山东省淄博高新技术产业开发区第一中学2025-2026学年九年级上学期数学月考试卷（含答案）

【2025.10.9】初四上数学月考试卷-高新区一中一．选择题（共10小题）1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝2x B．y=x2 C．y=22．若tan（a+10°）=3，则锐角aA．20° B．30° C．35° D．50°3．正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，﹣2），BA．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）4．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=255A．55 B．2 C．5 D．5．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数y=1A．B． C． D．6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为33A．60° B．45° C．15° D．90°7．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（）A．12 B．22 C．328．一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（−1m，﹣2m）、B（A．3 B．134 C．72 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝66，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（）A．66 B．12 C．63 D．610．如图，点N在反比例函数y=−2x上，点在M反比例函数y=10x上，连接MN交y轴正半轴于点A，连接OM，ON，若A．6 B．5 C．92 二．填空题（共5小题）11．已知y＝（m2﹣m）xm2+m﹣1是反比例函数，则m的值为．12．若点A（m，﹣2）在反比例函数y=6x的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是13．△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则sinC＝．14．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管AC＝36cm，且上管AC与立管AB互相垂直，下管BC＝45cm，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°，若座管AE伸长到18cm，则座垫E到后下叉BD的距离为cm．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）15．如图，反比例函数图象l1的表达式为y=kx（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝3x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k的值为三．解答题（共8小题）16．计算：（1）6tan230°−3sin60°﹣2sin45°；（2）2sin60°+

17．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形．18．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道，已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．计算器按键顺序计算结果（已精确到0.001）11.3100.00314.7440.005（1）求CD的长；（2）为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°．温馨提示：运算中，如有需要，可以直接使用“参考数据表”中的所需数据）

19．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东60°方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东30°方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73（1）求灯塔M到巡逻船航线AB的距离（结果保留根号）；（2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1）20．如图，一次函数y＝kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）直接写出关于x的不等式kx+9（3）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

21．我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体．【概念辨析】：若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？.（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】：（1）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，联立x+y=14xy=24，得x2﹣14x+24＝0，再探究根的情况；②小丽：如图，也可用反比例函数l2：y=24x与一次函数l1：y（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全12（3）如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围．

22．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西30°方向．D点位于小雨家点A的北偏东15°方向．D点位于小瑜家点C的北偏西75°方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离AB＝10公里．（参考数据：6≈2.45，（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①B→A→D，为了按C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②B→C→D，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③B→D，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）

23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y=kx的图象与AB，BC分别交点D，E，且顶点B的坐标为（6，3），（1）求反比例函数y=kx的表达式及（2）如图2，连接DE，AC，试判断DE与AC的数量和位置关系，并说明理由．（3）如图3，连接AE，在反比例函数y=kx的图象上是否存在点F，使得∠AEF＝45°，若存在，请求出点

【2025.10.9】初四上数学月考试卷-高新区一中参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDDDDCBDBC一．选择题（共10小题）1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝2x B．y=x2 C．y=2【解答】解：A、y＝2x不是反比例函数，故不符合题意；B、y=xC、y=2D、y=2故选：C．2．若tan（a+10°）=3，则锐角aA．20° B．30° C．35° D．50°【解答】解：∵tan（a+10°）=3，而tan60°=∴a+10°＝60°，∴a＝50°．故选：D．3．正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，﹣2），BA．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）【解答】解：由于反比例函数y=k2x的图象与直线y＝k∴两交点A、B关于原点对称，∵A点坐标为A（1，﹣2），∴另一个交点B的坐标为（﹣1，2）．故选：D．4．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=255A．55 B．2 C．5 D．【解答】解：如图：∵sinA=2∴设直角边BC为25x，斜边AB为5x，则AC=AB∴tan∠B=AC故选：D．5．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数y=1A． B． C． D．【解答】解：∵k＝1，∴函数y=1把y=1x向左平移1个单位得到y故选：D．6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为33A．60° B．45° C．15° D．90°【解答】解：∵sin∠CAB=BC∴∠CAB＝45°．∵sin∠C′AB′=B′C′∴∠C′AB′＝60°．∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°，鱼竿转过的角度是15°．故选：C．7．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（）A．12 B．22 C．32【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO=22+4AC=1OC=1所以，AO2＝AC2+OC2＝20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB=OC故选：B．8．一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（−1m，﹣2m）、B（A．3 B．134 C．72 【解答】解：∵点A（−1m，﹣2m）在反比例函数y∴﹣2m=m解得：m＝2，∴点A的坐标为：（−12，﹣4），点∴S△OAB=12×52×5−1故选：D．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝66，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（）A．66 B．12 C．63 D．6【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝66，∴CE＝BC•sin45°＝66×22在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，∴AC=CE∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=12∠∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°，∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝12，故选：B．10．如图，点N在反比例函数y=−2x上，点在M反比例函数y=10x上，连接MN交y轴正半轴于点A，连接OM，ON，若A．6 B．5 C．92 【解答】解：如图，过点M作ME⊥y轴于E，过点N作NF⊥y轴于F，则S△OME=12×|10|＝5，S△∵∠AEM＝∠AFN＝90°，∠MAE＝∠NAF，∴△AME∽△ANF，∴S△ANFS△AME=（ANAM）2＝（设S△ANF＝S（S＞0），则S△AME＝4S，∴S△AON＝S+1，S△AOM＝5﹣4S，∵S△AON∴S+15−4S解得：S=1∴S△AON＝S+1=12+1=32，S△AOM∴S△OMN＝S△AON+S△AOM=32+故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知y＝（m2﹣m）xm2+m﹣1是反比例函数，则m的值为﹣1．【解答】解：由题意得：m2解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．若点A（m，﹣2）在反比例函数y=6x的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x【解答】解：∵点A（m，﹣2）在反比例函数y=6∴6m解得m＝﹣3，在第一象限，函数值y都是正数，所以x＞0时，y≥﹣2，在第三象限，函数值y随x的增大而减小，所以x≤﹣3时，y≥﹣2，综上所述，函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x＞0．故答案为：x≤﹣3或x＞0．13．△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则sinC＝22929或17【解答】解：如图1所示，当点D在CB边上时，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A∵BC＝13，∴CD＝BC﹣BD＝10，∴AC=A∴sinC=AD如图2所示，当点D在CB延长线上时，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A∵BC＝13，∴CD＝BC+BD＝16，∴AC=A∴sinC=AD故答案为：22929或14．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管AC＝36cm，且上管AC与立管AB互相垂直，下管BC＝45cm，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°，若座管AE伸长到18cm，则座垫E到后下叉BD的距离为44cm．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【解答】解：∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝45cm，AC＝36cm，∴AB=BC2过点E作EF⊥BD，垂足为F，∵AE＝18cm，AB＝27cm，∴BE＝AE+AB＝45cm，在Rt△BEF中，∠ABD＝75°，∴EF＝BE•sin75°≈45×0.97＝44（cm），故答案为：44．15．如图，反比例函数图象l1的表达式为y=kx（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝3x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k的值为8【解答】解：设A（m，k1m），B（2m，2k1m）（k1＝3），∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，k1m），B′（2﹣2m，2k1m）在反比例函数图象y=kx（∴k＝k1m（2﹣m）＝2k1m（2﹣2m），解得，m=2∴kk1=m(2−m)=8故k=8故答案为：83三．解答题（共8小题）16．计算：（1）6tan230°−3sin60°﹣2sin45°；（2）2sin60°【解答】解：（1）原式=6×(=6×1=1（2）2sin60°+=2=3＝−2+317．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形．【解答】解：在直角三角形ABC中，b=c∵sinA=a∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．18．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道，已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．计算器按键顺序计算结果（已精确到0.001）11.3100.00314.7440.005（1）求CD的长；（2）为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°．温馨提示：运算中，如有需要，可以直接使用“参考数据表”中的所需数据）【解答】解：（1）∵AB＝0.75m，∴DF＝0.15m，∵斜坡AC的坡比为1：2，∴CD＝2DF＝0.3m；（2）∵AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，∴CB＝2AB＝1.5m，则EB＝DE+BC﹣CD＝3.75，在Rt△AEB中，tanE=AB则∠E≈11.3°，答：铺设通道的坡角不得小于12°．19．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东60°方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东30°方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73（1）求灯塔M到巡逻船航线AB的距离（结果保留根号）；（2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1）【解答】解：（1）过M点作MD⊥AB，交AB的延长线于D点，过C作CE⊥AB于E点，设MD＝x海里，∵在Rt△AMD中，∠DAM＝30°，tan∠DAM=DM∴AD=DM∵在Rt△BMD中，∠DBM＝60°，tan∠DBM=DM∴BD=DM∵AB＝30海里，∴3x−解得x＝153，∴MD＝153海里，答：灯塔M到巡逻船航线AB的距离153海里；（2）巡逻船能在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M，理由如下：∵在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，CE＝MD＝153海里，∴BC=CEsin∠EBC=153sin45°=156∵在Rt△BMD中，∠DBM＝60°，MD＝153海里，∴BM=MDBD=12∴DE＝BE﹣BD＝153−∴CM＝153−∵小艇走过的路程为BM＝30海里，速度为20海里/小时，∴小艇从B到M所用时间为30÷20＝1.5（小时），∵在灯塔M预计检查时间为30分钟，∴检查人员在路上和检查共需用时2小时，∵巡逻船从B﹣C﹣M，路程为（156+153∴巡逻船需用时（156+153∵1.9＜2，∴巡逻船能在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M．20．如图，一次函数y＝kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）直接写出关于x的不等式kx+9（3）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+9k+9解得k=3故A（1，3）．将其代入反比例函数y=mm1解得m＝3．故一次函数的解析式为y=34x+94（2）略（3）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB=3设P（a，0），当AB＝AP时，5=(1−a解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．故P（5，0）；当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．解得a＝﹣8或a＝2．故P（﹣8，0）或（2，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．21．我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体．【概念辨析】：若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？不存在.（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】：（1）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，联立x+y=14xy=24，得x2﹣14x+24＝0，再探究根的情况；②小丽：如图，也可用反比例函数l2：y=24x与一次函数l1：y（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全12（3）如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围．【解答】解：【概念辨析】：不存在．因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．故答案为：不存在．【深入探究】长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形，∵矩形ABCD长为4，宽为3，∴矩形ABCD的周长为14，面积为12，小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14．xy＝24，联立x+y=14xy=24整理得x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝12，x2＝2，∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24，∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形．小丽：如图，设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，即y＝﹣x+14，y=24利用反比例函数l2：y=24x与一次函数l1：y＝﹣（2）长为4，宽为3的矩形C的周长为14，面积为12．设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=72，联立得x+y=7整理得：2x2﹣7x+12＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝﹣47＜0，∴此方程没有实数根，即长为4，宽为3的矩形C不存在完全12（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（4+3）﹣x，即7k﹣x，由题意得：x•（7k﹣x）＝12k，整理得：x2﹣7kx+12k＝0，Δ＝49k2﹣48k，∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，∴△≥0，即：49k2﹣48k≥0，解得：k≥4849，∴k的取值范围为：k≥48故答案为：k≥4822．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西30°方向．D点位于小雨家点A的北偏东15°方向．D点位于小瑜家点C的北偏西75°方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离AB＝10公里．（参考数据：6≈2.45，（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①B→A→D，为了按C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②B→C→D，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③B→D，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB交AB于点E，在DE取点F，使AF＝DF，如图，根据题意得，∠ADE＝15°，∵AF＝DF，∴∠DAF＝∠ADF＝15°，∠AFE＝30°，设AE＝a，则AF＝2a，∴DF＝AF＝2a，EF=AF2∵AB＝10，∵BE＝10﹣a，∵∠ABC＝90°，∠DBC＝30°，∴∠DBE＝60°，DEBE=tan∠DBE，解得，a=15−5∴AE=15−532在Rt△DAE中，AD=A答：小雨家A离寺庙D的距离为56（2）过点C作CH⊥DE于点H，则得出四边形BCHE是矩形，CH=BE=10−15−532=5在CH取点G，使DG＝CG，根据题意得，∠DCH＝15°，∴∠GDH＝∠DCH＝15°，∴∠DGH＝30°，设DH＝m，则DG＝2m，GH=DG2∴m=53−52在Rt△DHC中，CD=D在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE=5+5∴B