2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形的性质与判定

第25页（共25页）2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形的性质与判定一．选择题（共8小题）1．（2024秋•东河区期末）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE＝AB，则∠AEO＝（）A．60° B．75° C．85° D．105°2．（2024秋•滨城区校级期末）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（）A．S△ABC＝S△ADC B．S长方形NFGD＝S长方形EFMB C．S△ANF＝S长方形NFGD D．S△AEF＝S△ANF3．（2025春•望奎县期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．3 B．4 C．43 D．4．（2025春•樊城区期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断5．（2025•寿阳县校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．25°6．（2025•寿阳县校级开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED＝3BE，则AE的长为（）A．3 B．4 C．33 D．7．（2024秋•肥城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．2.5 B．2.4 C．3 D．48．（2024秋•肃州区校级期末）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD二．填空题（共5小题）9．（2024秋•吉安县期末）如图所示是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝8，E为边AB上的一点，AE＝5，点P在矩形ABCD的一边上．要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为．10．（2025•南岗区校级开学）已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4，BE＝3，则BF长为．11．（2025春•依兰县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为．12．（2024秋•山亭区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝cm．13．（2024秋•城关区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为三．解答题（共2小题）14．（2024秋•吉安县期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝24cm，动点M从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点N从点C开始沿CD边以2cm/s的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为ts，则当t为何值时，四边形AMND是矩形？15．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP．（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；（2）若四边形CFDP是矩形，且AD=2，求

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之矩形的性质与判定参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCBBBCBD一．选择题（共8小题）1．（2024秋•东河区期末）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE＝AB，则∠AEO＝（）A．60° B．75° C．85° D．105°【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由矩形的性质得∠BAD＝90°，OA＝OB，因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，则∠OAB＝60°，AO＝AB，求得∠OAE＝30°，而AE＝AB，则AO＝AE，所以∠AOE＝∠AEO，由2∠AEO+30°＝180°，求得∠AEO＝75°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴∠BAD＝90°，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，且∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，AO＝AB，∴∠OAE＝∠BAD﹣∠OAB＝30°，∵AE＝AB，∴AO＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵∠AOE+∠AEO+∠OAE＝180°，∴2∠AEO+30°＝180°，∴∠AEO＝75°，故选：B．【点评】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠OAE＝30°，并且推导出AO＝AE是解题的关键．2．（2024秋•滨城区校级期末）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（）A．S△ABC＝S△ADC B．S长方形NFGD＝S长方形EFMB C．S△ANF＝S长方形NFGD D．S△AEF＝S△ANF【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】根据长方形的对角线把长方形的面积平分求解即可．【解答】解：由题意可知：AC是长方形ABCD的对角线，∴S△ABC＝S△ADC，故说法A正确，该选项不符合题意；由题意可知：四边形AEFN和四边形FMCG均为长方形，∵AF、CF分别是长方形AEFN、长方形FMCG的对角线，∴S△FMC＝S△FGC，S△AEF＝S△ANF，故说法D正确，该选项不符合题意；∴S△ABC﹣S△AEF﹣S△FMN＝S△ADC﹣S△ANF﹣S△FGC，∴S长方形NFGD＝S长方形EFMB，故说法B正确，该选项不符合题意；不能证明S△ANF＝S长方形NFGD，故说法C错误，该选项符合题意，故选：C．【点评】本题考查矩形的性质，熟练掌握正方形的面积计算公式是解答本题的关键．3．（2025春•望奎县期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．3 B．4 C．43 D．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】B【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，结合题意证明△AOB是等边三角形即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8，∴OA=∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4，故选：B．【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．4．（2025春•樊城区期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断【考点】直角三角形斜边上的中线．【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=12AB＝【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：连接OP，∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，∴OP=12AB＝即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．（2025•寿阳县校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．25°【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】先求出∠BCD＝50°，再由直角三角形的性质可得BE=CE=DE=12AC，由等边对等角可得∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝【解答】解：由四边形的内角和是360°，可知，∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC﹣∠BAD＝50°，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点，∴BE=∴∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝∠EDB，∴∠BED＝∠BEA+∠DEA＝∠EBC+∠ECB+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECB+∠ECD）＝100°，∴∠EBD故选：B．【点评】本题考查了等边对等角、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，关键是根据直角三角形的性质解答．6．（2025•寿阳县校级开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED＝3BE，则AE的长为（）A．3 B．4 C．33 D．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】推理能力．【答案】C【分析】由矩形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，由线段垂直平分线的性质可得OA＝AB＝OB，可证△OAB是等边三角形得到2BE＝AB，由勾股定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD（矩形的对角线互相平分且相等），∴OA＝OB，∵ED＝3BE，∴BE＝EO，∵AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴2BE＝AB＝6，则BE＝3，∴AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣32＝27，∴AE=故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，掌握线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．7．（2024秋•肥城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．2.5 B．2.4 C．3 D．4【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】连接AD，根据勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，如图，连接AD，由勾股定理得：BC=∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时S△∴AD=∴MN的最小值为2.4．故选：B．【点评】本题考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质并理解垂线段最短的意义．8．（2024秋•肃州区校级期末）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD【考点】矩形的判定．【答案】D【分析】先根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定逐个判断即可．【解答】解：如图：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形和矩形的判定的应用，能熟记矩形的判定定理是解此题的关键．二．填空题（共5小题）9．（2024秋•吉安县期末）如图所示是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝8，E为边AB上的一点，AE＝5，点P在矩形ABCD的一边上．要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为52或310或5【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】52或310或【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=2AE=52即可；②当PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；③当PA＝PE时，底边【解答】解：如图所示：①当PE＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝9﹣5＝4，∠B＝90°，∴PB=PE∴底边AP=AB2②当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=2AE＝52③当PA＝PE时，底边AE＝5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为52或310或故答案为：52或310或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类思想，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质并分三种情况进行解答．10．（2025•南岗区校级开学）已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4，BE＝3，则BF长为6或32【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】6或32【分析】依题意有以下两种情况：①当点F在AB的延长线上时，则点E在线段BC上，设EF交AD于点H，交AC于点O，连接AE，先由勾股定理求出AE＝5，证明△OAH和△OCE全等得AH＝CE＝5，设BF＝x，则AF＝AB+BF＝4+x，再证明△FBE和△FAH相似得BFAF=BEAH，即xx+4=35，由此解得x＝6，进而可得BF的长；②当点F在线段AB上时，则点E在CB的延长线上，设EF交AD于点H，交AC于点O，连接CF，设BF＝y，则y＞0，AF＝AB﹣BF＝4﹣y，证明△ABC和△EBF相似得ABBE=BCBF，即43=BCy，由此得BC=4y3【解答】解：依题意有以下两种情况：①当点F在AB的延长线上时，此时点E在线段BC上，设EF交AD于点H，交AC于点O，连接AE，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，由勾股定理得：AE=AB∵FH是AC的垂直平分线，∴AE＝CE＝5，∠AOH＝∠COE＝90°，OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠OAH＝∠OCE，在△OAH和△OCE中，∠AOH∴△OAH≌△OCE（ASA），∴AH＝CE＝5，设BF＝x，∴AF＝AB+BF＝4+x，∵AD∥BC，∴△FBE∽△FAH，∴BFAF∴xx解得：x＝6，∴BF＝x＝6；②当点F在线段AB上时，则点E在CB的延长线上，设EF交AD于点H，交AC于点O，连接CF，如图2所示：设BF＝y，则y＞0，∵AB＝4，BE＝3，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣y，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴∠EBF＝90°，在Rt△EBF中，∠E+∠EFB＝90°，∵EH是AC的垂直平分线，∴∠AOF＝90°，CF＝AF＝4﹣y，在Rt△AOF中，∠BAC+∠AFO＝90°，∵∠EFB＝∠AFO，∴∠BAC＝∠E，又∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴△ABC∽△EBF，∴ABBE∴43∴BC=4在Rt△BFC中，由勾股定理得：CF2＝BF2+BC2，∴(4-y整理得：2y2+9y﹣18＝0，解得：y=32，y＝﹣∴BF＝y=3综上所述：BF长为6或32故答案为：6或32【点评】此题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．11．（2025春•依兰县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为2.5．【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝12，BO＝DO＝6，再根据三角形中位线定理可得PQ=12DO＝【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，BO＝DO=12∴OD=12BD＝∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ=12DO＝故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．12．（2024秋•山亭区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝3cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3故答案为：3．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．（2024秋•城关区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为1【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】1．【分析】由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解．【解答】解：连接AC，交EF于O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB=3，BC＝1∴AC=AB∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝1，∵AG⊥EF，∴点G在以AO为直径的圆上运动，∴AG为直径时，AG有最大值为1，故答案为：1．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，确定点G的运动轨迹是解答本题的关键．三．解答题（共2小题）14．（2024秋•吉安县期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝24cm，动点M从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点N从点C开始沿CD边以2cm/s的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为ts，则当t为何值时，四边形AMND是矩形？【考点】矩形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】t＝4．【分析】先分别表示出AM和DN的长度，再根据矩形的判定得AM＝DN时，四边形AMND是矩形，据此列方程求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝24cm，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，根据题意可知，AM＝4tcm，CN＝2tcm，∴DN＝CD﹣CN＝（24﹣2t）cm，当DN＝AM时，四边形AMND是矩形，∴24﹣2t＝4t，解得：t＝4，即当t＝4时，四边形AMND是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．15．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP．（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；（2）若四边形CFDP是矩形，且AD=2，求【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）AB＝1．【分析】（1）根据矩形的性质推出OF是△ACP的中位线，利用ASA证明△DEF≌△CEP，根据全等三角形的性质得到EF＝EP，结合DE＝CE，即可判定四边形CFDP是平行四边形；（2）根据矩形的性质、勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，∵FP＝AF，∴OF是△ACP的中位线，∴OF∥CP，∴∠FDE＝∠PCE（两直线平行，内错角相等），∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△DEF和△CEP中，∠FDE∴△DEF≌△CEP（ASA），∴EF＝EP，又∵DE＝CE，∴四边形CFDP是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∠ADE＝90°，∴根据勾股定理，AD2+DE2＝AE2，若四边形CFDP是矩形，则，EF=DE=PE=∵AF＝FP，∴AE=∴AD∴AD2＝2CD2，∴AD=2CD∵AD=∴CD＝AB＝1，所以AB的长度为1．【点评】此题考查了矩形的性质，平行四边的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明△DEF≌△CEP是解题的关键．

考点卡片1．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．2．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．6．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．7．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．8．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．9．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的