2022北京理工大附中高一3月月考数学（教师版）

第1页/共1页2022北京理工大附中高一3月月考数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的值为A B. C. D.2.（）A B. C. D.3.在中，A为钝角，则点（）A.在第一象限 B.在第二象限C.在第三象限 D.在第四象限4.已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（）A. B. C. D.5.已知，则的值为（）A. B. C. D.6.已知向量，若，则实数λ=A.-3 B. C.1 D.37.如图，已知向量的起点相同，则（）A. B. C. D.8.在中，是的（）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心10.已知函数.Q是的图象上一点，若在的图象上存在不同的两点M，N，使得成立，其中O是坐标原点，则这样的点Q（）A.有且仅有1个B.有且仅有2个C有且仅有3个D可以有无数个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．11.已知向量，则________．12.已知是第四象限角，，则_______；13.化简_____________．14.如图，四边形为平行四边形，，若，则的值为_________．15.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是__________．①函数是周期函数；②函数的值域是；③函数的图象关于对称；④方程只有一个实数根；三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．16.在平面直角坐标系中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：（1）（2）（3）17.已知．（1）求的值．（2）求的值．（3）求的值．18.已知函数．（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；（2）写出的单调递增区间、递减区间．19.已知函数．（1）求的最小值；（2）若在上有零点，求a的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【解析】【分析】先将变形为，然后根据诱导公式一计算结果.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：，.2.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算求解即可【详解】故选：A3.【答案】B【解析】【分析】先判断的正负，即可求解【详解】在中，A为钝角，则B为锐角，则，则点在第二象限，故选：B4.【答案】A【解析】【分析】由扇形的面积公式列方程求解即可.【详解】解：由扇形面积公式得，，故选：A.【点睛】本题考查扇形面积公式的应用，是基础题.5.【答案】C【解析】【分析】将转化成，在用诱导公式化简，代入求值即可.【详解】由得.故选：C.6.【答案】A【解析】【详解】向量，则，若，则有，所以.故选：A.7.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可推出结果.【详解】已知向量的起点相同，则.故选：D.8.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解，得到答案.【详解】在中，若，可得，满足，即必要性成立；反之不一定成立，所以在中，是的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质是解答的关键，属于基础题.9.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.而＝＋λ，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选：.10.【答案】A【解析】【分析】先由已知可得为M，N的中点，然后根据函数的对称性即可作出判断.【详解】因为，则，所以为M，N的中点，因为关于点成中心对称，所以当的坐标为时，取关于点对称的点M，N符合题意，M，N在两侧时，中心也要在函数上，只能是，M，N在同侧时，相当于M，，N所在的直线与在一侧有个交点，不可能成立，故满足条件的有且仅有1个.故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．11.【答案】7【解析】【分析】将用坐标表示，再根据模长公式即可得结果.【详解】∵，，∴，则，故答案为:7.12.【答案】【解析】【分析】：由同角三角关系求解【详解】：，设，由同角三角关系可得．【点睛】：三角正余弦值的定义为，．13.【答案】【解析】【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式，进一步利用求得结果【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简，属于基础题。14.【答案】1【解析】【分析】选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．【详解】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故答案为：1.15.【答案】②④【解析】【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.【详解】由题得函数的定义域为,，所以函数为偶函数，当时，；当时，；当时，；所以函数的图象如图所示，所以函数的图象如图所示，由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；所以函数的值域是，故选项②正确；由，所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；对于方程，当时，，方程有一个实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；故方程只有一个实数根，故选项D正确.故答案为：②④.三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．16.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义可得，（2）通过除以，进行“弦化切”，进而得解；（3）利用诱导公式化简式子，将正切值代入，即可得到答案【小问1详解】由任意角三角函数的定义可得：，【小问2详解】【小问3详解】17.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）平方由可得解；（2）通过三角值的正负判断，再求，开方即可得解；（3）根据同角三角函数关系化简得，去绝对值代入条件即可得解.【小问1详解】因为，所以，所以．【小问2详解】因为，所以，所以，又因为，所以．【小问3详解】18.【答案】（1）作图见解析（2）增区间为，减区间为【解析】【分析】（1）由图，由的周期确定图像的一个周期范围，对比正弦函数，算出“五点法”的五点，描点画图即可.（2）对比正弦函数的单调区间，列不等式求解即可【小问1详解】由图横坐标的范围，函数的周期为，画出函数在上的图象．列表如下，x00100描点作图即可【小问2详解】由正弦函数的单调区间得，，解得增区间为，或写成开区间；同理可得，减区间为19.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简函数，根据，所以，分