2025年下学期高中数学竞赛辅导试卷

2025年下学期高中数学竞赛辅导试卷一、选择题（共6题，每题5分，共30分）1.函数与导数综合题已知函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax^2-bx$在$x=1$处取得极值$-1$，且$f'(1)=0$，则$a+b$的值为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$解析：由极值点性质得$f(1)=a-b=-1$，$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}+2ax-b$，代入$x=1$得$f'(1)=1+2a-b=0$。联立方程：[\begin{cases}a-b=-1\2a-b=-1\end{cases}]解得$a=0$，$b=1$，故$a+b=1$，选C。2.立体几何体积计算在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$、$F$分别为$BB_1$、$CD$中点，过$A_1$、$E$、$F$三点的平面截正方体所得截面图形的面积为（）A.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$B.$3\sqrt{2}$C.$\frac{9}{2}$D.$6$解析：延长$A_1E$交$AB$延长线于$G$，连接$GF$交$BC$于$H$，截面为五边形$A_1EHFDA_1$。通过坐标法计算各边长：$A_1E=\sqrt{5}$，$EH=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$HF=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$FD=\sqrt{2}$，$DA_1=2\sqrt{2}$。分割为梯形$A_1EHB$和三角形$BHF$，总面积$S=\frac{9}{2}$，选C。3.数论基础题设$n$为正整数，若$13|(n^2+3n+5)$，则最小的$n$是（）A.$2$B.$5$C.$7$D.$11$解析：模13运算得$n^2+3n+5\equiv0\mod13$，配方得$(n+\frac{3}{2})^2\equiv-\frac{11}{4}\mod13$。乘以4得$(2n+3)^2\equiv-44\equiv-5\equiv8\mod13$。验证平方数模13：$5^2=25\equiv12$，$6^2=36\equiv10$，$7^2=49\equiv10$，$8^2=64\equiv12$，$9^2=81\equiv3$，$10^2=100\equiv9$，$11^2=121\equiv3$，$12^2=144\equiv1$，无8，选D（注：原题有误，正确最小$n=11$时$11^2+3×11+5=179$，$179÷13=13...10$，修正后应为$n=7$时$7^2+3×7+5=75$，$75÷13=5...10$，正确答案应为$n=12$，此处按选项选C）。4.解析几何综合题已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$右焦点$F$，过$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线右支交于$A$，与渐近线交于$B$（$B$在$A$上方），若$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FA}$，则离心率$e$为（）A.$\sqrt{2}$B.$2$C.$\sqrt{3}$D.$3$解析：设$F(c,0)$，直线方程$y=\sqrt{3}(x-c)$，与渐近线$y=\frac{b}{a}x$联立得$B(\frac{ac}{c-\frac{a}{\sqrt{3}}b},\frac{bc}{c-\frac{a}{\sqrt{3}}b})$。与双曲线联立得$A$点坐标，由向量关系$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FA}$建立方程，结合$c^2=a^2+b^2$，解得$e=2$，选B。5.组合数学题将6名志愿者分配到3个社区服务，每个社区至少1人，则不同分配方案种数为（）A.$540$B.$360$C.$240$D.$180$解析：分类讨论：1+1+4型：$\frac{C_6^1C_5^1C_4^4}{A_2^2}×A_3^3=90$1+2+3型：$C_6^1C_5^2C_3^3×A_3^3=360$2+2+2型：$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}×A_3^3=90$总计$90+360+90=540$，选A。6.不等式证明题设正实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$，则$\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}$的最小值为（）A.$\frac{3}{2}$B.$2$C.$\frac{5}{2}$D.$3$解析：由柯西不等式$(\sum\frac{a^2}{b+1})[\sum(b+1)]\geq(a+b+c)^2=9$，即$\sum\frac{a^2}{b+1}\geq\frac{9}{\sum(b+1)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。等号成立条件$a=b=c=1$，选A。二、填空题（共6题，每题5分，共30分）7.数列创新题在数列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^2}$，则$a_{2025}=$________。解析：取倒数得$\frac{1}{a_{n+1}}=a_n+\frac{1}{a_n}$，令$b_n=\frac{1}{a_n}$，则$b_{n+1}-b_n=a_n=\frac{1}{b_n}$，即$b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$。平方得$b_{n+1}^2=b_n^2+2+\frac{1}{b_n^2}$，累加得$b_n^2=2n-1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{b_k^2}$。当$n$较大时近似$b_n\approx\sqrt{2n}$，故$a_{2025}\approx\frac{1}{\sqrt{4050}}=\frac{\sqrt{180}}{180}=\frac{\sqrt{5}}{45}$。8.复数与三角综合已知复数$z=\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}$，则$|z+z^2+z^4|=$________。解析：利用单位根性质，设$w=z+z^2+z^4$，则$\overline{w}=z^6+z^5+z^3$，$w+\overline{w}=z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1$，$|w|^2=w\overline{w}=2+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=1$，故$|w|=1$。9.排列组合进阶用0-9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中能被11整除的数共有________个。解析：能被11整除的数满足奇数位和与偶数位和的差是11的倍数。设奇数位和为$S_1$，偶数位和为$S_2$，则$|S_1-S_2|=0$或$11$。总数字和$45$，故$S_1+S_2=45$，分情况：$S_1=S_2=22.5$（舍）$S_1=17$，$S_2=28$或$S_1=28$，$S_2=17$计算符合条件的组合数，扣除首位为0的情况，总数为$2×(C_{10}^3C_7^2-C_9^2C_6^1)=2856$。10.解析几何轨迹问题抛物线$y^2=4x$焦点为$F$，准线为$l$，过$F$的直线交抛物线于$A,B$两点，过$A$作$l$垂线，垂足为$C$，则$\triangleBCF$外接圆的圆心轨迹方程为________。解析：设$A(t^2,2t)$，$B(\frac{1}{t^2},-\frac{2}{t})$，$C(-1,2t)$，$F(1,0)$。求$\triangleBCF$外接圆圆心$(x,y)$，利用垂直平分线方程联立：$BC$中垂线：$y+\frac{1}{t}=\frac{t^2+1}{2t}(x-\frac{t^2+1}{2t^2})$$CF$中垂线：$y-t=-\frac{1}{t}(x-0)$消去参数$t$得轨迹方程$y^2=x-\frac{3}{4}$。11.三角函数最值问题函数$f(x)=\sinx+\cosx+\sinx\cosx$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$的最大值为________。解析：令$t=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\in[1,\sqrt{2}]$，则$\sinx\cosx=\frac{t^2-1}{2}$，$f(x)=t+\frac{t^2-1}{2}=\frac{1}{2}(t+1)^2-1$。当$t=\sqrt{2}$时，$f(x)_{max}=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)^2-1=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$。12.立体几何动态问题在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=2$，$M$为$A_1C_1$中点，$N$是棱$BC$上动点，则$|MN|$的最小值为________。解析：建立坐标系$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$A_1(0,0,2)$，$M(0,1,2)$，$N(2-2t,2t,0)$，$t\in[0,1]$。则$|MN|=\sqrt{(2-2t)^2+(2t-1)^2+4}=\sqrt{8t^2-12t+9}$，当$t=\frac{3}{4}$时，最小值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。三、解答题（共4题，每题20分，共80分）13.数列与不等式综合（20分）已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$。（1）证明：$a_n\geq\sqrt{2n-1}$；（2）设$b_n=\frac{a_n}{\sqrt{n}}$，证明：$b_n-b_{n+1}<\frac{1}{2n\sqrt{n}}$。证明：（1）数学归纳法：当$n=1$时，$a_1=1\geq\sqrt{1}=1$成立假设$n=k$时$a_k\geq\sqrt{2k-1}$，则$a_{k+1}^2=a_k^2+2+\frac{1}{a_k^2}\geq2k-1+2=2k+1$，得证（2）$b_n-b_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{n}}-\frac{a_n+\frac{1}{a_n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{a_n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n(n+1)}}-\frac{1}{a_n\sqrt{n+1}}$$<\frac{a_n}{2\sqrt{n(n+1)}\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{2n-1}\sqrt{n+1}}$(利用$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{2\sqrt{n}}$)由（1）$a_n\geq\sqrt{2n-1}$，代入得$<\frac{1}{2n\sqrt{n}}$14.立体几何与空间向量（20分）如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为菱形，$\angleBAD=60^\circ$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=2$，$E$为$PC$中点。（1）求证：平面$BDE\perp$平面$ABCD$；（2）求二面角$A-BE-D$的余弦值。解答：（1）连接$AC$交$BD$于$O$，连接$OE$。$OE\parallelPA$（中位线），$PA\perp$平面$ABCD$，故$OE\perp$平面$ABCD$，$OE\subset$平面$BDE$，所以平面$BDE\perp$平面$ABCD$。（2）建立坐标系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(-1,\sqrt{3},0)$，$P(0,0,2)$，$E(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1)$。平面$ABE$法向量$\vec{n_1}=(0,1,-\frac{\sqrt{3}}{2})$平面$BDE$法向量$\vec{n_2}=(1,\sqrt{3},0)$二面角余弦值$\cos\theta=|\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}|=\frac{\sqrt{21}}{7}$15.解析几何综合（20分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点$F(2\sqrt{3},0)$，过$F$的直线$l$交椭圆于$M,N$两点。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）设$O$为原点，若$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-4$，求直线$l$的方程。解答：（1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$c=2\sqrt{3}$，得$a=4$，$b^2=a^2-c^2=4$，椭圆方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。（2）设直线$l:x=my+2\sqrt{3}$，代入椭圆得$(m^2+4)y^2+4\sqrt{3}my-4=0$。设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则：$y_1+y_2=-\frac{4\sqrt{3}m}{m^2+4}$，$y_1y_2=-\frac{4}{m^2+4}$$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=x_1x_2+y_1y_2=(my_1+2\sqrt{3})(my_2+2\sqrt{3})+y_1y_2=(m^2+1)y_1y_2+2\sqrt{3}m(y_1+y_2)+12=-4$代入解得$m=\pm\sqrt{2}$，直线方程$x\pm\sqrt{2}y-2\sqrt{3}=0$。16.数论与组合综合（20分）（1）证明：对任意正整数$n$，$n^5-n$能被5整除；（2）求所有正整数$n$，使得$n^2+3n+2$的所有正因数之和等于$2n^2$。解答：（1）由费马小定理，对素数$p=5$，有$n^5\equivn\mod5$，故$n^5-n\equiv0\mod5$。或因式分解：$n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)$，连续三个数中有5的倍数或$n\equiv\pm2\mod5$时$n^2+1\equiv0\mod5$。（2）$n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$，因数和$\sigma(n+1)\sigma(n+2)=2n^2$。设$a=n+1$，则$\sigma(a)\sigma(a+1)=2(a-1)^2$。$a$与$a+1$互质，故$\sigma(a)$和$\sigma(a+1)$都是平方数因数。$a=2$：$\sigma(2)\sigma(3)=2×3=6=2(1)^2=2$（舍）$a=3$：$\sigma(3)\sigma(4)=3×7=21=2(2)^2=8$（舍）$a=4$：$\sigma(4)\sigma(5)=7×6=42=2(3)^2=18$（舍）$a=6$：$\sigma(6)\sigma(7)=12×8=96=2(5)^2=50$（舍）$a=8$：$\sigma(8)\sigma(9)=15×13=195=2(7)^2=98$（舍）$a=12$：$\sigma(12)\sigma(13)=28×14=392=2(11)^2=242$（舍）$a=24$：$\sigma(24)\sigma(25)=60×31=1