广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学（集团）2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

华中师范大学龙岗附属中学（集团）2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.如图，下列条件中能使成为菱形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据菱形的判定定理可得．【详解】解：A、AB=CD不能判定▱ABCD是菱形，故不符合题意；B、AC=BD只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；C、∠BAD=90°只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；D、AB=BC能判定▱ABCD是菱形，故符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．2.学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先画出树状图，然后运用概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一女两位选手的概率为．故选C．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意正确画出树状图成为解答本题的关键．3.已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由根的判别式，可得出，选项A不符合题意；将代入一元二次方程中可得出，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．【详解】解：根据题意得∶，∴，选项A不符合题意；∵是一元二次方程的实数根，∴，选项B不符合题意；∵是一元二次方程的两个实数根，∴，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式一，根与系数的关系是解题的关键．4.如图，相交于点E，，则的长为（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．【详解】∵∴∴∵，∴∵∴故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．5.如图，在菱形中，对角线，则的面积为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的．【详解】是菱形的面积故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键．6.用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：，，，，故选：D．【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．7.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A.测量两条对角线否相等B.度量两个角是否是90°C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D.测量两组对边是否分别相等【答案】C【解析】【分析】由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为不能判定矩形，可判断B，对角线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形，可判断D，从而可得答案．【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键．8.函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0．在方程中，△=，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．9.文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A.（38﹣x）（160+×120）＝3640B.（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C.（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D.（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640【答案】D【解析】【分析】由这种工艺品的销售价每个降低x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38-x-22）元，销售量为（160+×120）个，利用销售总利润=每个的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这种工艺品的销售价每个降低x元，∴每个工艺品的销售利润为（38-x-22）元，销售量为（160+×120）个．依题意得：（38-x-22）（160+×120）=3640．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图2，设，则可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m与x的关系式，在直角中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可．【详解】解：设图2：设∴∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.若，则________．【答案】【解析】【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．【详解】由可得，，代入．故答案为．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．12.已知是方程的一个根，则方程的另一个根是_____．【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：，即．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，．13.如图，．若，，则______．【答案】10【解析】【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．【详解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．【答案】【解析】【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．【详解】解：如图，连接EG，根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，∴∠EBG＝∠CBG，在△EBG和△CBG中，，∴△EBG≌△CBG（SAS），∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，∴AE＝＝8，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，∴EG2﹣DE2＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，解得CG＝．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．15.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且，过点E作DE的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为_____．【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据，即可求得MN的长．【详解】解：作交于点H，作于点K，∵BF平分，，∴四边形BHFK是正方形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵正方形ABCD的边长为3，，∴，设，则，∴，解得，即；∵，∴。又∵，∴，∴，∵，∴，设，则，∴，解得，即，∵，∴，∴，∴，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．三．解答题（共55分）16.用适当的方法解下列方程：．【答案】【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：解得：．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．17.小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：小敏：两边同除以，得，则．（×）小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．18.为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．【答案】（1）随机；（2）【解析】【分析】（1）随机事件是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，随机事件与确定性事件相比，是不确定的，因为对这种事件我们不能确定它是发生呢，还是不发生，即对事件的结果无法确定．根据定义可得答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，得到都被选中的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．【详解】解：（1）由随机事件的定义可得：“A志愿者被选中”随机事件，故答案：随机．（2）画树状图如下：一共有种等可能的结果，其中都被选中的结果数有种，A，B两名志愿者被选中的概率【点睛】本题考查是随机事件的概念，利用画树状图或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是解题的关键．19.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．【答案】（1）详见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）利用菱形的性质，由SAS证明即可；（2）证是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在和中，，∴（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．20.如图，将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是300，求原正方形铁皮的边长．【答案】16cm【解析】【分析】设正方形铁皮的边长应是xcm，则做成没有盖的长方体盒子的长为cm，宽为cm，高为3cm，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．【详解】解：设正方形铁皮的边长应是xcm，则做成没有盖的长方体盒子的长为cm，宽为cm，高为3cm，根据题意列方程得，解得（不合题意，舍去）．∴原正方形铁皮边长是16cm．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．21.(1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．则=_______．(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．①求的值；②延长交于点，交于点．若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)；(3)①；②【解析】【分析】(1)证明，从而得出结论；(2)证明，进而得出结果；(3)①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果．【详解】(1)证明：∵和都是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；(2)解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴；(3)解：①∵，设，∴．∴，，∴，∴，∴；②由①得：，，，则∴，∵，∴，∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22.综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：（1）图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中，AB=2，BC=3，则；（3）当AB=m,BC=n时．．（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．【答案】（1），证明见解析（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）先证明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；（2）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；（3）连接AF，先证明△A