2025年下学期高中数学能力点贯通试卷

2025年下学期高中数学能力点贯通试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|log₂(x-1)=0}，则A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅函数f(x)=√(x-1)+log₂(3-x)的定义域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，且a//b，则m的值为（）A.-4B.4C.-9D.9已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)=（）A.-7√2/10B.7√2/10C.-√2/10D.√2/10已知数列{an}是等差数列，a1=1，a3+a5=14，则数列{an}的公差d=（）A.1B.2C.3D.4已知直线l1:2x-y+1=0，l2:ax+4y-2=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A.-2B.2C.-8D.8已知函数f(x)=x³-3x²+2，则函数f(x)的单调递减区间是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)已知圆C:x²+y²-4x+6y-3=0，则圆C的圆心坐标和半径分别是（）A.(2,-3)，4B.(-2,3)，4C.(2,-3)，16D.(-2,3)，16已知抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=5，则点P的横坐标是（）A.3B.4C.5D.6已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.8πcm³B.12πcm³C.16πcm³D.20πcm³已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π/2)的图象关于直线x=π/6对称，则φ的值为（）A.π/6B.π/3C.-π/6D.-π/3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)=x²-2x，则f(2025)=（）A.-1B.0C.1D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知tanα=2，则sin2α=________。已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，公比q=2，则S5=________。已知点A(1,2)，B(3,4)，则线段AB的垂直平分线方程为________。已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1处取得极大值7，在x=3处取得极小值，则a=，b=，c=________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，b=3，cosC=1/4。（1）求c的值；（2）求sinA的值。（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn。（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求三棱锥P-ABC的体积；（3）求二面角A-PC-B的余弦值。（本小题满分12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若kOA·kOB=-1/4，求△AOB面积的最大值。（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，证明：f(x)≤x-1。（本小题满分12分）为了了解某校学生的身高情况，随机抽取了该校100名学生进行身高测量，得到如下频率分布表：身高区间（cm）[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180]频率0.050.150.250.300.150.10（1）求这100名学生身高的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）；（2）若该校学生身高服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ，σ²分别为（1）中所求的平均数和方差，估计该校学生身高在170cm以上的概率；（3）从身高在[150,155)和[175,180]的学生中按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高差的绝对值不小于20cm的概率。（附：若X~N(μ,σ²)，则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）B2.A3.A4.C5.B6.A7.B8.A9.B10.B11.C12.A二、填空题（每小题5分，共20分）4/514.3115.x+y-5=016.-3，-9，2三、解答题（共70分）（本小题满分10分）解：（1）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×2×3×1/4=10，所以c=√10。（5分）（2）由cosC=1/4得sinC=√(1-cos²C)=√15/4，由正弦定理得a/sinA=c/sinC，所以sinA=asinC/c=2×√15/4/√10=√6/4。（10分）（本小题满分12分）（1）证明：因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2≠0，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。（4分）（2）解：由（1）得an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，所以Sn=a1+a2+…+an=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2(2n-1)/(2-1)-n=2n+1-n-2。（12分）（本小题满分12分）（1）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB。（4分）（2）解：因为PA⊥平面ABC，所以三棱锥P-ABC的体积V=1/3S△ABC·PA=1/3×1/2×2×2×2=4/3。（8分）（3）解：以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，所以PC=(0,2,-2)，BC=(-2,2,0)，设平面PBC的法向量n=(x,y,z)，则n·PC=0，n·BC=0，即2y-2z=0，-2x+2y=0，令y=1，则x=1，z=1，所以n=(1,1,1)，又平面APC的法向量m=(1,0,0)，所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=1/√3=√3/3，由图知二面角A-PC-B为钝角，所以二面角A-PC-B的余弦值为-√3/3。（12分）（本小题满分12分）解：（1）由题意得e=c/a=√3/2，4/a²+1/b²=1，a²=b²+c²，解得a²=8，b²=2，所以椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1。（4分）（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=kx+m和x²/8+y²/2=1得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-8=0，则Δ=64k²m²-4(1+4k²)(4m²-8)=16(8k²-m²+2)>0，x1+x2=-8km/(1+4k²)，x1x2=(4m²-8)/(1+4k²)，所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²=k²(4m²-8)/(1+4k²)-8k²m²/(1+4k²)+m²=(m²-8k²)/(1+4k²)，因为kOA·kOB=y1y2/x1x2=-1/4，所以(m²-8k²)/(4m²-8)=-1/4，解得m²=2+4k²，所以Δ=16(8k²-2-4k²+2)=64k²>0，所以|AB|=√(1+k²)|x1-x2|=√(1+k²)√[(x1+x2)²-4x1x2]=√(1+k²)√[64k²m²/(1+4k²)²-4(4m²-8)/(1+4k²)]=√(1+k²)√[64k²(2+4k²)/(1+4k²)²-4(8k²)/(1+4k²)]=√(1+k²)√[32k²(1+2k²)/(1+4k²)²-32k²/(1+4k²)]=√(1+k²)√[32k²(1+2k²-1-4k²)/(1+4k²)²]=√(1+k²)√[32k²(-2k²)/(1+4k²)²]=√(1+k²)√[64k4/(1+4k²)²]=8k²√(1+k²)/(1+4k²)，又点O到直线l的距离d=|m|/√(1+k²)=√(2+4k²)/√(1+k²)，所以S△AOB=1/2|AB|d=1/2×8k²√(1+k²)/(1+4k²)×√(2+4k²)/√(1+k²)=4k²√(2+4k²)/(1+4k²)，令t=1+4k²(t≥1)，则k²=(t-1)/4，所以S△AOB=4×(t-1)/4×√(2+4×(t-1)/4)/t=(t-1)√(t+1)/t=√[(t-1)²(t+1)]/t=√[(t3-t2-t+1)/t2]=√[t-1-1/t+1/t2]，令f(t)=t-1-1/t+1/t2(t≥1)，则f'(t)=1+1/t2-2/t3=(t3+t-2)/t3，当t≥1时，t3+t-2≥1+1-2=0，所以f(t)在[1,+∞)上单调递增，所以当t=1时，f(t)取得最小值0，所以S△AOB的最大值为√0=0，又当k=0时，直线l:y=m，代入椭圆方程得x²=8(1-m²/2)=8-4m²，由m²=2+4k²=2得m=±√2，所以x=±√(8-4×2)=0，此时A，B两点重合，不符合题意，所以△AOB面积的最大值为√2。（12分）（本小题满分12分）解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1/x-a=1-ax/x，当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，令f'(x)=0得x=1/a，当0<x<1/a时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x>1/a时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减。（4分）（2）当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，最多有一个零点，不符合题意；当a>0时，函数f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1/a)=ln(1/a)-a×1/a=-lna-1，要使函数f(x)有两个零点，需f(x)max>0，即-lna-1>0，解得0<a<1/e，又当x→0+时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→-∞，所以a的取值范围是(0,1/e)。（8分）（3）证明：当a=1时，f(x)=lnx-x，要证f(x)≤x-1，即证lnx-x≤x-1，即证lnx-2x+1≤0，令g(x)=lnx-2x+1，则g'(x)=1/x-2=1-2x/x，令g'(x)=0得x=1/2，当0<x<1/2时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增，当x>1/2时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，所以g(x)max=g(1/2)=ln(1/2)-2×1/2+1=-ln2-1+1=-ln2<0，所以lnx-2x+1≤0，即f(x)≤x-1。（12分）（本小题满分12分）解：（1）这100名学生身高的平均数μ=152.5×0.05+157.5×0.15+162.5×0.25+167.5×0.30+172.5×0.15+177.5×0.10=7.625+23.625+40.625+50.25+25.875+17.75=165.75，方差σ²=(152.5-165.75)²×0.05+(157.5-165.75)²×0.15+(162.5-165.75)²×0.25+(167.5-165.75)²×0.30+(172.5-165.75)²×0.15+(177.5-165.75)²×0.10=175.5625×0.05+68.0625×0.15+10.5625×0.25+3.0625×0.30+45.5625×0.15+138.0625×0.10=8.778125+10.209375+2.640625+0.91875+6.834375+13.80625=43.1875。（4分）（2）由（1）得μ=165.75，σ²=43.1875，所以σ=√43.1875≈6.57，所以P(X>170)=P(X>μ+0.65σ)=1-P(X≤μ+0.65σ)=1-[P(μ-σ<X≤μ+σ)+P(μ+σ<X≤μ+0.65σ)]/2≈1-[0.6827+(0.9545-0.6827)/2]/2≈1-[0.6827+0.1359]/2≈1-0.4093=0.5907，所以估计该校学生身高在170cm以上的概率为0.5907。（8分）（3）身高在[150,155)的学生有100×0.05=5人，身高在[175,180]的学生有100×0.10=10人，按分层抽样的方法抽取5人，其中身高在[150,155)的学生有5×5/(5+10)=5/3人，不符合题意，所以应按身高在[150,155)和[175,180]的学生人数比5:10=1:2抽取，所以身高在[150,155)的学生抽取5×1/3=1人，身高在[175,180]的学生抽取5×2/3=2人，不符合题意，所以应重新计算，身高在[150,15