6 一元一次不等式组（要点梳理、类型讲解）

一元一次不等式组（知识讲解）【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．特别说明：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．特别说明：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．特别说明：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、一元一次不等式组➻➸定义✬✬列一元一次不等式组 1．下列各式不是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可得到结果；解：符合一元一次不等式组的定义，故A是；因为有a、b两个未知数，故B不是；符合一元一次不等式组的定义，故C是；符合一元一次不等式组的定义，故D是；故答案选B．【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义，准确判断是解题的关键．举一反三：【变式】将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个．若学生的人数为，则列式正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组．解：根据小朋友的人数为，根据题意可得：，故选：C．【点拨】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键．2．若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是______．【答案】m≠－2【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值．解：mx－8≤4－2x，mx＋2x≤4＋8，(m＋2)x≤12，∴m＋2≠0，解得m≠－2，故答案为m≠－2．【点拨】此题主要考察不等式的定义．举一反三：【变式】某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是__．【答案】【分析】根据题意分别表示出分3次服用和分4次服用的剂量范围，再综合两种情况分析即可得出结论．解：若每天服用3次，则所需剂量为之间，若每天服用4次，则所需剂量为之间，所以，一次服用这种药的剂量为之间，所以．故答案为：．【点拨】本题考查不等式的实际应用问题，能够准确分情况讨论出不同的范围再综合分析是解题关键．类型二、一元一次不等式组➻➸求解集✬✬解特殊不等式组 3．解不等式组，请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解不等式①，得：解不等式②，得：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：∴不等式组的解集为：【答案】；；见详解；．【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．解：解不等式①，得，解不等式②，得，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：．故答案为：；；．【点拨】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．举一反三：【变式】解下列不等式组并将解集在下列数轴上表示出来．【答案】(1)，数轴上表示见分析；(2)，数轴上表示见分析【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集并表示在数轴上即可；（2）先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集并表示在数轴上即可．解：（1）解不等式①得；解不等式②得．∴不等式组的解集为．把解集表示在数轴上为：（2）由①得，由②得，所以原不等式的解是，所以在数轴上表示为【点拨】本题考查了不等式组的解法和在数轴上表示解集，确定不等式解集时，要熟记口诀，去分母时注意不要漏乘没有分母的项．4．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式．解：∵，∴可化为．由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得①②解不等式组①，得；解不等式组②，得，∴的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．(1)一元二次不等式的解集为_______；(2)试解一元二次不等式；(3)试解不等式．【答案】(1)或；(2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5(3)的解集为1＜x＜4【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；（2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得；（3）需要分类讨论：①

②据此求解可得．解：（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0∴或解得：x＞3或x＜-3．故答案为：或；（2）∵，∴可化为．由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得①

②解不等式组①，得0＜x＜5；解不等式组②，无解，∴的解集为0＜x＜5，即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5．（3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得①

②解不等式组①，得1＜x＜4；解不等式组②，无解，∴的解集为1＜x＜4．【点拨】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则．举一反三：【变式】阅读理解题：（1）原理：对于任意两个实数、，若，则和同号，即：或若，则和异号，即：或（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．（3）应用：解不等式①②【答案】（3）①或；②【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可；②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可．解：（3）①，∴当时，解得：；当时，解得：；∴原不等式的解集为或；②∴当时，解得：；当时，不等式组无解；∴原不等式的解集为．【点拨】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解．类型三、一元一次不等式组➻➸求整数解5．解不等式组：，把不等式组的解集表示在数轴上，并求出整数解．【答案】，数轴见分析，整数解为：，0，1，2【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式组的解集为：不等式组的解集在数轴上表示为：整数解为：，0，1，2【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式】解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．【答案】不等式组的解集为；不等式组的所有整数解为【分析】根据一元一次不等式组的解法，先分别解出各个一元一次不等式，再结合“大取大、小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”取不等式组解集，最后写出其所有整数解即可得到答案．解：，由①得，即，解得；由②得，即，解得；不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为．【点拨】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、理解并灵活运用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求不等式组的解集是解决问题的关键．类型三、一元一次不等式组➻➸求解集中的参数 6．已知关于的不等式组当时，求不等式组的解集；若不等式组的解集是，求的值；若不等式组有三个整数解，则的取值范围是______．【答案】(1)不等式组的解集为：；(2)(3)【分析】（1）将代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围；（3）根据不等式组中确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围．（1）解：当时，，∴原不等式组解得：，∴不等式组的解集为：；（2）解：当不等式组的解集是时，，解得；（3）解：由，当不等式组有三个整数解时，则不等式组的整数解为、、，又∵且，∴，解得．故答案为：．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．举一反三：【变式】已知：关于x的不等式组当a＝5时，求该不等式组的解集；若不等式组有且仅有3个整数解，求a的取值范围．【答案】(1)1＜x＜9；(2)【分析】（1）把a＝5代入不等式，然后分别求值各个不等式的解，取公共部分即可；（2）用含a的式子表示不等式的解，结合不等式组有且仅有3个整数解，即可求解．（1）解：当a＝5时，不等式组为由①得x＜9由②得x＞1∴不等式组的解集是1＜x＜9；解：由①得x＜9由②得∵不等式组有且仅有3个整数解∴故【点拨】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．7．已知关于的不等式组只有3个整数解，求实数的取值范围．【答案】【分析】求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有三个整数解，根据解集取出三个整数解，即可得出a的范围．解：解不等式得：，解不等式得：，此不等式组有3个整数解，这3个整数解为，0，1，实数的取值范围是．【点拨】本题考查一元一次不等式组的整数解，求不等式的解集，正确得出不等式组的解集是解题关键．举一反三：【变式】嘉淇准备完成题目，解一元一次不等式组，发现常数“□”印刷不清楚．(1)他把“□”猜成－2，请你解一元一次不等式组；(2)若的整数解有3个，请求常数“□”的取值范围．【答案】(1)无解；(2)2＜□≤3；【分析】（1）先分别解出每个不等式的解集，取它们公共部分即为不等式组的解；（2）设常数“□”为a，根据不等式组的解可得a的取值范围（1）解：解不等式x-（-2)＜1，得x＜-1，解不等式x-1≥0，得x≥1，∴该不等式组无解；（2）解：设常数“□”为a，解不等式x-a＜1，得x＜1+a，解不等式x-1≥0，得x≥1，∴不等式组的解集为1≤x＜1+a∵该不等式组有3个整数解，∴3＜a+1≤4，解得：2＜a≤3，即常数“□”的取值范围2＜□≤3．【点拨】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，能根据不等式组的解集得到a的范围是解答的关键．类型五、一元一次不等式组➻➸方程（组）✬✬不等式组8．已知：关于的方程组的解为负数，求的取值范围．【答案】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，根据解为负数列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．解：，得：，解得，得：，解得，∵方程组的解为负数∴，解得．∴．【点拨】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1】关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，求m的取值范围．【答案】0＜m＜【分析】将方程组两方程相加减可得x+y、x﹣y，代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得．解：，①+②得：3x+3y＝3+2m，即x+y＝，①﹣②，得：x﹣y＝2m﹣1，∵，∴，解得：0＜m＜．【点拨】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意得出关于m的不等式组是解题的关键．【变式2】（1）解二元一次方程组；（2）已知（1）中的解满足，求正整数a的值．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组即可求解；（2）把（1）中的解代入不等式中得，，解一元一次不等式组，即可求得正整数解．解：（1）由①得③，将③代入②得，，解得，将代入③得，∴此方程组解为（2）把（1）中的解代入不等式中得，，∴，解得，∵a是正整数，∴．【点拨】本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，正确的计算是解题的关键．类型六、一元一次不等式组➻➸一元一次不等式组的应用9．市食品部门需运输一批生鲜到某区，现有和型两种冷链运输车，其中型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜．型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元．(1)市食品部门用两种冷链车共辆运输这批生鲜．若运输生鲜不少于千克，且总费用小于元，请罗列所有的运输方案．(2)在（1）问的条件下，由于型和型两种冷链运输车，运输时走不同高速路线，型需元过路费，型需元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？【答案】(1)运输方案有种：①用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，②用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，③用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆：(2)安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少．【分析】（1）型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜，运输生鲜不少于千克，型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元，总费用小于元，设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆，由此即可求解；（2）由（1）可知，运输方案有种，型需元过路费，型需元过路费，过路费总和最少，设过路费总和为元，由此即可求解．解：（1）解：设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆，根据题意得，解得，∵是整数，∴可取，，，

∴运输方案有种：①用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，②用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，③用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆．（2）解：设过路费总和为元，则，

当，即时，随的增大而增大，∴时，取最小值，最小值为（元），∴安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少．【点拨】本题主要考查一元一次不等式，理解题目中的数量关系，列不等式组是解题的关键．举一反三：【变式1】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．(1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？(2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润（元）与甲种羽毛球进货量（筒）之间的函数关系式，并说明当为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元(2)当为78时，所获利润最大，最大利润为1390元【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为元，乙种羽毛球每筒的售价为元，由条件可列方程组，则可求得答案；（2）购进甲种羽毛球筒，则乙种羽毛球为筒，由条件可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，用可表示出，可得到关于的一次函数，利用一次函数的性质即可求得答案．（1）解：设甲种羽毛球每筒的售价为元，乙种羽毛球每筒的售价为元，根据题意可得，解得，答：甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元．（2）解：若购进甲种羽毛球筒，则乙种羽毛球为筒，根据题意可得：，解得，由（1）知利润，，随的增大而增大，且，又为整数，当时，最大，，答：当为78时，所获利润最大，最大利润为1390元．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键.【变式2】在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共个，5包儿童口罩和3包成人口罩共个．(1)求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？(2)某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于个，且不超过个，①有哪几种购买方案？②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩元，哪种方案总费用最少？【答案】(1)儿童口罩每包2个，成人口罩每包个(2)①有两种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包；②购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包总费用最少【分析】（1）设儿童口罩每包x个，成人口罩每包y个，根据：3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个列方程组求解即可；（2）①设购买儿童口罩m包，根据这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个列出不等式组，确定m的取值，进而解决问题；②分别求出每个方案的费用即可解决问题．解：（1）解：设儿童口罩每包x个，成人口罩每包y个，根据题意得，，解得，∴儿童口罩每包2个，成人口罩每包个；（2）解：①设购买儿童口罩m包，则购买成人口罩包，根据题意得，，解得，，∵m为整数，∴或，∴共有两种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包．②方案一的总费用为：元；方案二的总费用为：元．∵，∴方案二的总费用最少．【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用