2025年下学期高中数学微分几何技术观试卷

2025年下学期高中数学微分几何技术观试卷一、选择题（每题5分，共30分）曲线论基本概念设空间曲线(\boldsymbol{r}(t)=(t,t^2,t^3))，则其在(t=1)处的切向量为（）A.((1,2,3))B.((1,1,1))C.((0,2,6))D.((1,2t,3t^2))Frenet标架性质若曲线的挠率(\tau\equiv0)，则该曲线一定是（）A.直线B.平面曲线C.球面曲线D.一般螺线曲面第一基本形式曲面(\boldsymbol{r}(u,v)=(u\cosv,u\sinv,v))的第一基本形式系数(E,F,G)满足（）A.(E=1,F=0,G=u^2+1)B.(E=u^2,F=1,G=1)C.(E=1,F=u,G=u^2)D.(E=u^2,F=0,G=1)法曲率几何意义曲面上一点的法曲率(k_n)刻画了（）A.曲面在该点的弯曲程度B.曲线在该点的切线方向与法向量的夹角C.曲面沿某方向的弯曲程度D.曲面的内蕴性质Gauss绝妙定理根据Gauss定理，曲面的Gauss曲率(K)是（）A.仅与第一基本形式有关的内蕴量B.仅与第二基本形式有关的外蕴量C.同时依赖于第一和第二基本形式D.与曲面的参数选取无关的常数测地线应用在球面上，测地线对应的几何意义是（）A.球面的半径B.球面的切平面与球面的交线C.过球心的平面与球面的交线（大圆）D.球面上任意两点间距离最短的曲线二、填空题（每题6分，共30分）曲率与挠率计算平面曲线(y=x^2)在原点处的曲率(k=)______。Frenet公式空间曲线的Frenet公式中，主法向量(\boldsymbol{\beta})的导数(\frac{d\boldsymbol{\beta}}{ds}=)______。曲面基本形式若曲面的第一基本形式为(I=du^2+(u^2+1)dv^2)，则曲面上曲线(u=v)从(v=0)到(v=1)的弧长为______。主曲率关系若曲面在某点的主曲率(k_1=2)，(k_2=-1)，则该点的平均曲率(H=)______，Gauss曲率(K=)______。可展曲面类型可展曲面包括______、______和______三类。三、计算题（每题12分，共36分）曲线论综合计算已知空间曲线(\boldsymbol{r}(t)=(\cost,\sint,t))，求：（1）曲线的自然参数(s(t))；（2）曲率(k(s))和挠率(\tau(s))；（3）验证Frenet公式(\frac{d\boldsymbol{\alpha}}{ds}=k\boldsymbol{\beta})。曲面基本形式与曲率给定旋转抛物面(z=x^2+y^2)，求：（1）曲面的参数方程（以(x=u,y=v)为参数）；（2）第一基本形式(I)和第二基本形式(II)；（3）在原点处的主曲率和Gauss曲率。测地线方程应用证明：圆柱面(\boldsymbol{r}(u,v)=(\cosu,\sinu,v))上的测地线满足(v=a\sinu+b)（其中(a,b)为常数）。四、证明题（14分）Gauss曲率内蕴性证明设曲面的第一基本形式为(I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2)，证明Gauss曲率(K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2})可仅用(E,F,G)及其各阶偏导数表示（无需具体推导公式，只需说明思路并指出关键步骤）。五、应用题（20分）齿轮啮合曲面设计某机械传动系统中，两个齿轮的啮合曲面需满足“接触点处法曲率匹配”条件。已知主动轮曲面在接触点的主曲率为(k_1=3,\text{mm}^{-1})，(k_2=1,\text{mm}^{-1})，从动轮曲面的Gauss曲率(K=2,\text{mm}^{-2})。（1）求从动轮曲面在接触点的两个主曲率；（2）若主动轮曲面沿某方向的法曲率(k_n=2,\text{mm}^{-1})，求从动轮曲面在同一方向的法曲率（提示：使用Euler公式(k_n=k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta)）。六、开放探究题（20分）微分几何与3D打印技术3D打印中的“分层制造”技术需将三维模型分解为多层平面曲线。假设某模型的表面为旋转曲面(\boldsymbol{r}(u,v)=(f(u)\cosv,f(u)\sinv,u))（其中(f(u))为光滑函数），请回答：（1）如何利用曲面的第一基本形式计算每层切片曲线的长度？（2）若打印材料的抗拉强度与曲面的Gauss曲率正相关，应如何调整(f(u))使模型在(u=1)处的结构强度最大？试卷设计说明知识点覆盖：涵盖曲线论（参数化、曲率挠率、Frenet公式）和曲面论（基本形式、法曲率、主曲率、Gauss曲率）核心