优化设计一轮总复习数学-课时规范练50　球与几何体的切、接问题

课时规范练50球与几何体的切、接问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025123456789101112131415基础巩固练1.(2020·天津,5)若棱长为

的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.12π

B.24π

C.36π

D.144πC解析

这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即R==3,所以这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.1234567891011121314152.(2024·贵州凯里一中模拟)已知某封闭的直三棱柱各棱长均为2,若三棱柱内有一个球,则该球表面积的最大值为(

)A123456789101112131415C123456789101112131415解析

如图所示,不妨设该四棱锥外接球的球心O在线段SE上,球心O在线段SE的延长线的情况可同理讨论.设球的半径为R.三棱锥的底面中心为E,连接SE,BO,BE.因为在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面123456789101112131415A.77π

B.64π

C.108π

D.72πA1234567891011121314151234567891011121314155.(2021·天津,6)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为(

)A.3π

B.4π

C.9π

D.12πB123456789101112131415解析

如图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点D,设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1,即AD=3BD.1234567891011121314156.(2024·广东深圳模拟)已知正三棱锥的外接球半径R为1,则该正三棱锥的体积的最大值为(

)C解析

如图所示,设该正三棱锥的高为h,底面外接圆的圆心是点O1,半径为r,底面面积为S,球心是点O.当球心O在线段SO1上时,由球的截面圆的性质,同理,当球心O在线段SO1的延长线上时,123456789101112131415123456789101112131415ABD123456789101112131415解析

如图,取棱AB的中点D,连接CD,PD.则在正三棱锥P-ABC中,AB⊥CD,AB⊥PD.因为PD,CD⊂平面PCD,且PD∩CD=D,所以AB⊥平面PCD,则AB⊥PC,故A正确;作PH⊥平面ABC,垂足为H,1234567891011121314151234567891011121314158.将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为

.

解析

依题意,作圆锥的轴截面为等腰直角三角形,截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆,圆锥的底面半径为2,则其母线长为1234567891011121314159.(2024·陕西汉中模拟)在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是直角三角形,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积是

.

123456789101112131415解析

将该直三棱柱补为一个长方体,如图,则该直三棱柱的外接球即为长方体的外接球,设长方体的体对角线长12345678910111213141510.(2024·贵州贵阳模拟)SF6(六氟化硫)具有良好的绝缘性,在电子工业上有着广泛的应用,其分子结构如图所示,六个氟原子分别位于正方体六个面的中心,硫原子位于正方体中心,若正方体的棱长为a,记以六个氟原子为顶点的正八面体为T,则T的体积为

,T的内切球表面积为

.

123456789101112131415123456789101112131415综合提升练11.(2024·贵州贵阳模拟)已知球O的表面积为9π,若球O与正四面体S-ABC的六条棱均相切,则此四面体的体积为(

)A12345678910111213141512345678910111213141512.(2024·四川射洪中学模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有顶点都在球O上,若球O的体积为,则该正三棱柱体积的最大值为

.

8解析

设正三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1,O2,连接O1O2,根据对称性可得,线段O1O2的中点O即为正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的12345678910111213141512345678910111213141512345678910111213141513.(2023·全国甲,文16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是

.

解析

(方法一)第一步,弄清球O与正方体棱有公共点,球半径最小的球为棱切球(即与棱相切的球),最大的球为外接球.第二步,作对角面ABC1D1截正方体与其棱切球、外接球分别得如下矩形和小、大两个圆(如图).123456789101112131415123456789101112131415123456789101112131415则在三棱锥A'-BCD中,A'C=DB,A'B=AB=DC,A'D=AD=BC,即此三棱锥的对棱相等,故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线,设该长方123456789101112131415设内切球半径为R2,以内切球球心为顶点,把三棱锥分割为以球心为顶点,四个面为底面的四个小三棱锥,四个小三棱锥体积之和等于大三棱锥的体123456789101112131415123456789101112131415创新应用练15.(2024·山东烟台模拟)如图所示,在五面体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,AB=2AD=2,△ADE和△BCF均为正三角形,EF∥平面ABCD,EF=3,则该五面体的外接球的表面积为(

)D123456789101112131415解析

连接AC,BD交于点M,取EF的中点O,因为四