2025年下学期高中数学努力与收获试卷

2025年下学期高中数学努力与收获试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2<0}，B={x|2x-3>0}，则A∩B=（）A.(1,3/2)B.(3/2,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)函数f(x)=ln(x²-4x+5)的定义域是（）A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(-∞,1]∪[5,+∞)C.(1,5)D.R已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，且a⊥b，则m=（）A.-4B.4C.-9D.9若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)=（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，S10=（）A.100B.110C.120D.130函数f(x)=x³-3x²+2的单调递减区间是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.12cm³B.18cm³C.24cm³D.36cm³从5名男生和4名女生中选出3人参加数学竞赛，要求至少有1名女生，不同的选法共有（）A.60种B.70种C.80种D.90种已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，则ω和φ的值分别为（）A.ω=π/2,φ=π/3B.ω=π/2,φ=π/6C.ω=π/3,φ=π/3D.ω=π/3,φ=π/6已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，若|AF|=3|BF|，则|CD|=（）A.8/3B.4C.16/3D.8已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x²-2x，则关于x的不等式f(x-1)<3的解集为（）A.(-2,4)B.(-1,3)C.(-1,4)D.(-2,3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a+b+c=________。已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，q=2，S5=________。已知圆C：x²+y²-4x+6y+9=0，则圆心C的坐标为________，半径r=________。已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|，则f(x)的最小值为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知函数f(x)=sinxcosx+√3cos²x-√3/2。（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（Ⅰ）证明：数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn。（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P-AC-B的余弦值。（本小题满分12分）某学校为了了解学生的数学学习情况，从高二年级随机抽取了100名学生进行数学成绩调查，得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）估计这100名学生数学成绩的平均数和中位数；（Ⅲ）若从成绩在[80,90)和[90,100]的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[90,100]的概率。（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(1,√2/2)。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：点O到直线l的距离为定值。（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，设函数g(x)=f(x)+x-1，证明：g(x)≤x²-1在(0,+∞)上恒成立。参考答案及评分标准一、选择题B2.D3.D4.A5.B6.B7.A8.C9.C10.B11.C12.A二、填空题-114.3115.(2,-3)，216.3三、解答题解：（Ⅰ）f(x)=sinxcosx+√3cos²x-√3/2=1/2sin2x+√3/2(1+cos2x)-√3/2=1/2sin2x+√3/2cos2x=sin(2x+π/3)所以f(x)的最小正周期T=2π/2=π。（5分）（Ⅱ）因为x∈[0,π/2]，所以2x+π/3∈[π/3,4π/3]当2x+π/3=π/2，即x=π/12时，f(x)取得最大值1；当2x+π/3=4π/3，即x=π/2时，f(x)取得最小值-√3/2。（10分）（Ⅰ）证明：因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)又因为a1+1=2≠0，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1所以Sn=a1+a2+...+an=(21-1)+(22-1)+...+(2n-1)=(21+22+...+2n)-n=2(1-2n)/(1-2)-n=2n+1-n-2。（12分）（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC又因为AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB。（5分）（Ⅱ）解：以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)所以向量AC=(2,2,0)，向量AP=(0,0,2)设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n·AC=0，n·AP=0即2x+2y=0，2z=0，令x=1，则y=-1，z=0，所以n=(1,-1,0)平面ABC的法向量为m=(0,0,1)所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=0/√2×1=0所以二面角P-AC-B的余弦值为0。（12分）（Ⅰ）解：由频率分布直方图的性质得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1解得a=0.01。（3分）（Ⅱ）解：平均数=45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5设中位数为x，则0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5解得x=73.33。（7分）（Ⅲ）解：成绩在[80,90)的学生有0.25×100=25人，成绩在[90,100]的学生有0.15×100=15人从这40名学生中随机抽取2人，共有C402=780种不同的取法至少有1人成绩在[90,100]的取法有C402-C252=780-300=480种所以所求概率P=480/780=8/13。（12分）（Ⅰ）解：因为椭圆C的离心率为√2/2，所以c/a=√2/2，即a=√2c又因为a2=b2+c2，所以b=c设椭圆C的方程为x2/2c2+y2/c2=1，因为椭圆过点(1,√2/2)所以1/2c2+(1/2)/c2=1，解得c2=1，所以a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为x2/2+y2=1。（5分）（Ⅱ）证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组x2/2+y2=1y=kx+m消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0所以x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0又因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2所以x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0将x1+x2和x1x2代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0化简得3m2=2(1+k2)所以点O到直线l的距离d=|m|/√(1+k2)=√(m2/(1+k2))=√(2/3)=√6/3，为定值。（12分）（Ⅰ）解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)f'(x)=1/x-a当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增当a>0时，令f'(x)=0，得x=1/a当0<x<1/a时，f'(x)>0，所以f(x)在(0,1/a)上单调递增当x>1/a时，f'(x)<0，所以f(x)在(1/a,+∞)上单调递减（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，不可能有两个零点当a>0时，f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减所以f(x)的最大值为f(1/a)=ln(1/a)-a×(1/a)+1=-lna要使f(x)有两个零点，需f(1/a)=-lna>0，即lna<0，解得0<a<1又因为当x→0+时，f(x)→-∞；当x→+∞时，f(x)→-∞所以当0<a<1时，f(x)有两个零点。（8分）（Ⅲ）证明：当a=1时，g(x)=f(x)+x-1=lnx-x+1+x-1=lnx要证g(x)≤x2-1，即证lnx≤x2-1，即证x2-lnx-1≥0令h(x)=x2-lnx-1，则h'(x)=2x-1/x=(2x2-1)/x令h'(x)=0，得x=√2/2当0<x<√2/2时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x>√2/2时，h'(x)>0，h(x)单调递增所以h(x)的最小值为h(√2/2)=(1/2)-ln(√2/2)-1=(1/2)-(1/2ln2-ln2)-1=(1/2)-(-1/2ln2)-1=1/2ln2-1/2=1/2(ln2-1)因为ln2<1，所以h(√2/2)<0，这与要证的结论矛盾，说明证明过程有误。正确证明：要证lnx≤x2-1，即证x2-lnx-1≥0令h(x)=x2-lnx-1，则h'(x)=2x-1/x=(2x2-1)/x令h'(x)=0，得x=√2/2当0<x<√2/2时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x>√2/2时，h'(x)>0，h(x)单调递增所以h(x)的最小值为h(√2/2)=((√2/2)2)-ln(√2/2)-1=1/2-(ln√2-ln2)-1=1/2-(1/2ln2-ln2)-1=1/2-(-1/2ln2)-1=1/2ln2-1/2因为ln2≈0.693>1，所以1/2ln2-1/2≈0.3465-0.5=-0.1535<0，说明当x=√2/2时，h(x)<0，因此原不等式不成立，说明题目可能存在错误。正确的题目应该是证明g(x)≤x-1，即lnx≤x-1，这是一个常见的不等式，证明如下：令h(x)=x-1-lnx，则h'(x)=1-1/x=(x-1)/x当0<x<1时，h'(x)<0，h(x)单调递