2025年下学期高中数学竞赛组合极值试卷

2025年下学期高中数学竞赛组合极值试卷一、填空题（每题8分，共64分）设集合(S={1,2,\ldots,2025})，A是S的子集，且满足对任意(x,y\inA)，若(x<y)则(y\nmid3x)，则A的元素个数的最大值为________。在8×8的方格表中，将每个方格染为红、蓝两色之一，要求任意2×2的子方格表中恰有2个红格，则红格总数的最小值为________。已知正整数(n\geq2)，将1，2，…，n排成一个数列，使得任意连续三项之和均不大于10，则n的最大值为________。设(a_1,a_2,\ldots,a_{10})是1，2，…，10的一个排列，定义(f(k)=|a_1-a_2|+|a_3-a_4|+\ldots+|a_{2k-1}-a_{2k}|)，则(f(5))的最大值为________。圆周上有20个点，用弦将它们连接起来，要求任意两条弦不相交，且每个点至少引出一条弦，则弦的条数的最小值为________。设(x_1,x_2,\ldots,x_n)是正实数，满足(x_1+x_2+\ldots+x_n=1)，则(\sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{1-x_i})的最小值为________。从1，2，…，100中任取k个数，使得其中必有两个数的差为6，则k的最小值为________。已知正整数m，n满足(m+n=2025)，则(\gcd(m,n))的最大值为________。二、解答题（共56分）9.（16分）设(n)是正整数，(A_1,A_2,\ldots,A_n)是集合({1,2,\ldots,n})的n个子集，满足对任意(i\neqj)，(|A_i\DeltaA_j|\geq2)（其中(A\DeltaB)表示A与B的对称差）。证明：存在某个(A_i)，使得(|A_i|\leq\frac{n}{2})。10.（20分）在平面直角坐标系中，点集(S={(x,y)|x,y\in{0,1,\ldots,n}})，将S中的每个点染为红、蓝两色之一。证明：存在一个矩形，其四个顶点颜色相同，且边平行于坐标轴，该矩形的面积不小于(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor^2)。11.（20分）设(a_1,a_2,\ldots,a_m)是正整数，满足(a_1+a_2+\ldots+a_m=2025)，且对任意(1\leqi<j\leqm)，(a_i\neqa_j)。求m的最大值，并说明理由。参考答案与解析一、填空题1350解析：将S划分为3个公差为3的等差数列：(S_1={1,4,7,\ldots,2023})（共675项）(S_2={2,5,8,\ldots,2024})（共675项）(S_3={3,6,9,\ldots,2025})（共675项）在(S_3)中，每个数是3的倍数，任取两个数(3k<3l)，则(3l\mid3\times3k)等价于(l\mid3k)，故最多取(\left\lfloor\frac{675}{2}\right\rfloor=337)项。在(S_1,S_2)中，任意两数之比不为3，可全取。因此最大值为(675+675+337=1687)？（修正：正确划分应为模3剩余类，避免3倍关系，正确答案为(2025-\left\lfloor\frac{2025}{3}\right\rfloor=1350)）16解析：采用周期染色法，2×2区块内红格呈对角分布，每个2×2区块含2红格，8×8表格共16个2×2区块，总红格数为(16\times2-16=16)（重叠部分抵消）。6解析：构造数列1，3，6，1，3，6（和为1+3+6=10），验证连续三项和均≤10，n=6时成立；n=7时，添加任何数均导致某三项和>10。40解析：将1-10分为5组，每组差最大：(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)，总和为9+7+5+3+1=25；调整为(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(6,5)，总和不变。正确构造：(1,10),(3,9),(2,8),(4,7),(5,6)，差为9+6+6+3+1=25。（修正：最大值应为(1,10)+(2,9)+(3,8)+(4,7)+(5,6)的差之和：9+7+5+3+1=25）10解析：20个点构成10条不相交弦，形成10个区域，每个点至少一条弦，最小弦数为10。(\frac{1}{n-1})解析：由柯西不等式(\sum\frac{x_i^2}{1-x_i}\geq\frac{(\sumx_i)^2}{\sum(1-x_i)}=\frac{1}{n-1})，等号成立当(x_i=\frac{1}{n})。53解析：将1-100分为50组：(1,7),(2,8),…,(50,56),(57,63),…,(94,100)，共50组，每组取1个数，再取51-56共6个数，共50+3=53个数必含差为6的数对。675解析：(\gcd(m,2025-m)=\gcd(m,2025))，2025=3⁴×5²，最大公约数为2025的最大真因子，即(2025\times\frac{1}{3}=675)。二、解答题证明：假设所有(|A_i|>\frac{n}{2})，考虑特征函数(f_i(x)=1)（若(x\inA_i)），则(\sum_{i=1}^nf_i(x))表示x属于的子集个数。由抽屉原理，存在x被至少(\frac{n}{2}+1)个子集包含，此时对称差(|A_i\DeltaA_j|<2)，矛盾。故存在(|A_i|\leq\frac{n}{2})。证明：对每行n+1个点，由抽屉原理，至少(\left\lceil\frac{n+1}{2}\right\rceil)个红点或蓝点。考虑列坐标，若某色点在某列出现≥(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1)次，则构成面积≥(\left\lfloor\frac{n}{3}\rig