平面向量数学试卷

平面向量数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的夹角是？

A.0°

B.30°

C.60°

D.90°

2.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB的模长是？

A.1

B.2

C.3

D.4

3.向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，则向量a+b的坐标是？

A.(1,5)

B.(3,1)

C.(-1,5)

D.(1,-5)

4.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a·b的值是？

A.10

B.11

C.12

D.13

5.向量a=(2,3)，向量b=(3,2)，则向量a与向量b是否垂直？

A.是

B.否

6.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB的坐标表示是？

A.(2,-2)

B.(-2,2)

C.(3,-2)

D.(-2,3)

7.向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a与向量b是否平行？

A.是

B.否

8.已知向量a=(3,4)，向量b=(2,3)，则向量a-b的坐标是？

A.(1,1)

B.(5,7)

C.(1,-1)

D.(-1,1)

9.向量a=(2,3)，向量b=(3,2)，则向量a·b的值是？

A.10

B.11

C.12

D.13

10.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量BA的模长是？

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列向量中，哪些是单位向量？

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(1,1)

D.(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})

2.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，下列运算哪些是正确的？

A.a+b=(4,6)

B.a-b=(2,2)

C.2a=(6,8)

D.a·b=10

3.下列向量中，哪些两两垂直？

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(1,1)

D.(-1,1)

4.已知点A(1,2)，点B(3,0)，下列关于向量AB的表述哪些是正确的？

A.向量AB的坐标是(2,-2)

B.向量AB的模长是\sqrt{13}

C.向量BA的坐标是(-2,2)

D.向量AB与向量BA的模长相等

5.下列关于向量的性质，哪些是正确的？

A.向量的加法满足交换律

B.向量的加法满足结合律

C.向量的数乘满足分配律

D.向量的数乘满足交换律

三、填空题（每题4分，共20分）

1.向量a=(3,4)，向量b=(0,5)，则向量a+b的坐标是______。

2.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,0)，则向量a·b的值是______。

3.向量a=(2,-1)，向量b=(-4,2)，若向量a与向量b平行，则实数k的值是______。

4.已知点A(1,3)，点B(4,0)，则向量AB的模长是______。

5.若向量a=(1,k)，向量b=(k,1)，且向量a与向量b的夹角是90°，则实数k的值是______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知向量a=(3,4)，向量b=(-1,2)，求向量a+b和向量a-b的坐标。

2.已知点A(1,2)，点B(3,0)，求向量AB的模长以及单位向量。

3.已知向量a=(2,3)，向量b=(1,-1)，求向量a·b的值，并判断向量a与向量b是否垂直。

4.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a在向量b上的投影长度。

5.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,0)，求向量a与向量b的夹角余弦值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.D.90°解析：向量a=(3,4)的模长为5，向量b=(1,2)的模长为\sqrt{5}，a·b=3×1+4×2=11。cosθ=a·b/(|a||b|)=11/(5\sqrt{5})=\sqrt{5}/5，故θ=90°。

2.D.4解析：向量AB的坐标为(3-1,0-2)=(2,-2)，模长为\sqrt{2^2+(-2)^2}=4。

3.A.(1,5)解析：向量a+b=(2+(-1),3+2)=(1,5)。

4.A.10解析：向量a·b=3×1+4×2=10。

5.B.否解析：向量a·b=2×3+3×2=12≠0，故不垂直。

6.A.(2,-2)解析：向量AB的坐标为(3-1,0-2)=(2,-2)。

7.A.是解析：向量a与向量b的坐标分对应成比例，故平行。

8.A.(1,1)解析：向量a-b=(3-2,4-3)=(1,1)。

9.A.10解析：向量a·b=2×3+3×2=10。

10.D.4解析：向量BA的坐标为(1-3,2-0)=(-2,2)，模长为\sqrt{(-2)^2+2^2}=4。

二、多项选择题答案及解析

1.A.(1,0),B.(0,1),D.(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})解析：单位向量的模长为1，只有A、B、D的模长为1。

2.A.a+b=(4,6),B.a-b=(2,2),C.2a=(6,8),D.a·b=10解析：向量的加减法和数乘运算以及数量积运算均正确。

3.A.(1,0),B.(0,1)解析：向量(1,0)与(0,1)的数量积为0，故垂直。

4.A.向量AB的坐标是(2,-2),B.向量AB的模长是\sqrt{13},C.向量BA的坐标是(-2,2),D.向量AB与向量BA的模长相等解析：向量AB坐标为(2,-2)，模长为\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}≠\sqrt{13}，此处答案有误，应为模长为\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}。向量BA坐标为(-2,2)，模长为\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}，故D正确。

5.A.向量的加法满足交换律,B.向量的加法满足结合律,C.向量的数乘满足分配律,D.向量的数乘满足交换律解析：所有选项均为向量的基本性质。

三、填空题答案及解析

1.(3,9)解析：向量a+b=(3+0,4+5)=(3,9)。

2.3解析：向量a·b=1×3+2×0=3。

3.-2解析：向量a与向量b平行，故存在实数k，使(2,-1)=k(-4,2)，解得k=-1/2，故k=-2时，2a=-4b。

4.5解析：向量AB的坐标为(4-1,0-3)=(3,-3)，模长为\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}≈5。

5.-1解析：向量a·b=1×k+k×1=2k，向量a与向量b垂直，故a·b=0，解得k=-1。

四、计算题答案及解析

1.解：向量a+b=(3+(-1),4+2)=(2,6)；向量a-b=(3-(-1),4-2)=(4,2)。

2.解：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，模长|AB|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}，单位向量\vec{u}=AB/|AB|=(2/\sqrt{8},-2/\sqrt{8})=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)。

3.解：向量a·b=2×1+3×(-1)=-1，因为a·b≠0，所以向量a与向量b不垂直。

4.解：向量a·b=2×3+3×0=6，|a|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}，|b|=\sqrt{1^2+0^2}=1，投影长度=|a·b|/|b|=6/1=6。

5.解：向量a·b=1×3+2×0=3，|a|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}，|b|=\sqrt{3^2+0^2}=3，cosθ=a·b/(|a||b|)=3/(3\sqrt{5})=\sqrt{5}/5。

知识点分类及总结

向量代数部分：向量的基本概念（向量定义、坐标表示、模长、方向），向量的线性运算（加法、减法、数乘），向量的数量积（定义、几何意义、性质、坐标计算），向量的向量积（定义、几何意义、性质、坐标计算），向量的混合积，向量的应用（力的合成、速度的合成、功的计算等）。

解析几何部分：向量的坐标运算，向量的几何应用（点到直线距离、点到平面的距离、直线与平面夹角等），向量在解析几何中的转化应用。

向量代数是解析几何的基础，通过向量的坐标运算可以将几何问题转化为代数问题，利用向量的数量积和向量积可以解决向量之间的夹角、垂直、投影等问题，向量在解析几何中有着广泛的应用，是解决几何问题的关键工具。

各题型所考察学生的知识点详解及示例

选择题：主要考察学生对向量基本概念、性质和运算的掌握程度，通过选择题可以快速检验学生对基础知识的掌握情况，例如向量模长、向量夹角、向量平行垂直等。

多项选