（人教A版）选择性必修二高二数学上册同步精讲精练5.3.2 函数的极值与最大（小）值（解析版）

5.3.2导数的极值与最大（小）值一、导数的极值1、极值的概念：极大值与极小值统称为极值（1）函数的极大值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．（2）函数的极小值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．2、极值与导数的关系如图（1），若x0是极大值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)>0，在x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)<0.如图（2），若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)<0；在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)>0.综合以上情形，可以得到：若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．若f′(x)在x0的两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；若f′(x)在x0的两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．【注意】（1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．不可导的点可能是极值点也可能不是极值点．例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点．②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点．③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点．（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值．（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．（5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．3、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数f′(x)；（2）求方程f′(x)＝0的所有实数根；（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；②如果由负变正，则f(x0)是极小值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．题型一已知函数求极值或极值点【例1】已知函数，则的极大值点为（）A．1B．C．－1D．2【答案】B【解析】因为，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点为．所以B正确.故选：B.【变式1-1】设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点【答案】D【解析】由，可得，令可得，即函数在上是增函数；令可得，即函数在上是减函数，所以为的极小值点．故选：D.【变式1-2】求下列函数的极值：（1）；（2）．【答案】（1）极小值为；极大值为；（2）极大值为，没有极小值【解析】（1）因为．令，解得，．当x变化时，，的变化情况如下表：x－11－0＋0－单调递减－3单调递增－1单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为．（2）函数的定义域为，且．令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：x＋0－单调递增单调递减因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值．【变式1-3】知函数的极值点为，则所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得（），令（），则，所以在上单调递增，因为，所以存在，使，即，当时，，当时，，所以为的极大值点，所以所在的区间为，故选：C【变式1-4】已知函数，求函数的极值.【答案】见解析.【解析】，定义域为R，.①当时，，在R上为增函数，无极值.②当时，令，得，.当，；当，；∴在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，极小值为，无极大值.综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.题型二函数（导函数）图象与极值的关系【例2】函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（）A．函数在内一定不存在最小值B．函数在内只有一个极小值点C．函数在内有两个极大值点D．函数在内可能没有零点【答案】A【解析】设的根为，，，且，则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减；所以函数在区间内有极小值，当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；函数在区间内有极大值、，所以C正确；当，，时，函数在内没有零点,所以D正确.故选:A．【变式2-1】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．有两个极值点B．为函数的极大值C．有两个极小值D．为的极小值【答案】C【解析】，并结合其图像，可得到如下情况，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确；在处取得极大值.所以有3个极值点，故A错.故选:C.【变式2-2】函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（）A．是的零点B．是的极大值点C．在区间上单调递增D．在区间上不存在极小值【答案】B【解析】当时，，而，故；当时，，而，故；当时，，而，故；所以上递减；上递增，则、分别是的极小值点、极大值点.故A、C、D错误，B正确.故选：B【变式2-3】如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（）A．，是的极大值点B．，是的极小值点C．，不是的极大值点D．，是的极值点【答案】B【解析】由题得，的几何意义为当x取同值时，到的距离．根据题意，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选:B．题型三根据函数的极值或极值点求参数【例3】函数在处有极值，则的值等于（）A．0B．6C．3D．2【答案】A【解析】因为在处有极值，所以，解得所以故选：A【变式3-1】设函数的极大值为，极小值为，则__________．【答案】【解析】，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，的极大值；极小值，，，.【变式3-2】已知函数有极值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，则，解得.故选：D.【变式3-3】已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（）A．或B．或C．D．【答案】B【解析】由，又有极大值、极小值，所以有两个变号零点，则，整理得，可得或.故选：B【变式3-4】若函数在上无极值，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D.题型四利用导数求函数的最值【例4】函数在上的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，当时，∴函数在区间上单调递增，∴当时，函数取得最小值，，∴函数在上的最小值为.故选：A.【变式4-1】函数在区间上取得最大值时的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，令，即在区间上解得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以当时，取得最大值.故选：B.【变式4-2】已知函数，设函数，则的最大值是______．【答案】0【解析】因为定义域为，所以．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数，从而．【变式4-3】设函数（1）讨论的单调性；（2）求在区间的最大值和最小值．【答案】（1）函数单调递增区间为；单调递减区间为；（2）在区间上的最大值为，最小值为.【解析】（1）函数的定义域为，又.令，解得或；令，解得.所以函数单调递增区间为；单调递减区间为；（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.所以当时，函数取得最小值，又，，而，所以当时，函数取得最大值为：.即在区间上的最大值为，最小值为.题型五已知函数的最值求参数【例5】若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（）A．－2B．－1C．2D．【答案】C【解析】由，得，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，由，得或，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），当时，当时，，所以在上递减，所以，解得，综上，，故选：C【变式5-1】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当x＜0时，，当且仅当x＝−1时，取得最大值f（−1）＝a−2，由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，即在x＞0时恒成立即在x＞0时恒成立，即设，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，，故选：C．【变式5-2】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数，所以，当或时，，当时，，所以当时，取得最小值，因为在区间上有最小值，且所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C【变式5-3】若函数有最小值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得：∵，则当，则当时恒成立，即∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立当，则当时恒成立，即，∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立当，令，则∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.【变式5-4】设函数在区间上有最大值23，最小值3，求a，b的值．【答案】，【解析】因为，所以令，则或由于，当时，；当时，故在，取得最小值3所以或者所以，或者，若，，则而，不合题意，舍去；若，，则，而故，题型六函数的极值与最值综合应用【例6】已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1），所以切线斜率为，又，切点为，所以切线方程为：．（2），若，则恒成立，，，，，设，则，令，，则，在上单调递减；，，，，，，当时，，，即实数的最大值为【变式6-1】己知函数．（1）若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；（2）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得．因为，，所以切点坐标为，切线方程为：，因为切线经过，所以，解得．（2）由题知的定义域为，，令，解得或，因为所以，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增区间为，减区间为．因为，所以函数在区间的最大值为，函数在上单调递增，故在区间上，所以，即，故，所以的取值范围是.【变式6-2】已知实数满足，设函数．（1）当时，求的极小值；（2）若函数与的极小值点相等，证明：的极大值不大于10.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，所以．列表如下：12+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极小值为．（2）证明：．由于，所以当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取极小值，所以为的极小值，而，所以，即．所以当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，又因为，所以．故的极大值不大于．【变式6-3】已知函数.（1）求的单调区间和极值.（2）若关于的方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）递增区间为，递减区间为，，极小值为0，极大值为；（2）【解析】（1），由得或，由得，所以的递增区间为，递减区间为，.极小值为，极大值为.（2）方程有唯一的实数根等价于函数与直线有唯一的交点，画出的大致图像如图所示，所以实数的取值范围为.5.3.2函数的极值与最大（小）值【题组1已知函数求极值或极值点】1、函数的极小值是__________．【答案】【解析】因为，且，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的极小值为.2、函数的极小值为_________.【答案】【解析】，令，可得或.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故当时，取得极小值.3、函数f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.【答案】0【解析】因为x>0，f′(x)＝a－，所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.4、已知，曲线在点处取得极值．（1）求的值；（2）求函数的极值．【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为【解析】（1）由题意，函数，可得，因为曲线在点处取得极值，可得，解得，经检验符合题意，所以．（2）由（1）可知，函数，则，当或时，，当时，，因此在区间和上单调递减，在区间上单调递增，故的极大值为，的极小值为．5、已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的极值．【答案】（1）；（2）极小值，无极大值【解析】（1）因为，所以，当时，，所以切线方程为，即；（2）由题可得的定义域为．令，即，得或（舍去），令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以存在极小值，无极大值．【题组2函数（导函数）图象求与极值的关系】1、如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①x=-2是函数的极值点；②x=1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．①④【答案】D【解析】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.故选：D2、（多选）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．是的极小值点C．函数在上有极大值D．是的极大值点【答案】AD【解析】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，故选：AD3、设函数的导函数为，函数的图像如图所示，则（）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为【答案】D【解析】当时，，∴，单调递减；同理可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴的极大值是，的极小值是.故选：D.4、设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】B【解析】由图知：当时，有、，∴，，又时，而则，即递增；时，而则，即递减；时，而则，即递增；时，而则，即递增；综上，、上递增；上递减.∴函数有极大值和极小值.故选：B5、定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值【答案】B【解析】由函数图像可知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以有极大值和极小值，故选：B【题组3根据函数的极值或极值点求参数】1、已知函数在处有极值10，则（）A．0或－7B．0C．－7D．1或－6【答案】C【解析】由，得，，即，解得或（经检验应舍去），，故选：C．2、已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（）A．-1B．2C．-3D．4【答案】B【解析】，所以因为函数在处取极小值，所以，所以，，，令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B3、已知没有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；在上没有极值，，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：C.4、已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，，函数有极大值和极小值，所以有两个不同解，所以，，解得，故选：B5、设函数f(x)＝lnx＋在内有极值，求实数a的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，因为函数f(x)＝lnx＋在内有极值，所以在内有解，即在内有解，，设，当时，单调递减，所以，要想方程在时有解，只需，故选：A【题组4利用导数求函数的最值】1、函数，则在上的最大值为___________.【答案】16【解析】由题意，得，，时，，递减，时，，递增，所以，又16，，所以最大值为16．2、已知函数，，则的最大值为___________.【答案】1【解析】函数，，所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，所以，所以在时单调递增，其最大值为.3、函数的最大值为___．【答案】【解析】函数，∴当时，单调递增，所以，当时，，，函数单调递减，所以；综上，函数的最大值为.4、已知函数的极值点为和．（1）求函数的解析式；（2）求在上的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由题求出的导数，因为的极值点为和1，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，则，令，解得，由此可得的单调性：x12大于00小于00大于055故，.5、设函数，且曲线在处取得极大值.（1）求的值，并讨论的单调性;（2）求在上的最值.【答案】（1），函数在，上单调递减，在上单调递增；（2）最小值为，最大值为.【解析】（1）由函数求导得：，因曲线在处取得极大值，则，解得，当时，，当或时，，当时，，即有函数在，上单调递减，在上单调递增，且在处取得极大值，所以，函数在，上单调递减，在上单调递增.（2）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因，则当时，，当时，，所以函数在的最小值为，最大值为.【题组5已知函数的最值求参数】1、已知，函数的最小值为，则（）A．1或2B．2C．1或3D．2或3【答案】A【解析】由（），得（，），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，得，解得或2.故选：A2、若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】，令解得；令，解得或由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值，，解得3、已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故，故选：A4、设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】当时，，函数单调递增，且无最大值，当时，，，当时，，当时，，当时，取得极大值也是最大值为，要使有最大值，则，.5、已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】，所以，所以，当时，单调递增，所以当时，，此时值域为R，符合题意；当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，所以满足题意；当时，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，要想值域为R，则要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是【题组6函数的极值与最值综合应用】1、已知函数.，使得)，求实数a的取值范围.【答案】【解析】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．令