2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编：平面向量的运算章节综合

1/12017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编平面向量的运算章节综合一、单选题1．（2019·北京师大附中高一期末）在△中，为边上的中线，为的中点，则A．34AB-C．34AB+2．（2020·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高一期末）已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）3．（2021·北京二中高一期末）已知向量不共线，，,如果，那么()A．k＝1且与同向 B．k＝1且与反向C．k＝－1且与同向 D．k＝－1且与反向4．（2021·北京师大附中高一期末）已知正方形的边长为1，则（）A． B．1 C． D．2二、双空题5．（2018·北京·人大附中高一期末）如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）.（1）若为中点,______（用,表示）（2）已知下列四个向量:①OM1=OA③OM3=1对于点,,,,落在阴影区域内（不含边界）的点有_____（把所有符合条件点都填上）三、填空题

6．（2021·北京·101中学高一期末）在如图所示的方格纸中，向量的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与xa+yb（x，y为非零实数）共线，则的值为__________.7．（2021·北京二中高一期末）△ABC中，M是的中点，，点P在直线上，且满足PA=2PM，则___________.四、解答题8．（2018·北京·人大附中高一期末）对于数集,其中,.定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}.若对于任意a1∈Y,存在a2∈Y,使得a（1）若,且具有性质,求的值;（2）若具有性质,求证:,且当时,.9．（2018·北京·101中学高一期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC=求证：A、B、C三点共线；已知、，，fx=OA⋅OC+2m+10．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知不共线向量，满足||＝3，||＝2，（23b）•（2）＝20.（1）求•；（2）是否存在实数λ，使λ与a-（3）若（k2）⊥（），求实数k的值.

参考答案1．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=12BA+12BC，之后应用向量的加法运算法则【详解】根据向量的运算法则，可得BE=12所以EB=3【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.2．B【解析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】已知非零平面向量，，，（1）若，则，所以或，即（1）错；（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；（3）若，则，所以，则；即（3）正确；（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.3．D【详解】分析：利用向量共线的充要条件列出方程组，求出即可详解：，不共线，解得故选D.点睛：本题考查向量共线的向量形式的充要条件，属于基础题．4．B【分析】结合图形，利用向量加法法则得到AC=AB【详解】如图，因为是边长为1的正方形，所以AC=ABAB⋅AC故选：B.5．12(【详解】若为中点,则由向量的加法法则可得；设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为，则存在实数，使得（1）且存在实数，使得从而且又由于，故对于①中，解得满足也满足，故①满足条件．对于②解得，满足也满足故②满足条件，对于③解得，不满足，故③不满足条件，对于④解得，不满足，故④不满足条件，故答案为(1).12OA6．【分析】由题意易得每个向量的坐标，由斜率共线可得和的关系式，变形可得答案．【详解】解：设图中每个小正方形的边长为1，则，，，，与共线，，，即故答案为：【点睛】本题考查平行向量与共线向量，属于基础题．7．4【分析】由M是的中点，可把PB+PC用PM表示，再由PA=2PM可得M是【详解】△ABC中，M是的中点，且点P在直线上，则有PB+PC而，则M是线段PA中点，即|PM|=|于是得PA⋅所以PA⋅故答案为：48．（1）4；（2）见解析【详解】试题分析：（1）在中取a1=x,2,结合，可得．（2）取p=x1,x1∈Y,设q=s,t∈Y,根据p⋅q=0，化简可得，所以异号．而-1是数集中唯一的负数，所以中的负数必为-1试题解析：（1）因为,选取a1=x,2,a2=-1,2,由a（2）取p=x1,由p⋅q=0得,则,则和中有一个数是,则和中有一个数是,即,假设,则,再取,f=s,t∈Y,则,所以和异号,且其中一个值为,若,则,矛盾;若,则,矛盾;则假设不成立,可得当时,.9．(1)见解析(2)m的值为-3或【详解】试题分析:（1）因为AC=OC-OA,且OC=13OA+23OB,化简可得AC=23AB,即AC∥，又AC与AB有公共点A，则命题成立;（2）根据OC=13OA+23OB和AB=OB-OA求出OC,

AB的坐标,试题解析:（1）因为AC=所以AC∥AB，又AC与AB有公共点A，所以A，B，C三点共线．（2）因为OA=（1，cosx），=（1+sinx，cosx），所以OC=OA+=（1+sinx，cosx），AB=OB-OA=（sinx，0），故OA·OC=1+sinx+cos2x，|AB|==sinx，从而f（x）=OA·OC+（2m+）|AB|+m2=1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2，关于sinx的二次函数的对称轴为sinx=，因为x[0，]，所以sinx[0，1]，又区间[0，1]的中点为．①当≤，即m≤0时，当sinx=1时，f（x）min=m2+2m+2，由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，所以m=-3；②当>，即m>0时，当sinx=0时，f（x）min=2+m2，由f（x）min=5得m=，又m>0，所以m=．综上所述：m的值为-3或．点睛:平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.10．（1）1；（2）存在，；（3）或【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λ与2共线，则，计算得到答案.（3）计算（k2）•（）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20，所以44•34×9﹣4•3×