高考数学 一轮复习 第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 讲（教师版）

第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）模型3：单面定球心法（定+算）模型4：双面定球心法（两次单面定球心）第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题建立模型球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.典型例题例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A解：因为平面，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均为直角三角形，设球的半径为r，则，而，，所以，解得，所以球的表面积为，故选：A.例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.【答案】

解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，因为，所以内切圆的半径，即内切球的半径，所以内切球的表面积，又正三棱柱的高，所以，所以，所以到球面上的点的距离最小值为；故答案为：；例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱有外接圆柱，点，分别在棱和上，.(1)若，且三棱柱有一个内切球，求三棱柱的体积；【答案】(1)(1)，是圆柱的上下底面圆心，而且点，分别在棱和上，由此可知是为斜边的直角三角形.,设的内切圆的半径为，则由等面积法，可知:,，故三棱柱的内切球的半径也是，故三棱柱的高，进而三棱柱的体积.题型归类练1．（2022·全国·高一）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B解：设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4，又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱的体积为h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝．故选：B．2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.【答案】有题意可知，，所以所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以，所以该圆锥的内切球的表面积为.故答案为：3．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为__________.【答案】##设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形的边长为，因为底面过球心，所以有，该正四棱锥的各侧面的高为，设该正四棱锥的表面积为，由等体积法可知：，故答案为：4．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．【答案】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，所以，所以，所以正四棱锥的表面积为，正四棱锥的体积为设正四棱锥内切球的半径为，则，解得，所以该四棱锥内切球的体积为，故答案为：高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法建立模型正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为，，，则外接球半径；（2）设正方体边长为，则外接球半径；典型例题例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．【答案】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以，所以所以外接球的表面积.故答案为：例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______.【答案】因为正方体的体对角线长度等于长方体外接球的直径，又正方体的棱长为2，所以正方体外接球的直径为，外接球的半径为，则该正方体外接球的表面积是.故答案为：.题型归类练1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】B设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是.故选：B2．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．【答案】1设正方体的棱长为，外接球的半径为，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得，由，可得，即，解得．故答案为：1．3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．【答案】解：设正方体外接球的半径为，则由题意可得，即，所以外接球的表面积为，故答案为：模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）典型例题例题1．（2022·全国·高一）若三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，则其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A侧棱，，两两互相垂直，且，，，作为正方体的棱长，如图：设外接球的半径为，则正方体的对角线的长，所以，所以外接球的表面积为.故选：A例题2．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．【答案】

由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：记该长方体的棱长为，则，即，所以，．故答案为：；题型归类练1．（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】C正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，所以外接球的直径，所以,外接球的表面积，故选：C2．（2022·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且，．则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B易得三棱锥外接球的直径为，则，故三棱锥外接球的半径，所以，故选：B.3．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】以线段为相邻的三条棱为长方体，连接,,,即为三棱锥，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为，则,解得,则.故答案为:.4．（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））四棱锥中，，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是__________．【答案】解：因为四棱锥的对棱相等，所以将四棱锥补成如图所示的长方体，则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球，所以球的直径为长方体的对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为，因为，所以，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故答案为：模型3：单面定球心法（定+算）建立模型单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.典型例题例题1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）在四面体中，都是边长为的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的表面积为_________.【答案】依题意作上图，取BD的中点P，连接AP，CP，取的中心E，的中心G，分别作平面ABD和平面BCD的垂线，得交点H，则H点就是四面体ABCD外接球的球心，CH就是球的半径r，，，外接球的面积为；故答案为：.例题2．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.【答案】设三角形ABC和三角形的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，可得，由正弦定理得，，而在三角形OCD中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面积为．故答案为：例题3．（2022·广西贺州·高一期末）已知的三个顶点都在球上，，，且三棱锥，则球的体积为（

）A． B． C． D．36【答案】D△ABC中，，，则取中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心，平面ABC则，解之得则球O的半径则球O的体积为故选：D例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球为三棱锥的外接球，球的体积为，正三角形的外接圆半径为，则三棱锥的体积的最大值为______．【答案】设外接圆的圆心为，因为正三角形的外接圆半径为，即，由正弦定理，得，所以，要使三棱锥的体积最大，则平面，且球心在线段上，因为球的体积为，所以球的半径为．在中，由勾股定理得，所以三棱锥体积的最大值．故答案为：题型归类练1．（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（

）A． B． C． D．【答案】B如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，取棱的中点，连接，作，垂足为.由题中数据可得，设四棱锥外接球的半径为，则，即，解得.由题意易证，则，故.故所求截面圆的面积是.故选：B2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（

）A．64π B．128π C．40π D．80π【答案】D由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，则三棱柱的外接球即为所求.设外接球的球心为，则的外心为，则，又，则外接球的半径，表面积，故选：D3．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）在中，角，，所对的边为，，，且，．又点，，都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A的外接圆半径则球的半径则球的体积为故选：A4．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知点在同一个球的球面上，，，，若四面体的体积的最大值为，则这个球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】D由，可得，所以为直角三角形，其面积为，所以直角所在截面小圆的半径，设点到平面的距离为，因为四面体体积取得最大值为，所以，解得，设四面体的外接球半径为，球心到截面的距离为，当到底面距离最远时，即时，四面体的体积取得最大值，因为，所以，解得，所以球的表面积为.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知球是正三棱锥的外接球，，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.【答案】解：如图，设的中心为，球的半径为，连接，，，，则，，在中，，解得，，，在中，，，过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．所得截面圆面积的取值范围是，故答案为：．模型4：双面定球心法（两次单面定球心）建立模型如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知点､､､都在球的球面上，，是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，且点在平面上的投影与在异侧，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B由题设，若是的中点，则是△的中心，连接，如下图示：由题设知：，，又，则面，而面，即面面，过作面，则必在直线上，易知：为与平面所成角的平面角，又与平面所成角的正弦值为，，可得.过作交于，易知：，而，即，又，故为的中点，，∴，即是球心，故球的半径为1，∴球的表面积为.故选：B例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面四边形中，，现沿进行翻折，使得到达的位置，连接，此时二面角为150°，则四面体外接球的半径为（

）A． B． C． D．【答案】C解：取BD的中点E，连接，，因为即，所以，，即为二面角的平面角，且，所以外接圆的圆心为，设外接圆的圆心为，则，过点，分别作平面，平面的垂线，交于点，则即为四