2025年下学期高中数学诊断性试卷

2025年下学期高中数学诊断性试卷本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)\geq1})，则(A\capB=)（）A.([1,2])B.([2,+\infty))C.([2,3])D.([1,3])复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数(\overline{z})在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec{b}=(2,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则实数(m=)（）A.-1或3B.1或-3C.-1D.3函数(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{e^x+e^{-x}})的图像大致为（）（选项略，需结合奇偶性与单调性分析：奇函数，x>0时f(x)>0，排除法选图）已知等比数列({a_n})的前n项和为(S_n)，若(a_2=2)，(S_3=7)，则公比(q=)（）A.2或(-\frac{1}{2})B.2或(\frac{1}{2})C.-2或(\frac{1}{2})D.-2或(-\frac{1}{2})某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（三视图描述：正视图与侧视图均为直角三角形，俯视图为边长2的正方形，几何体为四棱锥）A.(\frac{8}{3},\text{cm}^3)B.(4,\text{cm}^3)C.(\frac{16}{3},\text{cm}^3)D.(8,\text{cm}^3)已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，左焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，且(PF\perpx)轴，则(\triangleOPF)（O为原点）的面积为（）A.(\frac{\sqrt{2}}{2}ab)B.(\sqrt{2}ab)C.(ab)D.(2ab)已知函数(f(x)=\begin{cases}\lnx,&x>0,\e^x+a,&x\leq0\end{cases})，若函数(f(x))有3个零点，则实数(a)的取值范围是（）A.((-1,0))B.((-∞,-1))C.((-1,+∞))D.((-∞,0))二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）下列说法正确的是（）A.若事件A与B互斥，则(P(A\cupB)=P(A)+P(B))B.若事件A与B相互独立，则(P(AB)=P(A)P(B))C.线性回归方程(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a})一定过样本点的中心((\bar{x},\bar{y}))D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期为(\pi)，其图像向左平移(\frac{\pi}{6})个单位长度后得到函数(g(x)=\cos\omegax)的图像，则下列说法正确的是（）A.(\omega=2)B.(\varphi=\frac{\pi}{6})C.(f(x))在([0,\frac{\pi}{2}])上单调递增D.(f(x))的图像关于点((\frac{\pi}{3},0))对称已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列说法正确的是（）A.若直线l的斜率为1，则(|AB|=8)B.点M的轨迹方程为(y^2=2(x-1))C.以AB为直径的圆与直线(x=-1)相切D.若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，则直线l的斜率为(\pm2\sqrt{2})如图，在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，E，F分别为棱(A_1D_1)，(CC_1)的中点，P为线段EF上的动点，则下列说法正确的是（）（正方体图形描述：需结合空间坐标系分析）A.存在点P，使得(BP\perp)平面(B_1D_1P)B.三棱锥(P-ABD)的体积为定值C.线段BP长度的最小值为(\sqrt{5})D.当P与E重合时，二面角(P-BD-C)的正切值为(\frac{\sqrt{2}}{2})三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）曲线(y=x\lnx)在点((1,0))处的切线方程为________．若(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin2\alpha}{1+\cos^2\alpha}=)________．已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)，若对于任意(x_1,x_2\in[t,t+1])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，则实数t的取值范围是________．已知定义在R上的函数(f(x))满足(f(x+2)=f(x))，且当(x\in[-1,1])时，(f(x)=x^2)，若方程(f(x)-kx-k=0)有4个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）在(\triangleABC)中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a=3)，(b=2\sqrt{3})，(\cosB=-\frac{1}{3})．（1）求角A的大小；（2）求(\triangleABC)的面积．（12分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计了他们每周参加体育锻炼的时间（单位：小时），并将数据整理成如下频率分布直方图：（直方图略，分组为[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]，对应频率分别为0.05，0.2，0.3，0.3，0.15）（1）求这100名学生每周锻炼时间的平均数和中位数（同一组数据用该组区间中点值代表）；（2）若从每周锻炼时间在[0,2)和[8,10]的学生中按分层抽样的方法抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求至少有1人每周锻炼时间在[8,10]的概率．（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=1)，(\angleACB=90^\circ)，(AA_1=\sqrt{2})，D为棱(A_1B_1)的中点．（1）求证：(BC_1\parallel)平面(ACD)；（2）求二面角(A-CD-C_1)的余弦值．（12分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+2^n)（(n\in\mathbb{N}^*)）．（1）证明：数列({\frac{a_n}{2^n}})是等差数列；（2）求数列({a_n})的前n项和(S_n)；（3）设(b_n=\frac{a_n}{n})，求数列({b_n})的前n项和(T_n)．（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．（12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）．（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}<\ln(n+1)<1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})（(n\in\mathbb{N}^*)）．参考答案及评分标准（部分提示）1-8：CDABDCAB9.ABC10.ABD11.ABCD12.ABC13.(y=x-1)14.(\frac{4}{5})15.([0,2])16.((0,\frac{1}{3}))17.（1）(A=\frac{\pi}{4})；（2）(S=2\sqrt{2})18.（1）平均数5.8，中位数6；（2）(\frac{5}{6})19.（2）二面角余弦值(\frac{\sqrt{3}}{3})20.（2）(S_n=(n-1)2^n+1)；（3）(T_n=2^{n+1}-2)21.（1）(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）存在，(x=1)或(3x+5y-3=0)22.（2）(a=1)；（3）构造函数(g(x)=\lnx-x+1)与(h(x)=\lnx-1+\frac{1}{