2025年下学期高中数学意识观试卷

2025年下学期高中数学意识观试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合与函数概念已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，则(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3])D.((1,3])2.三角函数的应用某摩天轮的半径为50米，圆心距地面100米，运行一周需30分钟。若某游客从摩天轮最低点开始计时，则第10分钟时，该游客距离地面的高度为（）A.75米B.100米C.125米D.150米3.数列与数学建模某公司2025年1月的销售额为100万元，由于市场拓展，每月销售额的增长率为(r)，若第一季度总销售额为331万元，则(r=)（）A.5%B.10%C.15%D.20%4.立体几何与空间想象在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(E)为棱(BB_1)的中点，则三棱锥(E-ACD_1)的体积为（）A.(\frac{2}{3})B.(\frac{4}{3})C.2D.(\frac{8}{3})5.概率与统计某学校为了解学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行调查，得到如下频率分布直方图：（注：直方图中各组数据区间为([0,2))，([2,4))，([4,6))，([6,8))，([8,10])，对应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05）则这100名学生每周体育锻炼时长的中位数为（）A.4.5小时B.5小时C.5.5小时D.6小时6.导数与函数单调性函数(f(x)=x^3-3x^2+2)的单调递减区间为（）A.((-\infty,0))B.((0,2))C.((2,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(2,+\infty))7.平面解析几何已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，且过点((2,\sqrt{6}))，则该双曲线的标准方程为（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)8.数学文化与逻辑推理《九章算术》中记载：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意为：直角三角形的两条直角边分别为8步和15步，求其内切圆的直径。则该内切圆的直径为（）A.3步B.4步C.5步D.6步9.参数方程与极坐标在极坐标系中，曲线(\rho=2\cos\theta)与直线(\theta=\frac{\pi}{4}(\rho\in\mathbb{R}))的交点坐标为（）A.((\sqrt{2},\frac{\pi}{4}))B.((1,\frac{\pi}{4}))C.((\sqrt{2},-\frac{\pi}{4}))D.((1,-\frac{\pi}{4}))10.概率与实际应用某工厂生产的零件需经过三道工序，第一道工序的合格率为95%，第二道工序的合格率为90%，第三道工序的合格率为98%。若三道工序互不影响，则该零件的合格率为（）A.83.79%B.85.5%C.90%D.95%11.函数的综合应用已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_{\frac{1}{2}}x,&x>0,\end{cases})则不等式(f(x)\geq-1)的解集为（）A.([-1,2])B.((-\infty,-1]\cup[2,+\infty))C.((-\infty,2])D.([-1,+\infty))12.创新题型：数学建模与优化某快递公司计划在甲、乙两地之间设立中转站，已知甲、乙两地相距100千米，中转站(P)到甲地的距离为(x)千米，每天从(P)到甲、乙两地的货物运输成本分别为(2x)元和(3(100-x))元。若要使总成本最低，则(x=)（）A.30千米B.40千米C.50千米D.60千米二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.数列的通项公式已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则(a_5=)________。14.立体几何中的体积计算若圆锥的侧面积为(15\pi)，底面半径为3，则该圆锥的体积为________。15.统计与数据分析某班50名学生的数学考试成绩的方差为(s^2=25)，若将每名学生的成绩都加上5分，则新的方差为________。16.导数的几何意义曲线(y=x^3-2x+1)在点((1,0))处的切线方程为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(A=\frac{\pi}{3})。（1）求角(B)的大小；（2）求(\triangleABC)的面积。18.（本小题满分12分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)为矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(AB=2)，(AD=3)，(PA=4)，点(E)为棱(PD)的中点。（1）证明：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求直线(AE)与平面(PCD)所成角的正弦值。20.（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范围。21.（本小题满分12分）为了研究某地区居民的月收入与消费支出的关系，随机抽取10户家庭，得到如下数据：|月收入(x)（千元）|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11||----------------------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||月消费(y)（千元）|1.5|2.0|2.5|3.0|3.5|4.0|4.5|5.0|5.5|6.0|（1）求(y)关于(x)的线性回归方程(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a})；（2）若某家庭的月收入为12千元，预测其月消费支出。（参考公式：(\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2})，(\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x})）22.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)，(a\in\mathbb{R})。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在((0,+\infty))上有两个极值点，求(a)的取值范围。参考答案及评分标准（简要提示）一、选择题B2.C3.B4.B5.A6.B7.A8.D9.A10.A11.A12.D二、填空题3114.(12\pi)15.2516.(y=x-1)三、解答题17.（1）(B=\frac{\pi}{6})；（2）(S=2\sqrt{3})18.（1）(a_n=2n+1)；（2）(T_n=\frac{8}{3}(4^n-1))19.（2）(\frac{3\sqrt{10}}{10})20.（1）(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）(m^2\in[\frac{8}{5},8))21.（1）(\hat{y}=0.5x+0.5)；（2）6.5千元22.（1）单调递