1000：20×4m+30m≤1000→80m+30m≤1000→110m≤1000→m≤1000/110≈9.09第四步：确定m的最大值。因为m为正整数，所以m最大取9。检验：当m=9时，n≥4×9=36。此时总进价为20×36+30×9=720+270=990元≤1000元，符合题意。答：最多能购进9件B商品。三、专项练习题：小试牛刀1.环保问题：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？2.行程问题：小明上午8:00从家里出发，骑车去距家10千米的外婆家，他计划上午9:00之前到达。已知小明骑车的速度v（千米/小时）随路况有所变化，但整个过程中速度不超过15千米/小时，且不低于8千米/小时。求小明骑车速度v的取值范围。（提示：时间=路程/速度，所用时间要小于1小时）3.购物优惠问题：某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律九折；（3）一次性购物超过300元，一律八折。某人两次购物分别付款80元和252元。如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款多少元？（提示：252元可能是打九折后的价格，也可能是打八折后的价格，需分类讨论）4.工程问题：某工程队计划在10天内修路6千米。施工前2天修完1.2千米后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少千米？四、解题温馨提示与注意事项1.“至少”与“最多”：“至少”意味着“≥”，“最多”意味着“≤”，这是列不等式时最直接的信号。2.“不超过”与“不少于”：“不超过”就是“≤”，“不少于”就是“≥”。3.隐含条件：题目中往往没有明确说出，但根据生活实际或数学常识必须满足的条件，比如人数、物品件数必须是非负整数，时间、长度、重量等不能为负数等。这些是检验解集合理性的重要依据。4.单位统一：在设未知数和列不等式时，要注意单位的一致性，避免因单位混乱导致错误。5.多解情况：不等式组的解集可