2025年下学期高中数学期中模拟试卷

2025年下学期高中数学期中模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2x-3>0})，则(A\capB=)（）A.((1,\frac{3}{2}))B.((\frac{3}{2},2))C.((1,2))D.((\frac{3}{2},+\infty))函数(f(x)=\ln(x^2-4x+3))的定义域是（）A.((-\infty,1)\cup(3,+\infty))B.((1,3))C.((-\infty,1]\cup[3,+\infty))D.([1,3])已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec{b}))，则(m=)（）A.-10B.-5C.5D.10下列函数中，既是奇函数又在区间((0,+\infty))上单调递增的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\lnx)D.(f(x)=\frac{1}{x})已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，则(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{7\sqrt{2}}{10})B.(-\frac{\sqrt{2}}{10})C.(\frac{\sqrt{2}}{10})D.(\frac{7\sqrt{2}}{10})已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3函数(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期和最大值分别是（）A.(\pi)，2B.(2\pi)，2C.(\pi)，1D.(2\pi)，1已知直线(l_1:ax+2y+6=0)与(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0)平行，则(a=)（）A.-1B.2C.-1或2D.1若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\leq3\x-y\geq-1\y\geq1\end{cases})，则(z=2x+y)的最大值为（）A.3B.4C.5D.6已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)，则函数(f(x))的极大值点是（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x+2)=-f(x))，且当(x\in[0,2))时，(f(x)=x^2)，则(f(2025)=)（）A.0B.1C.4D.9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）曲线(y=x^3-2x+1)在点((1,0))处的切线方程为________。已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。已知圆(C:x^2+y^2-4x+6y-3=0)，则圆(C)的圆心坐标为________，半径为________。（注：本小题第一空2分，第二空3分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，则(c=)________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且满足(\cosA=\frac{3}{5})，(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6)。（1）求(\triangleABC)的面积；（2）若(b+c=7)，求(a)的值。（本小题满分12分）如图，在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(AD=4)，(E)是(PD)的中点。（1）求证：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求三棱锥(E-PBC)的体积。（注：图略，考生可根据文字描述作答）（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)处取得极值，且在(x=2)处的切线方程为(y=12x-15)。（1）求函数(f(x))的解析式；（2）求函数(f(x))在区间([-2,3])上的最大值和最小值。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦点分别为(F_1,F_2)，离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）过(F_1)的直线(l)与椭圆(C)交于(A,B)两点，若(\triangleABF_2)的面积为(\frac{4\sqrt{3}}{5})，求直线(l)的方程。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1(a\inR))。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\inR)恒成立，求实数(a)的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)(n\inN^*))。参考答案及评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题B2.A3.D4.A5.B6.AA8.A9.C10.A11.A12.B二、填空题(y=x-1)3((2,-3))，4(\sqrt{7})三、解答题解：（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，由题意得：(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=35\end{cases})，解得(a_1=3)，(d=2)，(\thereforea_n=3+(n-1)\times2=2n+1)。（5分）（2）(b_n=2^{a_n}=2^{2n+1}=2\times4^n)，(\thereforeT_n=2(4^1+4^2+\cdots+4^n)=2\times\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{8(4^n-1)}{3})。（10分）解：（1）(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cosA=6)，(\cosA=\frac{3}{5})，则(bc=10)，(\sinA=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5})，(\thereforeS_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times10\times\frac{4}{5}=4)。（6分）（2）由余弦定理得：(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=(b+c)^2-2bc(1+\cosA))，代入(b+c=7)，(bc=10)，得(a^2=49-2\times10\times(1+\frac{3}{5})=29)，(\thereforea=\sqrt{29})。（12分）（1）证明：取(PC)中点(F)，连接(EF,BF)，(\becauseE,F)分别为(PD,PC)中点，(\thereforeEF\parallelCD)且(EF=\frac{1}{2}CD)，又(AB\parallelCD)且(AB=CD)，(\thereforeEF\parallelAB)且(EF=AB)，(\therefore)四边形(ABFE)为平行四边形，(\thereforeAE\parallelBF)，(\becauseBF\subset)平面(PBC)，(AE\not\subset)平面(PBC)，(\thereforeAE\parallel)平面(PBC)。（6分）（2）解：(V_{E-PBC}=V_{P-EBC})，(E)为(PD)中点，(\thereforeE)到平面(ABCD)距离为(\frac{1}{2}PA=1)，(S_{\triangleEBC}=S_{\trianglePBC}-S_{\trianglePBE})（或直接计算），解得(V=\frac{4}{3})。（12分）（1）(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由题意得：(\begin{cases}f'(-1)=0\f(2)=9\f'(2)=12\end{cases})，解得(a=-3)，(b=0)，(c=-3)，(\thereforef(x)=x^3-3x^2-3)。（6分）（2）(f'(x)=3x(x-2))，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)，列表分析得：(f(x){\text{max}}=f(0)=-3)，(f(x){\text{min}}=f(-2)=-23)。（12分）（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，(a^2=b^2+c^2)，代入点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))，解得(a^2=2)，(b^2=1)，(\therefore)椭圆方程为(\frac{x^2}{2}+y^2=1)。（4分）（2）(F_1(-1,0))，设直线(l:x=my-1)，与椭圆联立得：((m^2+2)y^2-2my-1=0)，(S_{\triangleABF_2}=\frac{1}{2}\times2c\times|y_1-y_2|=\frac{4\sqrt{3}}{5})，解得(m=\pm1)，(\thereforel:x-y+1=0)或(x+y+1=0)。（12分）（1）(f'(x)=e^x-a)，当(a\leq0)时，(f'(x)>0)，(f(x))在(R)上单调递增；当(a>0)时，(x\in(-\infty,\lna))时(f'(x)<0)，(x\in(\lna,+\infty))时(f'(x)>0)。（4分）（2）由（