2025年下学期高中数学培优补差效果试卷

2025年下学期高中数学培优补差效果试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((1,2])复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数(\overline{z})在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限函数(f(x)=\ln(x^2-2x-3))的单调递减区间是（）A.((-\infty,1))B.((-\infty,-1))C.((3,+\infty))D.((1,+\infty))某学校为了解学生数学学习情况，随机抽取100名学生进行调查，得到成绩频率分布直方图（如图）。若成绩在[80,100]内的学生人数为25，则图中(a)的值为（）A.0.015B.0.020C.0.025D.0.030在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{10})D.4已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec{b}))，则(m=)（）A.-5B.5C.-3D.3执行如图所示的程序框图，若输入(n=5)，则输出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，则(\sin2\alpha=)（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{2}{3})D.(\frac{3}{4})已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知函数(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分图象如图所示，则(\omega+\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{3})C.(\frac{\pi}{2})D.(\frac{2\pi}{3})已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x+2)=f(x))，且当(x\in[0,2))时，(f(x)=x^2-2x)，则方程(f(x)=\frac{1}{2})在([-2,4])上的解的个数为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，则(z=x+2y)的最大值为________。已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=7)，则公比(q=)________。从2名男生和3名女生中随机抽取2人参加数学竞赛，则抽取的2人中至少有1名男生的概率为________。在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，则三棱锥(P-ABC)的外接球的表面积为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知数列({a_n})是等差数列，(a_1=1)，公差(d=2)，数列({b_n})满足(b_n=2^{a_n})。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分12分）如图，在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)平面(ABCD)，(E)是(PD)的中点。（1）求证：(PB\parallel)平面(AEC)；（2）若(AB=2)，(AD=1)，(PA=1)，求点(B)到平面(AEC)的距离。（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，销售单价为60元。为了促销，工厂决定当一次购买量超过100件时，每多购买一件，全部产品的销售单价均降低0.02元，但不能低于50元。设一次购买量为(x)件，销售单价为(p)元，利润为(y)元。（1）写出(p)关于(x)的函数关系式；（2）当一次购买量(x)为多少时，工厂获得的利润(y)最大？最大利润是多少？（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求(\triangleAOB)面积的最大值。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\inR)）。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在((0,+\infty))上单调递减，求(a)的取值范围。（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，已知抛物线(E:y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线(l)与抛物线(E)交于(A,B)两点。（1）若(|AB|=8)，求直线(l)的方程；（2）设点(M)在抛物线(E)的准线上，且(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0)，求证：直线(AB)过定点。参考答案及评分标准（部分）一、选择题A2.D3.B4.C5.C6.A7.B8.B9.A10.C11.D12.B二、填空题814.215.(\frac{7}{10})16.(12\pi)三、解答题（部分示例）17.解：（1）因为({a_n})是等差数列，(a_1=1)，(d=2)，所以(a_n=a_1+(n-1)d=2n-1)。（2）由（1）得(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，所以({b_n})是首项为2，公比为4的等比数列，则(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3})。21.解：（1）当(a=1)时，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，定义域为((0,+\infty))，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)。令(g(x)=\lnx-2x+2)，则(g'(x)=\frac{1}{x}-2)。当(x\in(0,\frac{1}{2}))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增；当(x\in(\frac{1}{2},+\infty))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减。又(g(1)=0)，(g(\frac{1}{e})=-1-\frac{2}{e}+2=1-\frac{2}{e}>0)，所以存在(x_0\in(\frac{1}{e},\frac{1}{2}))，使得(g(x_0)=0)。故当(x\in(0,x_0)\cup(1,+\infty))时，(f'(x)<0)；当(x\in(x_0,1))时，(f'(x)>0)，所以(f(x))的单调递增区间为((x_0,1))，单调递减区间为((0,x_0))，((1,+\infty))。（2）(f'(x)=\lnx+1-2ax+(2a-1)=\lnx-2ax+2a)，因为(f(x))在((0,+\infty))上单调递减，所以(f'(x)\leq0)在((0,+\infty))上恒成立，即(\lnx-2ax+2a\leq0)，(2a(x-1)\geq\lnx)。当(x=1)时，不等式恒成立；当(x>1)时，(2a\geq\frac{\lnx}{x-1})，令(h(x)=\frac{\lnx}{x-1})，则(h'(x)=\frac{\frac{x-1}{x}-\lnx}{(x-1)^2})，令(t(x)=\frac{x-1}{x}-\lnx=1-\frac{1}{x}-\lnx)，则(t'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}<0)，所以(t(x))在((1,+\infty))上单调递减，(t(x)<t(1)=0)，故(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，所以(h(x)<h(1)=\lim_{x\to1}\frac{\lnx}{x-1}=1)，因此(2a\geq1)，即(a\geq\frac{1}{2