2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编：函数的概念及其表示章节综合

11/122017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编函数的概念及其表示章节综合一、单选题1．（2019·北京师大附中高一期末）已知函数是定义域为的偶函数,当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是A． B．C． D．2．（2021·北京二中高一期末）如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）A． B．C． D．3．（2021·北京二中高一期末）已知函数f（x）＝2x－1，（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是A． B． C． D．4．（2019·北京·中央民族大学附属中学高一期末）已知函数，则的值是（）A．1 B． C．0 D．5．（2021·北京·清华附中高一期末）已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2020·北京·清华附中高一期末）函数的定义域为（）A． B．C． D．二、填空题7．（2018·北京·101中学高一期末）已知函数，定义函数，若函数无零点，则实数k的取值范围为______．8．（2019·北京师大附中高一期末）函数，则__________.9．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）函数的定义域为_________.三、解答题10．（2018·北京·101中学高一期末）已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．（1）若f（x）=sinx，x∈[，]，请直接写出f1（x），f2（x）的表达式；（2）已知函数f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由．11．（2020·北京·清华附中高一期末）若函数定义域为，且存在非零实数，使得对于任意的恒成立，称函数满足性质(1)分别判断下列函数是否满足性质并说明理由①②(2)若函数既满足性质，又满足性质，求函数的解析式(3)若函数满足性质，求证：存在，使得12．（2019·北京·101中学高一期末）正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为x.（1）求出其表面积S（x）和体积V（x）；（2）设，求出函数的定义域，并判断其单调性（无需证明）.13．（2021·北京·101中学高一期末）已知函数．（1）求函数的值域：（2）若函数的图像与函数的图像有交点，请直接写出实数的取值范围．14．（2021·北京·清华附中高一期末）已知函数，，且该函数的图象经过点，.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线与x轴交于点T，且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.（其中O为坐标原点）

参考答案1．C【详解】作出的图象如下，又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且关于x的方程，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，∴x2+ax+b=0的两根分别为或；由韦达定理可得，若，则，即；若，则，即；从而可知或；故选C．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2．B【详解】试题分析：由题意知，MN⊥平面BB1D1D，则MN在底面ABCD上的射影是与对角线AC平行的直线，故当动点P在对角线BD1上从点B向D1运动时，x变大y变大，直到P为BD1的中点时，y最大为AC．然后x变小y变小，直到y变为0，因底面ABCD为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样．故答案为B．考点：函数的图像与图像项变化．点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力．属于中档题．3．C【分析】对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.【详解】当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数的值域为[0,++∞），满足题意.当a＜0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[a+2,-a+2],因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,由题得2a＜1，即a＜，即a＜0.当a＞0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[-a+2,a+2],当a≥时，-a+2≤2a,由题得.当0＜a＜时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.综合得a的范围为a＜或1≤a≤2，故选C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A【分析】根据自变量满足的范围代入对应表达式求解即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的求值.属于基础题型.5．B【分析】根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，时时，函数的部分图象及在上的的图象如图所示.所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，故选：B.6．B【分析】解不等式，且，即可求出函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，则，且，即且，故函数的定义域为且，故选：B7．【分析】由分段函数的解析式得函数在，上递减，可得；在上递减，可得，即的值域为，，由的图象与无交点，即可得结果.【详解】函数，可得时，递减，可得；当时，递减，可得，即有的值域为，，由函数，若函数无零点，的图象与无交点，则无解，即无解，所以k的范围是．故答案为．【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.8．【分析】先求的值，再求的值.【详解】由题得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意有，解得.故答案为【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.10．(1)f1（x）=-1，x[-，]；f2（x）=sinx，x[-，](2)存在k=4【详解】试题分析:（1）由题意可得：f1（x）=-1，x[-，]；f2（x）=sinx，x[-，];（2）由函数f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4],写出f1（x）和f2（x）的解析式,根据f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，分段列出不等式,求出函数最值代入,可得k的取值范围,即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数.试题解析:（1）由题意可得：f1（x）=-1，x[-，]；f2（x）=sinx，x[-，].（2）f1（x）=f2（x）=f2（x）-f1（x）=当x∈[-1，1）时，3+2x-x2≤k（x+1），所以k≥3-x，所以k≥4；当x∈[1，3）时，4≤k（x+1），所以k≥，所以k≥2；当x∈[3，4]时，（x-1）2≤k（x+1），所以k≥，所以k≥.综上所述，k≥4，即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数．11．(1)①②满足性质，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）计算，，得到答案.（2）根据函数性质变换得到，，，解得答案.（3）根据函数性质得到，取，当时满足条件，得到答案.(1)，故满足；，故满足.(2)且，故，，，解得.(3)，故，取得到，即，取，当时，，故存在满足.12．（1），；（2）x>，是减函数.【分析】（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出的范围，即定义域，然后判断其为减函数.【详解】（1）过点作平面的垂线，垂足为，取的中点，连结，因为为正四棱锥，所以，，，，所以四棱锥的表面积为，体积.（2），解得，是减函数.【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.13．（1）；（2）或【解析】（1）分段讨论去绝对值得出解析式，即可求出值域；（2）分和两种情况讨论可求出.【详解】（1）可得，当，，当，，所以函数的值域为；（2）的定义域为，当时，，则当时，单调递减，此时的图像与的图像有交点，满足题意，当时，要使函数图像有交点，需满足，解得，综上，或.【点睛】本题考查分段函数的值域以