2025年上学期高二数学十月月考综合试题

2025年上学期高二数学十月月考综合试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）直线3x+4y-1=0的一个方向向量是（）A.(3,4)B.(4,3)C.(1,-3/4)D.(1,-4/3)已知直线l₁:2x+2y-1=0，l₂:4x+ny+3=0，l₃:mx+6y-1=0，若l₁//l₂且l₁⊥l₃，则m+n的值为（）A.-10B.10C.-2D.2总体由编号为01,02,…,30的30个个体组成，利用随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）（第一行）17121340332038261389510374177637（第二行）13040774211930566218373596835087A.20B.26C.17D.03已知向量n₁=(-1,9,1)，n₂=(m,-3,2)，n₃=(0,2,1)，若{n₁,n₂,n₃}不能构成空间的一个基底，则m=（）A.3B.1C.5D.7某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行，采用三局两胜制。已知每局比赛甲胜出的概率为3/5，各局胜负互不影响，则甲以2:1获胜的概率为（）A.36/125B.54/125C.72/125D.81/125已知圆(x-2)²+y²=1与双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于A,B两点，且|AB|=1，则该双曲线的离心率为（）A.2B.√3C.2√3/3D.4√13/13在空间直角坐标系中，点A(1,-3,7)到Ozx平面的距离为（）A.1B.3C.7D.√59已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱长均为1，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，∠DAB=90°，则|AC₁|=（）A.√2B.√3C.√5D.√6二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知点P在圆C:(x-6)²+(y-5)²=16上，直线l:x+3y=12与x轴、y轴分别交于A,B两点，则（）A.直线l与圆C相离B.点P到直线l的距离小于7C.当|PA|最大时，|PA|=3√10D.以AB为直径的圆与圆C的公共弦所在直线方程为6x+y-25=0设平面直角坐标系中，椭圆Γ:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点为F₁，且与抛物线C:y²=4x有公共焦点。若P是抛物线C上的一点，则下列说法正确的是（）A.椭圆Γ和抛物线C存在交点B.若P(1,2)，则直线F₁P与抛物线C相切C.若|PF₁|=√5，则点P坐标为(2,±2√2)D.若∠PF₁O=90°（O为原点），则点P的横坐标为-2+√5下列说法正确的是（）A.已知向量a=(0,√3,1)，b=(0,0,-1)，则a在b上的投影向量为(0,0,-1/2)B.若G是四面体OABC的底面ABC的重心，则OG=(OA+OB+OC)/3C.若OG=OA/5+2OB/5+2OC/5，则A,B,C,G四点共面D.若向量p=λa+μb+νc（a,b,c不共线），则称p在基底{a,b,c}下的坐标为(λ,μ,ν)。若p在单位正交基底{i,j,k}下的坐标为(2,2,3)，则p在基底{i,i+j,k}下的坐标为(0,2,3)已知抛物线E:y²=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交E于A,B两点，M是AB的中点，则（）A.若|AB|=8，AB的中点M到y轴的距离为3，则p=2B.以AB为直径的圆与E的准线相切C.若直线AB的斜率为√3，则|AF|=2|BF|D.若点M的坐标为(3,-2)，则直线AB的斜率为-3/2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知直线l₁:mx+y-5=0与l₂:3x-y-4=0平行，则实数m的值是________。已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为1/2。若A,B分别是椭圆的上、下顶点，F₁,F₂分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，且PF₁·PF₂=-1/2，则△PF₁F₂的面积为________。在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，Tᵢ(i=1,2,…,12)分别为各棱的中点，则这12个点中到直线AC₁距离为√6/3的点有________个。已知数列{aₙ}满足a₁=1，a₂=2，aₙ₊₁=aₙ+2aₙ₋₁(n≥2)，则数列{aₙ}的前2025项和S₂₀₂₅=________。四、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知圆心为C的圆经过点A(1,4)，B(3,6)，且圆心C在直线x-4y=0上。（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点P(0,1)且截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程。（12分）如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁=2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°，设AB=a，AD=b，AA₁=c。（1）试用a,b,c表示向量A₁C；（2）求线段A₁C的长度。（12分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取100名学生进行调查。已知高一年级有学生800人，高二年级有学生600人，高三年级有学生600人。（1）求从三个年级各抽取的人数；（2）调查发现，100名学生中每天锻炼时间超过1小时的有40人，其中高一年级12人，高二年级10人。完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“锻炼时间超过1小时与年级有关”。高一年级高二、三年级合计超过1小时1240不超过1小时60合计100（参考公式：K²=n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d）（临界值表）|P(K²≥k₀)|0.10|0.05|0.010||----------|-------|-------|-------||k₀|2.706|3.841|6.635|（12分）已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为2。（1）求双曲线C的方程；（2）右焦点为F，在x轴的负半轴上是否存在定点M，使得对于双曲线C右支上任意一点P，都有∠PFM=2∠PMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（12分）已知抛物线E:y²=4x的焦点为F，过点M(4,0)的直线交E于A,B两点。（1）若|AB|=10，求直线AB的方