数学用完全平方公式分解因式（教学课件） 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

17.2.2用完全平方公式分解因式人教版(2024)八年级上册第十七章

因式分解学习目标1能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式2能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式旧识回顾计算下列各式：①(x＋2)2＝____________；

②(x－2)2＝____________；③(2x＋3y)2＝______________；

④(2x－3y)2＝______________.复习

完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.(a±b)2＝a2±2ab＋b2.x2＋4x＋4x2－4x＋44x2＋12xy＋9y24x2－12xy＋9y2探索新知思考多项式

a2＋2ab＋b2与

a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它分解因式吗？这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把

a2＋2ab＋b2

和

a2－2ab＋b2

这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.把整式乘法的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等号两边互换，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，

a2－2ab＋b2＝(a－b)2.探索新知完全平方公式法分解因式完全平方式的特点：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”.两个数的平方和加上

(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，

a2－2ab＋b2＝(a－b)2.典型例题例3

分解因式：(1)x2＋4x＋4；

(2)16x2－24x＋9

.

x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22a2＋2·a·b＋b2解：(1)x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22＝(x＋2)2.16x2－24x＋9＝

4x

²－2·4x·3＋3²a2－

2·a·b＋b2(2)16x2－24x＋9

＝(4x)2－2·4x·3＋32

＝(4x－3)2.典型例题例4

分解因式：(1)(a＋b)²－12(a＋b)＋36；

(2)－x²＋4xy－4y².

分析：在

(1)中，将

a＋b看作一个整体，设

a＋b＝m，则原式可化为完全平方式

m²－12m＋36；分析：对于

(2)，可通过添括号将原式写成

－(x²－4xy＋4y2)，括号内的式子为完全平方式.解：(1)(a＋b)－12(a＋b)＋36

＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62

＝(a＋b－6)2.(2)

－x2＋4xy－4y2＝

－(x2-4xy＋4y2)＝

－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝

－(x－2y)2.把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.典型例题例5

分解因式：(1)x4－y4；

(2)a³b－ab.

分析：在(1)中，x4－y4可以写成(x²)²－(y²)²的形式，可用公式法分解因式；分析：对于(2)，a³b－ab的两项有公因式

ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.解：(1)x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y).(2)a³b－ab.＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1).分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.典型例题例6

分解因式：(1)3ax²＋6axy＋3ay²；

(2)－ax²＋2a²x－a³.

分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式.解：(1)3ax²＋6axy＋3ay²

＝3a(x²＋2xy＋y²)

＝3a(x＋y)2.

(2)－ax²＋2a²x－a³

＝－a(x²－2ax＋a2)

＝－a(x－a)2.

探索新知(2)套：考虑是否可用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式.当不能直接因式分解时，可经适当变形后整理成能用提公因式法或公式法的形式，再进行因式分解；(3)检查：检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解.(1)提：看有无公因式，若有，则提取公因式；进行因式分解的步骤探索新知阅读与思考x2＋(p＋q)x＋pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？我们发现，(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：(x＋p)(x＋q)＝x2＋px＋qx＋pq

＝x2＋(p＋q)x＋pq.因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).探索新知x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)利用上式可以将某些二次项系数是1的二次三项分解因式.例如

将式子

x2＋3x＋2分解因式.因此这是一个

x2＋(p＋q)x＋pq型的式子，其中

p＝1，q＝2.利用上式可得：11121×2＋1×1＝3x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2＝(x＋1)(x＋2).十字相乘法x2＋3x＋2xx12

探索新知利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？(1)x2＋7x＋10； (2)x2－2x－8；xx25

x2＋7x＋10＝(x＋2)(x＋5)xx－42

x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)探索新知利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？(3)y2－7y＋12； (4)x2＋7x－18.yy－3－4

y2－7y＋12＝(y－3)(y－4)xx－29

x2＋7x－18＝(x－2)(x＋9)当堂检测当堂检测B当堂检测A当堂检测B当堂检测A当堂