2025年上学期高二数学期中模拟冲刺卷四

2025年上学期高二数学期中模拟冲刺卷四一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知空间向量$\vec{a}=(1,2,-3)$，$\vec{b}=(2,m,6)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则实数$m$的值为（）A.-4B.4C.-1D.1若直线$l$的方向向量为$\vec{v}=(2,1,-1)$，平面$\alpha$的法向量为$\vec{n}=(1,-2,1)$，则直线$l$与平面$\alpha$的位置关系是（）A.垂直B.平行C.直线在平面内D.相交但不垂直圆$C_1$：$x^2+y^2-2x+4y+1=0$与圆$C_2$：$x^2+y^2-4x-2y-4=0$的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切抛物线$y^2=4x$上一点$P$到焦点的距离为5，则点$P$的横坐标为（）A.3B.4C.5D.6已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$，则椭圆的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$B.$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$C.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$D.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的渐近线方程为（）A.$y=\pm\frac{3}{4}x$B.$y=\pm\frac{4}{3}x$C.$y=\pm\frac{9}{16}x$D.$y=\pm\frac{16}{9}x$已知空间直角坐标系中，点$A(1,0,2)$，$B(3,-2,4)$，则线段$AB$的中点坐标为（）A.$(2,-1,3)$B.$(2,1,3)$C.$(4,-2,6)$D.$(-2,2,-2)$若直线$3x-4y+m=0$与圆$x^2+y^2-2x+4y-4=0$相切，则实数$m$的值为（）A.$-5$或$15$B.$5$或$-15$C.$-25$或$5$D.$25$或$-5$已知抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，过点$F$的直线与抛物线交于$A$，$B$两点，若$|AF|=3$，$|BF|=2$，则$p$的值为（）A.$\frac{12}{5}$B.$\frac{6}{5}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{2}{5}$椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，则点$M$到右焦点$F_2$的距离为（）A.8B.6C.4D.2已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一条渐近线方程为$y=\sqrt{3}x$，且过点$(2,3)$，则双曲线的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$B.$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{6}=1$C.$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$D.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$在空间直角坐标系中，已知平面$\alpha$经过点$A(1,2,3)$，且法向量为$\vec{n}=(2,-1,1)$，则平面$\alpha$的方程为（）A.$2x-y+z-3=0$B.$2x+y+z-7=0$C.$2x-y+z+3=0$D.$2x+y+z+7=0$二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知空间向量$\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec{b}=(1,2,-1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$________。圆$x^2+y^2-4x+6y+9=0$的圆心坐标为________，半径为________。抛物线$x^2=-8y$的焦点坐标为________，准线方程为________。已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，离心率为$\frac{1}{2}$，点$P$在椭圆上，且$\trianglePF_1F_2$的周长为6，则椭圆的标准方程为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知空间向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，求：（1）$2\vec{a}+\vec{b}$；（2）$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角的余弦值。（本小题满分12分）已知圆$C$的圆心在直线$x-2y+3=0$上，且过点$A(2,3)$，$B(-2,5)$，求圆$C$的标准方程。（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$，$F$分别是棱$A_1D_1$，$C_1D_1$的中点。（1）求直线$BE$与平面$BCC_1B_1$所成角的正弦值；（2）求二面角$E-BF-C$的余弦值。（本小题满分12分）已知抛物线$C$：$y^2=4x$，过焦点$F$的直线$l$与抛物线交于$M$，$N$两点，且$|MN|=8$，求直线$l$的方程。（本小题满分12分）已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点$(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）设直线$l$：$y=kx+m$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点，若$OA\perpOB$，求$m^2$的取值范围。（本小题满分12分）已知双曲线$C$：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为2，且过点$(2,3)$。（1）求双曲线$C$的标准方程；（2）设双曲线$C$的左、右顶点分别为$A_1$，$A_2$，点$P$在双曲线$C$上，且直线$PA_1$，$PA_2$的斜率之积为$\frac{3}{4}$，求点$P$的坐标。参考答案及解析一、选择题A解析：因为$\vec{a}\parallel\vec{b}$，所以存在实数$\lambda$，使得$\vec{a}=\lambda\vec{b}$，即$(1,2,-3)=\lambda(2,m,6)$，则$\left{\begin{array}{l}1=2\lambda\2=\lambdam\-3=6\lambda\end{array}\right.$，解得$\lambda=-\frac{1}{2}$，$m=-4$，故选A。B解析：因为$\vec{v}\cdot\vec{n}=2\times1+1\times(-2)+(-1)\times1=2-2-1=-1\neq0$，所以直线$l$与平面$\alpha$不垂直；又因为$\vec{v}$与$\vec{n}$不共线，所以直线$l$与平面$\alpha$平行，故选B。C解析：将圆$C_1$的方程化为标准方程：$(x-1)^2+(y+2)^2=4$，圆心$C_1(1,-2)$，半径$r_1=2$；将圆$C_2$的方程化为标准方程：$(x-2)^2+(y-1)^2=9$，圆心$C_2(2,1)$，半径$r_2=3$。则$|C_1C_2|=\sqrt{(2-1)^2+(1+2)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，因为$r_2-r_1=1$，$r_1+r_2=5$，且$1<\sqrt{10}<5$，所以两圆相交，故选C。B解析：抛物线$y^2=4x$的焦点为$F(1,0)$，准线方程为$x=-1$。设点$P$的坐标为$(x,y)$，由抛物线的定义知，点$P$到焦点的距离等于点$P$到准线的距离，即$x+1=5$，解得$x=4$，故选B。A解析：由椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又因为$a^2=b^2+c^2$，所以$a^2=b^2+\frac{3}{4}a^2$，即$b^2=\frac{1}{4}a^2$。将点$(2,1)$代入椭圆方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，将$b^2=\frac{1}{4}a^2$代入得$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1$，解得$a^2=8$，则$b^2=2$，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，故选A。B解析：双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{4}{3}x$，故选B。A解析：线段$AB$的中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{0+(-2)}{2},\frac{2+4}{2})=(2,-1,3)$，故选A。C解析：将圆的方程化为标准方程：$(x-1)^2+(y+2)^2=9$，圆心坐标为$(1,-2)$，半径$r=3$。因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{|3\times1-4\times(-2)+m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3$，解得$|m+11|=15$，即$m+11=15$或$m+11=-15$，解得$m=4$或$m=-26$，无正确选项。（注：此处可能存在计算错误，正确计算应为：$\frac{|3\times1-4\times(-2)+m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|3+8+m|}{5}=\frac{|m+11|}{5}=3$，则$|m+11|=15$，$m+11=15$或$m+11=-15$，解得$m=4$或$m=-26$，与选项均不符，可能题目或选项有误，建议检查题目条件或选项设置。）A解析：设点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由抛物线的定义知，$|AF|=x_1+\frac{p}{2}=3$，$|BF|=x_2+\frac{p}{2}=2$，则$x_1=3-\frac{p}{2}$，$x_2=2-\frac{p}{2}$。设直线$AB$的方程为$y=k(x-\frac{p}{2})$，代入抛物线方程得$k^2(x-\frac{p}{2})^2=2px$，整理得$k^2x^2-(k^2p+2p)x+\frac{k^2p^2}{4}=0$。由韦达定理得$x_1+x_2=\frac{k^2p+2p}{k^2}$，$x_1x_2=\frac{p^2}{4}$。又因为$|AB|=x_1+x_2+p=3-\frac{p}{2}+2-\frac{p}{2}+p=5$，而题目中未给出$|AB|$的值，无法直接求解$p$，可能题目条件缺失。（注：此处可能存在题目信息不完整的问题，建议补充条件后再进行求解。）A解析：椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$中，$a=5$，由椭圆的定义知，点$M$到两个焦点的距离之和等于$2a=10$，因为点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，所以点$M$到右焦点$F_2$的距离为$10-2=8$，故选A。A解析：由双曲线的渐近线方程$y=\sqrt{3}x$，得$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，即$b=\sqrt{3}a$。将点$(2,3)$代入双曲线方程得$\frac{4}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1$，将$b=\sqrt{3}a$代入得$\frac{4}{a^2}-\frac{9}{3a^2}=1$，即$\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a^2}=1$，解得$a^2=1$，则$b^2=3$，所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$，故选A。A解析：平面$\alpha$的方程为$2(x-1)-1(y-2)+1(z-3)=0$，整理得$2x-y+z-3=0$，故选A。二、填空题2解析：$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times1+(-1)\times2+3\times1=2-2+3=3$。（注：此处原始计算错误，正确应为$2\times1+(-1)\times2+3\times1=2-2+3=3$，答案应为3。）$(2,-3)$，2解析：将圆的方程化为标准方程：$(x-2)^2+(y+3)^2=4$，所以圆心坐标为$(2,-3)$，半径为$2$。$(0,-2)$，$y=2$解析：抛物线$x^2=-8y$的焦点坐标为$(0,-\frac{p}{2})=(0,-2)$，准线方程为$y=\frac{p}{2}=2$。$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$解析：由椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$c=\frac{1}{2}a$，又因为$a^2=b^2+c^2$，所以$a^2=b^2+\frac{1}{4}a^2$，即$b^2=\frac{3}{4}a^2$。由$\trianglePF_1F_2$的周长为$2a+2c=6$，将$c=\frac{1}{2}a$代入得$2a+2\times\frac{1}{2}a=6$，解得$a=2$，则$c=1$，$b^2=3$，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。三、解答题解：（1）$2\vec{a}+\vec{b}=2(1,2,3)+(2,-1,1)=(2+2,4-1,6+1)=(4,3,7)$。（2）$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+2\times(-1)+3\times1=2-2+3=3$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$，$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$，所以$\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3}{\sqrt{14}\times\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。解：设圆$C$的圆心坐标为$(2m-3,m)$，因为圆$C$过点$A(2,3)$，$B(-2,5)$，所以$|CA|=|CB|$，即$\sqrt{(2m-3-2)^2+(m-3)^2}=\sqrt{(2m-3+2)^2+(m-5)^2}$，两边平方得$(2m-5)^2+(m-3)^2=(2m-1)^2+(m-5)^2$，展开得$4m^2-20m+25+m^2-6m+9=4m^2-4m+1+m^2-10m+25$，移项合并同类项得$-26m+34=-14m+26$，解得$m=1$，所以圆心坐标为$(2\times1-3,1)=(-1,1)$，半径$r=\sqrt{(2+1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$，所以圆$C$的标准方程为$(x+1)^2+(y-1)^2=13$。解：（1）以$D$为原点，分别以$DA$，$DC$，$DD_1$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系，则$B(2,2,0)$，$E(1,0,2)$，$C(0,2,0)$，$\vec{BE}=(1-2,0-2,2-0)=(-1,-2,2)$，平面$BCC_1B_1$的法向量为$\vec{n}=(0,1,0)$。设直线$BE$与平面$BCC_1B_1$所成角为$\theta$，则$\sin\theta=|\cos\langle\vec{BE},\vec{n}\rangle|=\frac{|\vec{BE}\cdot\vec{n}|}{|\vec{BE}||\vec{n}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}\times1}=\frac{2}{3}$。（2）$F(0,1,2)$，$\vec{BF}=(0-2,1-2,2-0)=(-2,-1,2)$，$\vec{BE}=(-1,-2,2)$。设平面$EBF$的法向量为$\vec{m}=(x,y,z)$，则$\left{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot\vec{BE}=-x-2y+2z=0\\vec{m}\cdot\vec{BF}=-2x-y+2z=0\end{array}\right.$，令$z=1$，解得$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{2}{3}$，所以$\vec{m}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},1)$。平面$BCF$的法向量为$\vec{p}=(0,0,1)$。设二面角$E-BF-C$的平面角为$\varphi$，则$\cos\varphi=|\cos\langle\vec{m},\vec{p}\rangle|=\frac{|\vec{m}\cdot\vec{p}|}{|\vec{m}||\vec{p}|}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+1^2}\times1}=\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{17}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$。解：抛物线$C$：$y^2=4x$的焦点为$F(1,0)$，设直线$l$的方程为$x=ty+1$，代入抛物线方程得$y^2=4(ty+1)$，即$y^2-4ty-4=0$。设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则$y_1+y_2=4t$，$y_1y_2=-4$。所以$|MN|=\sqrt{1+t^2}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{1+t^2}\cdot\sqrt{(4t)^2-4\times(-4)}=\sqrt{1+t^2}\cdot\sqrt{16t^2+16}=4(1+t^2)$。因为$|MN|=8$，所以$4(1+t^2)=8$，解得$t^2=1$，即$t=\pm1$，所以直线$l$的方程为$x=\pmy+1$，即$x+y-1=0$或$x-y-1=0$。解：（1）由椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，又因为$a^2=b^2+c^2$，所以$a^2=b^2+\frac{1}{2}a^2$，即$b^2=\frac{1}{2}a^2$。将点$(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$代入椭圆方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{b^2}=1$，将$b^2=\frac{1}{2}a^2$代入得$\frac{1}{a^2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}a^2}=1$，即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=1$，解得$a^2=2$，则$b^2=1$，所以椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^2}{2}+y^2=1$。（2）将直线$l$的方程代入椭圆方程得$\frac{x^2}{2}+(kx+m)^2=1$，整理得$(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0$。因为直线与椭圆交于两点，所以$\Delta=(4km)^2-4(1+2k^2)(2m^2-2)=16k^2m^2-8(1+2k^2)(m^2-1)=16k^2m^2-8(m^2-1+2k^2m^2-2k^2)=16k^2m^2-8m^2+8-16k^2m^2+16k^2=-8m^2+8+16k^2>0$，即$2k^2-m^2+1>0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}$，$x_1x_2=\frac{2m^2-2}{1+2k^2}$。因为$OA\perpOB$，所以$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0$，又因为$y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2$，所以$x_1x_2+k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0$，即$(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0$，将$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入得$(1+k^2)\times\frac{2m^2-2}{1+2k^2}+km\times(-\frac{4km}{1+2k^2})+m^2=0$，整理得$\frac{2(1+k^