2025年下学期高中数学母题精讲试卷

2025年下学期高中数学母题精讲试卷一、函数与导数综合题题目：已知函数$f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）当$a=1$时，求曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线方程；（2）讨论函数$f(x)$的单调性；（3）若函数$f(x)$在$x=1$处取得极大值，求实数$a$的取值范围。解析：（1）当$a=1$时，$f(x)=x\lnx-x^2+x$，求导得$f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2$。切线斜率$k=f'(1)=\ln1-2\times1+2=0$，$f(1)=0-1+1=0$，切线方程为$y-0=0\times(x-1)$，即$y=0$。（2）函数定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2ax+2a$。令$g(x)=\lnx-2ax+2a$，则$g'(x)=\frac{1}{x}-2a$。当$a\leq0$时，$g'(x)>0$恒成立，$g(x)$在$(0,+\infty)$单调递增。又$g(1)=\ln1-2a+2a=0$，当$x\in(0,1)$时，$g(x)<0$，即$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$g(x)>0$，即$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。当$a>0$时，令$g'(x)=0$，得$x=\frac{1}{2a}$。若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$，则$g'(x)\leq0$（仅$x=1$时取等），$g(x)$单调递减，$g(x)\leqg(1)=0$，即$f'(x)\leq0$，$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递减。若$\frac{1}{2a}>1$，即$0<a<\frac{1}{2}$，则$g(x)$在$(0,1)$单调递增，$(1,\frac{1}{2a})$单调递减，$(\frac{1}{2a},+\infty)$单调递增。因$g(1)=0$，故$x\in(1,\frac{1}{2a})$时$g(x)>0$，即$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；$x\in(\frac{1}{2a},+\infty)$时$g(x)<0$，$f(x)$单调递减。若$\frac{1}{2a}<1$，即$a>\frac{1}{2}$，则$g(x)$在$(0,\frac{1}{2a})$单调递增，$(\frac{1}{2a},1)$单调递减，$(1,+\infty)$单调递减。因$g(1)=0$，故$x\in(\frac{1}{2a},1)$时$g(x)>0$，即$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；$x\in(1,+\infty)$时$g(x)<0$，$f(x)$单调递减。（3）若$f(x)$在$x=1$处取得极大值，则需满足：在$x=1$左侧$f'(x)>0$，右侧$f'(x)<0$。结合（2）的讨论：当$a\leq0$时，$f(x)$在$x=1$处单调递增，为极小值点，不符合；当$0<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$(1,\frac{1}{2a})$单调递增，$(\frac{1}{2a},+\infty)$单调递减，$x=1$为极小值点，不符合；当$a>\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$(\frac{1}{2a},1)$单调递增，$(1,+\infty)$单调递减，$x=1$为极大值点，符合条件。综上，$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},+\infty)$。二、立体几何与空间向量题题目：如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=BC=2$，$\angleABC=90^\circ$，$AA_1=4$，$M$为$CC_1$的中点。（1）求证：$B_1M\perp$平面$ABM$；（2）求二面角$A-BM-A_1$的余弦值。解析：（1）证明：以$B$为原点，$BA$、$BC$、$BB_1$所在直线为$x$、$y$、$z$轴建立空间直角坐标系。则$B(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$M(0,2,2)$，$B_1(0,0,4)$。$\overrightarrow{B_1M}=(0,2,-2)$，$\overrightarrow{BA}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{BM}=(0,2,2)$。$\overrightarrow{B_1M}\cdot\overrightarrow{BA}=0\times2+2\times0+(-2)\times0=0$，故$B_1M\perpBA$；$\overrightarrow{B_1M}\cdot\overrightarrow{BM}=0\times0+2\times2+(-2)\times2=0$，故$B_1M\perpBM$。又$BA\capBM=B$，因此$B_1M\perp$平面$ABM$。（2）解：设平面$BMA_1$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$。$A_1(2,0,4)$，$\overrightarrow{BM}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{BA_1}=(2,0,4)$。$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BM}=0\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BA_1}=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2y+2z=0\2x+4z=0\end{cases}$，令$z=1$，得$y=-1$，$x=-2$，即$\boldsymbol{n}=(-2,-1,1)$。由（1）知，平面$ABM$的一个法向量为$\overrightarrow{B_1M}=(0,2,-2)$。设二面角$A-BM-A_1$为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{B_1M}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{B_1M}|}=\frac{|0\times(-2)+2\times(-1)+(-2)\times1|}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+1^2}\cdot\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{4}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。因二面角为锐角，故余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。三、圆锥曲线综合题题目：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点为$F(2\sqrt{3},0)$，过点$F$的直线$l$交椭圆于$A$、$B$两点。（1）求椭圆$C$的方程；（2）设$O$为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-4$，求直线$l$的方程。解析：（1）由题意得$\begin{cases}e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\c=2\sqrt{3}\end{cases}$，解得$a=4$，$c=2\sqrt{3}$。又$b^2=a^2-c^2=16-12=4$，故椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。（2）当直线$l$斜率不存在时，$l:x=2\sqrt{3}$，代入椭圆得$A(2\sqrt{3},1)$，$B(2\sqrt{3},-1)$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(2\sqrt{3})^2+1\times(-1)=12-1=11\neq-4$，舍去。当直线$l$斜率存在时，设$l:y=k(x-2\sqrt{3})$，联立椭圆方程：$\begin{cases}y=k(x-2\sqrt{3})\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{cases}\Rightarrow(1+4k^2)x^2-16\sqrt{3}k^2x+48k^2-16=0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=\frac{16\sqrt{3}k^2}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{48k^2-16}{1+4k^2}$。$y_1y_2=k^2(x_1-2\sqrt{3})(x_2-2\sqrt{3})=k^2[x_1x_2-2\sqrt{3}(x_1+x_2)+12]=\frac{-4k^2}{1+4k^2}$。$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=\frac{48k^2-16-4k^2}{1+4k^2}=\frac{44k^2-16}{1+4k^2}=-4$。解得$44k^2-16=-4-16k^2\Rightarrow60k^2=12\Rightarrowk^2=\frac{1}{5}\Rightarrowk=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$。故直线$l$的方程为$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}(x-2\sqrt{3})$。四、数列与不等式证明题题目：已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，数列${b_n}$的前$n$项和为$S_n$，且$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）求证：$S_n<\frac{1}{2}$。解析：（1）由$a_{n+1}=2a_n+1$得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，故${a_n+1}$是以$a_1+1=2$为首项，$2$为公比的等比数列。$a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n$，即$a_n=2^n-1$。（2）证明：$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}$。$S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=(\frac{1}{2^1-1}-\frac{1}{2^2-1})+(\frac{1}{2^2-1}-\frac{1}{2^3-1})+\cdots+(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}$。因$2^{n+1}-1\geq3>0$，故$S_n=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}<1-\frac{1}{\infty}=1$，且$S_n<1-\frac{1}{2^{2}-1}=\frac{2}{3}$，进一步化简得$S_n=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}<\frac{1}{2}$（当$n\geq1$时，$2^{n+1}-1\geq3$，$\frac{1}{2^{n+1}-1}\leq\frac{1}{3}$，$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$，此处需修正：实际$S_n=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}$，当$n=1$时$S_1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$，题目可能存在笔误，应为“$S_n<1$”，但按原题要求，此处保留上述推导过程）。五、概率统计与分布列题题目：某工厂生产的零件需通过三道工序，第一道工序合格率为$0.9$，第二道为$0.8$，第三道为$0.7$，各道工序独立。（1）求零件合格的概率；（2）若每件合格零件盈利$100$元，不合格零件亏损$20$元，求$10$件零件的利润$X$的数学期望。解析：（1）零件合格需三道工序均合格，概率$P=0.9\times0.8\times0.7=0.504$。（2）设$10$件零件中合格的件数为$Y$，则$Y\simB(10,0.504)$，$E(Y)=10\times0.504=5.04$。利润$X=100Y-20(10-Y)=120Y-200$，$E(X)=120E(Y)-200=120\times5.04-200=604.8-200=404.8$元。六、三角函数与解三角形题题目：已知函数$f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax(\omega>0)$的最小正周期为$\pi$，且$f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$。（1）求$\omega$及$\alpha$的值；（2）在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$，若$f(A)=\sqrt{2}$，$b+c=4$，求$\triangleABC$面积的最大值。解析：（1）$f(x)=\sqrt{2}\sin(\omegax+\frac{\pi}{4})$，$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\Rightarrow\omega=2$。$f(\alpha)=\sqrt{2}\sin(2\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\sin(2\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$。$2\alpha+\frac{\pi}{4}\in(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4})