2025年上学期高三数学“数学纤维”中的数学知识试题（一）

2025年上学期高三数学“数学纤维”中的数学知识试题（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x+3\leq0})，则(A\capB=)（）A.([1,3])B.((1,3])C.([2,5))D.((1,5))函数(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+1})的图象大致为（）A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于直线(y=x)对称D.关于直线(y=-x)对称已知(\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，则(\cos\alpha=)（）A.(\frac{3\sqrt{3}-4}{10})B.(\frac{4-3\sqrt{3}}{10})C.(\frac{-3\sqrt{3}-4}{10})D.(\frac{3\sqrt{3}+4}{10})若数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)，则(a_n=)（）A.(3^n-2^n)B.(2^n+3^n)C.(3^n-2^{n-1})D.(2^{n-1}+3^n)已知(x>0)，(y>0)，且(x+2y=4)，则(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值为（）A.(\frac{3+2\sqrt{2}}{4})B.(\frac{3}{4})C.(1+\frac{\sqrt{2}}{2})D.(2\sqrt{2})函数(f(x)=x^3-3x^2+2)在区间([-1,3])上的最大值与最小值之和为（）A.-2B.0C.2D.4在(\triangleABC)中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(\triangleABC)的面积为（）A.(2\sqrt{2})B.(3\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(5\sqrt{2})已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则(m=)（）A.-3B.-1C.1D.3若函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的最小正周期为(\pi)，且其图象关于直线(x=\frac{\pi}{3})对称，则(\varphi=)（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})已知函数(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x)，若(f(x))在(x=1)处取得极值，则(a=)（）A.0B.1C.-1D.2已知(a>0)，(b>0)，且(a+b=1)，则((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b}))的最小值为（）A.(\frac{25}{4})B.4C.8D.9已知数列({a_n})是等差数列，(S_n)是其前n项和，若(a_3+a_7=20)，(S_7=49)，则公差(d=)（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）函数(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)})的定义域为__________。若不等式(x^2-ax+1\geq0)对任意(x\in[1,2])恒成立，则实数a的取值范围是__________。已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=)__________。已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，则(f(f(\frac{1}{4}))=)__________。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（本小题满分10分）已知函数(f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2})。（1）求函数(f(x))的最小正周期；（2）求函数(f(x))在区间([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值和最小值。（本小题满分12分）已知数列({a_n})的前n项和为(S_n)，且(S_n=2a_n-1)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}})，求数列({b_n})的前n项和(T_n)。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2x)。（1）求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(g(x)=f(x)-m)在区间([-1,2])上有两个零点，求实数m的取值范围。（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(\sinA+\sinC=2\sinB)，(a=2c)。（1）求角B的大小；（2）若(\triangleABC)的面积为(\frac{3\sqrt{3}}{2})，求边b的长。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=\lnx-ax+1(a\inR))。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若函数(f(x))有两个零点，求实数a的取值范围。（本小题满分12分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})。（1）证明：数列({\frac{1}{a_n}})是等差数列；（2）设(b_n=\frac{1}{a_n}\cdot2^n)，求数列({b_n})的前n项和(S_n)。参考答案及评分标准（部分）一、选择题B2.A3.A4.A5.C6.B7.A8.D9.B10.A11.A12.C二、填空题((1,2])14.((-\infty,2])15.216.(\frac{1}{4})三、解答题（1）(f(x)=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos2x+1)-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))，最小正周期(T=\pi)；（2）最大值1，最小值(-\frac{\sqrt{3}}{2})。（1）(a_n=2^{n-1})；（2）(T_n=1-\frac{1}{4^n-1})。（1）增区间((-\infty,\frac{1}{3}))和((1,+\infty))，减区间((\frac{1}{3},1))；（2）(m\in[-2,0))。（1）(B=\frac{\pi}{3})；（2）(b=3)。（1）当(a\leq0)时，(f(x))在((0,+\infty))上单调递增；当(a>0)时，(f(x))在((0,\frac{1}{a}))上单调递增，在((\frac