2025年下学期高中数学冲刺卷四试卷

2025年下学期高中数学冲刺卷四试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,4))复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec{b})，则(m=)（）A.4B.-4C.±4D.16函数(f(x)=\frac{\sinx}{x}+\ln|x|)的部分图像大致为（）A.（图像选项略，需结合奇偶性与极限值分析：(f(-x)=-f(x))为奇函数，排除B、D；当(x\to0^+)时，(\frac{\sinx}{x}\to1)，(\lnx\to-\infty)，排除A）已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（三视图描述：正视图与侧视图均为边长为2的正方形，俯视图为边长为2的正三角形）A.(\sqrt{3})B.(2\sqrt{3})C.(4\sqrt{3})D.(8\sqrt{3})执行如图所示的程序框图，若输入(n=5)，则输出的(S=)（）（程序框图逻辑：初始(S=0,i=1)；循环(S=S+\frac{1}{i(i+1)})，(i=i+1)，直至(i>n)结束，输出(S)）A.(\frac{5}{6})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{3}{4})D.(\frac{2}{3})已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，且(\tan\alpha=2)，则(\sin2\alpha+\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{\sqrt{2}}{10})B.(\frac{1+3\sqrt{2}}{5})C.(\frac{4+3\sqrt{2}}{10})D.(\frac{4+\sqrt{2}}{5})已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，准线为(l)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，过(A,B)分别作(l)的垂线，垂足为(M,N)，若(|MF|=2|NF|)，则直线(AB)的斜率为（）A.(\sqrt{3})B.(2\sqrt{2})C.(\pm\sqrt{3})D.(\pm2\sqrt{2})已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期为(\pi)，且图像关于直线(x=\frac{\pi}{3})对称，则(\varphi=)（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(50\pi)D.(100\pi)已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若对任意(x_1,x_2\in[0,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，则实数(a)的取值范围是（）A.[0,4]B.[1,3]C.[2,5]D.[-1,5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，则(z=2x+y)的最大值为________。已知直线(l:y=kx+1)与圆(C:(x-2)^2+(y-3)^2=4)相交于(A,B)两点，若(|AB|=2\sqrt{3})，则(k=)________。已知(f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq0\\lnx,x>0\end{cases})，则方程(f(f(x))=1)的解集为________。已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})），若对任意(x\geq0)，(f(x)\geq0)恒成立，则(a)的最大值为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且(a\cosC+c\cosA=2b\cosB)。（1）求角(B)的大小；（2）若(b=\sqrt{7})，(a+c=4)，求(\triangleABC)的面积。解析：（1）由正弦定理得(\sinA\cosC+\sinC\cosA=2\sinB\cosB)，即(\sin(A+C)=\sinB=2\sinB\cosB)，因为(\sinB\neq0)，所以(\cosB=\frac{1}{2})，又(B\in(0,\pi))，故(B=\frac{\pi}{3})。（2）由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，得(7=(a+c)^2-3ac=16-3ac)，解得(ac=3)，所以(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4})。18.（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC)，(D)为(AB)的中点，且(A_1D\perpAB_1)。（1）求证：(AC=BC)；（2）若(AC=BC=AA_1=2)，求二面角(A_1-CD-C_1)的余弦值。解析：（1）以(C)为原点，(CA,CB,CC_1)所在直线为(x,y,z)轴建立坐标系，设(AC=a)，(BC=b)，(AA_1=c)，则(A(a,0,0))，(B(0,b,0))，(D(\frac{a}{2},\frac{b}{2},0))，(A_1(a,0,c))，(B_1(0,b,c))，(\vec{A_1D}=(-\frac{a}{2},\frac{b}{2},-c))，(\vec{AB_1}=(-a,b,c))，由(A_1D\perpAB_1)得(\vec{A_1D}\cdot\vec{AB_1}=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-c^2=0)，又直三棱柱中(AC=BC)为已知条件（题目已给出，此处需确认是否为重复条件，若为“求证(AC=BC)”则需补充其他条件）。（2）当(AC=BC=AA_1=2)时，(C(0,0,0))，(D(1,1,0))，(A_1(2,0,2))，(C_1(0,0,2))，(\vec{CD}=(1,1,0))，(\vec{CA_1}=(2,0,2))，(\vec{CC_1}=(0,0,2))，设平面(A_1CD)的法向量(\vec{n}=(x_1,y_1,z_1))，则(\begin{cases}x_1+y_1=0\2x_1+2z_1=0\end{cases})，取(\vec{n}=(1,-1,-1))，平面(C_1CD)的法向量(\vec{m}=(1,-1,0))（由(CD)与(CC_1)确定），则(\cos\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{2}{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3})。19.（12分）为了解某地区高中生每周体育锻炼时长情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下频率分布直方图：（直方图略，分组为[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]，对应频率分别为0.05,0.2,0.35,0.3,0.1）（1）求这100名学生每周体育锻炼时长的平均数与中位数；（2）若从每周锻炼时长在[0,2)和[8,10]的学生中任选2人，求至少有1人来自[8,10]的概率。解析：（1）平均数(\bar{x}=1\times0.05+3\times0.2+5\times0.35+7\times0.3+9\times0.1=5.4)（小时）；中位数：设中位数为(m)，前两组频率和为0.25<0.5，前三组和为0.6>0.5，则(0.25+(m-4)\times0.175=0.5)，解得(m=\frac{0.25}{0.175}+4=\frac{10}{7}+4\approx5.43)（小时）。（2）[0,2)有5人（记为A,B,C,D,E），[8,10]有10人（记为1-10），总基本事件数(C_{15}^2=105)，至少1人来自[8,10]的对立事件为2人都来自[0,2)，(P=1-\frac{C_5^2}{105}=1-\frac{10}{105}=\frac{19}{21})。20.（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求证：(\triangleAOB)的面积为定值。解析：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})，将点((2,1))代入椭圆方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=\frac{8}{a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）联立(\begin{cases}y=kx+m\x^2+4y^2=8\end{cases})，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，则(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})，(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=\frac{k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，代入化简得(2m^2=4k^2+1)，(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)}}{1+4k^2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(4k^2+1-m^2)}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{2(1+k^2)m^2}}{2m^2}=\frac{2\sqrt{2(1+k^2)}}{|m|})，原点到直线(l)的距离(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，则(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\times\frac{2\sqrt{2(1+k^2)}}{|m|}\times\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{2})（定值）。21.（12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-\lnx)（(a\in\mathbb{R})）。（1）当(a=e)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若(f(x)\geq1)对任意(x>0)恒成立，求(a)的取值范围。解析：（1）当(a=e)时，(f(x)=e^x-ex-\lnx)，(f'(x)=e^x-e-\frac{1}{x})，(f'(1)=e-e-1=-1<0)，(f'(2)=e^2-e-\frac{1}{2}>0)，存在(x_0\in(1,2))使(f'(x_0)=0)，当(x\in(0,x_0))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；当(x\in(x_0,+\infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，故单调递减区间为((0,x_0))，单调递增区间为((x_0,+\infty))（(x_0)为(f'(x)=0)的根）。（2）(f(x)\geq1)即(a\leq\frac{e^x-\lnx-1}{x})，令(g(x)=\frac{e^x-\lnx-1}{x})，则(g'(x)=\frac{(e^x-\frac{1}{x})x-(e^x-\lnx-1)}{x^2}=\frac{(x-1)e^x+\lnx}{x^2})，当(x=1)时，(g'(x)=0)；当(x\in(0,1))时，((x-1)e^x<0)，(\lnx<0)，(g'(x)<0)；当(x\in(1,+\infty))时，((x-1)e^x>0)，(\lnx>0)，(g'(x)>0)，故(g(x))在(x=1)处取最小值(g(1)=e-0-1=e-1)，所以(a\leqe-1)。22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系(xOy)中，曲线(C_1)的参数方程为(\begin{cases}x=2+\cos\alpha\y=\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)为参数），以坐标原点为极点，(x)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C_2)的极坐标方程为(\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=2\sqrt{2})。（1）求(C_1)的普通方程和(C_2)的直角坐标方程；（2）设点(P)在(C_1)上，点(Q)在(C_2)上，求(|PQ|)的最小值。解析：（1）(C_1)的普通方程为((x-2)^2+y^2=1)（由(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1)消参）；(C_2)的极坐标方程可化为(\rho(\sin\theta+\cos\theta)=4)，直角坐标方程为(x+y-4=0)。（2）(|PQ|)的最小值为圆心(C_1(2,0))到直线(C_2)的距离减去半径，(d=\frac{|2+0-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2})，半径(r=1)，故(|PQ|_