2025年下学期高中数学基础达标试卷

2025年下学期高中数学基础达标试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）已知集合(A={x\midx^2-3x+2\leq0})，(B={x\mid\log_2(x-1)<1})，则(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3))D.((1,3))函数(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期是（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\boldsymbol{a}=(2,m))，(\boldsymbol{b}=(m,8))，若(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b})，则(m^2+|\boldsymbol{a}|^2=)（）A.16B.32C.48D.64某圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（）A.(\frac{4\sqrt{3}\pi}{3})B.(\frac{8\sqrt{3}\pi}{3})C.(4\sqrt{3}\pi)D.(8\sqrt{3}\pi)已知等比数列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，则数列({a_n})的前6项和(S_6=)（）A.62B.63C.126D.127若(\tan\theta=2)，则(\frac{\sin2\theta+\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=)（）A.(\frac{7}{6})B.(\frac{3}{2})C.(\frac{5}{4})D.(\frac{4}{3})已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)，则其极大值点为（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)某中学为了解学生数学学习情况，随机抽取100名学生进行调查，得到成绩频率分布直方图（部分数据缺失）。若成绩在([80,90))的频率是([90,100])的2倍，则成绩在([90,100])的学生人数为（）A.10B.15C.20D.25已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，且过点((\sqrt{3},2))，则双曲线(C)的标准方程为（）A.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)B.(\frac{x^2}{2}-y^2=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)已知定义在(\mathbf{R})上的函数(f(x))满足(f(x+2)=-f(x))，且当(x\in[0,2))时，(f(x)=2^x-1)，则(f(2025)=)（）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）下列说法正确的有（）A.命题“(\forallx\in\mathbf{R},x^2+x+1>0)”的否定是“(\existsx\in\mathbf{R},x^2+x+1\leq0)”B.若(a>b>0)，则(\frac{1}{a}<\frac{1}{b})C.若随机变量(X\simN(1,\sigma^2))，且(P(X\leq0)=0.2)，则(P(X<2)=0.8)D.“(x=\frac{\pi}{6})”是“(\sinx=\frac{1}{2})”的充要条件已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（）（注：图象显示相邻两个最高点的横坐标差为(\pi)，且过点((0,\frac{1}{2}))）A.(\omega=2)B.(\varphi=\frac{\pi}{6})C.(f(x))的图象关于点((\frac{\pi}{12},0))对称D.(f(x))在([-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}])上单调递增在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E,F)分别为棱(AB,CC_1)的中点，则下列说法正确的有（）A.直线(EF)与(A_1D)异面B.直线(EF\perp)平面(BCC_1B_1)C.平面(AEF\perp)平面(ADD_1A_1)D.三棱锥(A_1-BEF)的体积为正方体体积的(\frac{1}{12})三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知(\tan\theta=2)，则(\frac{\sin2\theta}{1+\cos^2\theta}=)________。若圆(C:(x-1)^2+(y-2)^2=r^2(r>0))与直线(l:3x+4y-10=0)相切，则(r=)________。已知函数(f(x)=\begin{cases}\lnx,&x>0,\x^2+2x,&x\leq0,\end{cases})若关于(x)的方程(f(x)=m)有三个不同的实数根，则(m)的取值范围是________。已知数列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1})，则数列({a_n})的通项公式为(a_n=)；若(b_n=a_na_{n+1})，则数列({b_n})的前(n)项和(T_n=)。（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})。（1）求边(c)的值；（2）求(\sin(A-C))的值。（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分别为棱(BC,B_1C_1)的中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求直线(A_1B)与平面(ADE)所成角的正弦值。（12分）某学校为了解学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生的数学成绩（满分150分）进行统计，得到如下频率分布表：成绩分组[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频率0.050.150.300.350.15（1）求这100名学生数学成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从成绩在[130,150]的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[140,150]的概率（注：[130,150]区间中，[130,140)与[140,150]的频率之比为2:1）。（12分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((\sqrt{2},1))。（1）求椭圆(E)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(E)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，求证：原点(O)到直线(l)的距离为定值。（12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbf{R}))。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对(\forallx\in\mathbf{R})恒成立，求实数(a)的值；（3）在（2）的条件下，证明：(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\frac{\ln2}{2}(n\in\mathbf{N}^*))。（14分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为(C)元，售价为(P)元，且(C,P)与产量(x)（万件）的函数关系