23321相似三角形的判定用角的关系判定三角形相似课件华东师大版九年级数学上册

幻灯片1：封面标题：23.3.2.1相似三角形的判定（用角的关系判定）副标题：从角的相等关系探索相似本质适用教材：华东师大版数学九年级上册授课教师：[具体姓名]授课班级：[具体班级]授课时间：[具体时间]幻灯片2：课程导入复习回顾：提问1：我们已经知道，相似三角形的核心特征是什么？（学生回答：对应角相等、对应边成比例）提问2：如果两个三角形的角满足某种关系，是否能直接判定它们相似呢？比如两个三角形有一个角相等，它们一定相似吗？有两个角相等呢？情境探究：展示图片：两个含30°

角的三角形（一个是30°、60°、90°

的直角三角形，另一个是30°、30°、120°

的等腰三角形），标注出相等的30°

角。两个含60°

角的直角三角形（一个直角边为3、4，另一个直角边为6、8），标注出60°

角和直角。引导提问：左边两个三角形都有30°

角，但形状明显不同，为什么？右边两个三角形都有60°

角和直角，形状看起来一样，这又是什么原因？今天我们就来探究“用角的关系判定三角形相似”的规律。幻灯片3：探究活动（两角分别相等的三角形是否相似）探究步骤：画图操作：让学生在练习本上画△ABC，使∠A=60°，∠B=40°，计算∠C=180°-60°-40°=80°。再画△A'B'C'，使∠A'=60°，∠B'=40°，计算∠C'=180°-60°-40°=80°。测量与对比：测量两个三角形的边长：AB、BC、AC和A'B'、B'C'、A'C'。计算对应边的比例：\(\frac{AB}{A'B'}\)、\(\frac{BC}{B'C'}\)、\(\frac{AC}{A'C'}\)，记录结果（学生测量后会发现三个比例基本相等）。改变角度再验证：让学生自主设定两个角的度数（如∠A=50°，∠B=70°），重复上述画图、测量、计算步骤，观察比例关系是否依然成立。初步结论：当两个三角形有两个角分别相等时，它们的第三个角也相等（三角形内角和为180°），且对应边成比例，因此这两个三角形相似。幻灯片4：相似三角形的判定定理1（用角的关系：两角分别相等）定理规范表述：内容：两角分别相等的两个三角形相似（简记为“AA”判定，即“Angle-Angle”判定）。推导依据：三角形内角和为180°，若两个角分别相等，则第三个角必然相等（三个角对应相等）。通过探究测量可知，三个角对应相等的三角形，对应边成比例，满足相似三角形的定义。几何语言：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∵∠A=∠A'，∠B=∠B'（已知），∴△ABC∽△A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）。注意要点：只需“两个角分别相等”即可判定相似，无需再验证第三个角（由内角和定理可推导），也无需验证边的比例（由角的关系可推导边成比例）。幻灯片5：定理的常见应用场景与反例常见应用场景：含公共角的三角形：如图，在△ABC中，D在AB上，DE∥BC，交AC于E，则∠A是△ABC和△ADE的公共角，且∠ADE=∠B（同位角相等），因此△ABC∽△ADE。含对顶角的三角形：如图，AB和CD相交于O，若∠A=∠D，则∠AOC=∠DOB（对顶角相等），因此△AOC∽△DOB。直角三角形：两个直角三角形，若有一个锐角相等，则另一个锐角也相等（直角都是90°），因此这两个直角三角形相似（如含30°

角的直角三角形都相似）。反例分析（一个角相等不能判定相似）：展示图形：△ABC中∠A=30°，∠B=60°（直角三角形）；△DEF中∠D=30°，∠E=30°（等腰三角形）。分析：虽然两个三角形都有30°

角（一个角相等），但其他角不相等（△ABC中∠C=90°，△DEF中∠F=120°），对应边也不成比例，因此两个三角形不相似。结论：仅一个角相等的两个三角形不一定相似，必须满足“两个角分别相等”。幻灯片6：典型例题解析（含公共角的相似判定）例题展示：如图，在△ABC中，点D在BC上，∠BAD=∠C。求证：△ABD∽△CBA。证明过程：找相等的角：已知∠BAD=∠C（题目给出）。∠B是△ABD和△CBA的公共角（两个三角形都含∠B）。应用判定定理：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B（公共角），∴△ABD∽△CBA（两角分别相等的两个三角形相似）。解题思路总结：第一步：观察图形，寻找公共角、对顶角或已知条件中给出的相等角；第二步：验证是否有两个角分别相等；第三步：根据“AA”判定定理得出相似结论。幻灯片7：课堂练习1（基础应用：直角三角形相似判定）题目展示：判断下列各组直角三角形是否相似，并说明理由。△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；△DEF中，∠F=90°，∠D=30°。△MNP中，∠P=90°，MN=5，NP=3；△QRS中，∠S=90°，QR=10，RS=6。解答过程：相似。理由：两个三角形都是直角三角形，∴∠C=∠F=90°（一组角相等）。又∠A=∠D=30°（另一组角相等），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ABC∽△DEF。相似。理由：两个三角形都是直角三角形，∴∠P=∠S=90°（一组角相等）。计算锐角：在△MNP中，\(\cosâˆ

N=\frac{NP}{MN}=\frac{3}{5}\)；在△QRS中，\(\cosâˆ

R=\frac{RS}{QR}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)，∴∠N=∠R（另一组角相等），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△MNP∽△QRS。幻灯片8：课堂练习2（综合应用：含对顶角的相似判定）题目展示：如图，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O。求证：△AOB∽△DOC。证明过程：利用平行线找相等角：∵AB∥CD（已知），∴∠OAB=∠ODC（两直线平行，内错角相等），∠OBA=∠OCD（两直线平行，内错角相等）。应用判定定理：∵∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD，∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似）。拓展提问：若AB=4，CD=6，求AO与OD的比（提示：相似三角形对应边成比例）。解答：∵△AOB∽△DOC，∴\(\frac{AO}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)。幻灯片9：课堂总结知识梳理：核心定理：两角分别相等的两个三角形相似（AA判定），只需两个角对应相等，即可判定相似。关键逻辑：三角形内角和为180°，两个角相等→第三个角相等→三个角对应相等；三个角对应相等→对应边成比例→满足相似三角形定义。常见应用场景：含公共角的三角形（如△ABC与△ABD共∠B）；含对顶角的三角形（如△AOC与△DOB共对顶角∠AOC=∠DOB）；直角三角形（一个锐角相等即可判定相似）。易错点：仅一个角相等不能判定相似，必须满足“两个角分别相等”。解题步骤：观察图形，识别公共角、对顶角或利用平行线、已知条件找相等角；验证是否有两组角分别相等；依据AA判定定理得出相似结论；（可选）利用相似三角形的性质（对应边成比例）求解未知线段。幻灯片10：课后作业布置书面作业：课本课后练习题，完成用AA判定定理证明三角形相似的题目，要求写出完整的证明过程（标注依据）。拓展题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D。求证：△ACD∽△ABC∽△CBD（提示：利用直角和公共角找相等角）。实践作业：用硬纸板制作两个含60°

角的直角三角形（大小不同），测量它们的各角度数和对应边长度，验证“两角分别相等的三角形相似”；观察生活中应用“角的关系判定相似”的场景（如斜拉桥的三角形支架、摄影镜头的三角架），用文字描述其中的相似关系，下节课分享你的发现。2025-2026学年华东师大版数学九年级上册授课教师：

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23.3.2.1相似三角形的判定--用角的关系判定三角形相似第23章

图形的相似aiTujmiaNg问题1两个三角形全等有哪些判定方法？问题2我们学习过哪些判定三角形相似的方法？观察与思考如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的

k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？E解：相等，因而相似.利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似CBAF如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点

D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴∴A′E=AC.

又∠A′=

∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.归纳：如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.ABCDEF不相似探究归纳归纳：如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.

如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.∴△ABC∽△ADE.练一练证明：如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB

=

6，BC

=

4，AC

=

5，CD

=，求AD的长．ABCD解：∵AB

=

6，BC

=

4，AC

=

5，CD

=

，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴

画△ABC和△A′B′C′，使

，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？利用三边对应成比例判定两个三角形相似合作探究ABCC′B′A′∴DE

=B′C′，EA

=

C′A′.∴△ADE

≌

△A′B′C′

△A′B′C′∽△ABC.∴，.

又，AD

=

A′B′，∴∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.过点D作DE∥BC交

AC

于点E.证明:在线段AB(或延长线)上截取AD

=

A′B′，C′B′A′BCADE△ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似.ABCC′B′A′归纳总结利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．∵，∴△ABC∽△A′B′C.符号语言：1.如图，已知，试说明∠BAD

=∠CAE.解：∵

，∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC

=∠DAE.∴∠BAC－∠DAC

=∠DAE－∠DAC，即∠BAD

=∠CAE.练一练ADCEB2.

已知

AB

=

10，BC

=

8，AC

=

16，A′B′

=

16，B′C′

=

12.8，

C′A′

=

25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.方法归纳1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.∠A=120°，AB=3cm，AC=6cm，∠A′

=120°，A′B′

=6cm，A′C′

=12cm.∴A′B′

:

AB

=

A′C′

:

AC，∠A

=∠A′，∴△A′B′C′∽△ABC解：∵A′B′

:

AB

=

2，A′C′:

AC

=

2，∠A

=∠A′

=120°.

(2)AB=4cm，BC

=6cm，AC

=8cm，A′B′

=12cm，B′C′

=18cm，A′C′

=21cm2.

判断图中△AEB和△FEC

是否相似？解：∵∴△AEB∽△FEC.

∵∠1＝∠2，∴54303645EAFCB12((返回1.如图，在△ABC中，点D在AB上(不与点A，B重合)，连结CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是_________________________(写出一个即可).∠ACD＝∠B(答案不唯一)2.[2023·东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°，若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(

)A．1.8 B．2.4C．3 D．3.2返回【答案】C3.如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点