《电路分析》课件 第2章 线性电路分析的基本方法

第2章线性电路分析的基本方法2.1支路电流分析法2.2等效变换分析法2.3节点电压分析法2.4网孔电流分析法2.5叠加定理2.6戴维南定理和诺顿定理2.7最大功率传输定理*2.8替代定理第2章线性电路分析的基本方法

◆线性电路:是指由线性时不变元件和独立源组成的线性时不变电路。本章以直流电阻电路为例介绍线性电路的基本分析方法。直流电阻电路分析中所涉及的理论和方法，只要稍加引申，即可用于包含其他元件的线性电路的分析。

◆电路所遵循的两类约束：第1章中，我们学习了各元件自身的电压、电流之间所满足的约束关系（元件的伏安关系），以及基尔霍夫定律所揭示的元件互联所遵循的整体上的电压、电流约束关系，即互联约束。在所研究的电路中，其中的电压、电流无不受这两类约束所限制。两类约束也将成为分析电路的基本依据。2.1支路电流分析法◆支路电流分析法：利用基尔霍夫定律，以各支路电流为未知量，分别应用KCL、KVL列方程，解方程便可求出各支路电流，继而求出电路中其他物理量，这种分析电路的方法称为支路电流法。应用支路电流法时应注意：对于具有b条支路、n个节点的电路，只能列出（n

-

1）个独立的KCL方程和b

-

(n

-

1)个独立的KVL方程。其中b

-

(n

-

1)实际上就是电路的网孔数。

下面举例介绍支路电流法的具体应用。

【例2-1】电路如下图所示，已知Us1=15V，Us2=5V，R1=1Ω，R2=3Ω，R3=4Ω，R4=2Ω。求回路电流I和电压Uab。

解：（1）选定回路电流I的参考方向及绕行方向如图所示。根据KVL可写出:以a到b点左边路径求解可得a、b两点间电压为： Uab

=

-R1I

+

US1

-

R2I

=

-

1

×

2

+

15

-

3

×

2

=

7V同理，以a到b点右边路径求解可得: Uab

=

R3I

-

US2

+

R4I

=

4

×

2

-

5

+

2

×

2

=

7V由此可见，两点间电压与所选路径无关。

【例2-2】电路如下图所示，已知电阻R1=3Ω，R2=2Ω，R3= 6Ω，电压源Us1=15V，Us2=3V，Us3= 6V，求各支路电流及各元件上的功率。解：选定各支路电流I1、I2、I3的参考方向及回路绕行方向如图所示。根据KCL、KCL可得：代入数据，并解得各支路电流为：电路发出功率与吸收功率相等，即满足功率平衡。

【例2-3】

下图所示为电桥电路，Rg为检流计内阻。（1）列出接点a、b的支路电流方程；（2）列出3个网孔的回路电压方程；（3）要使通过检流计G的电流为零，即电桥电路达到平衡，桥臂电阻R1、R2、R3、R4的关系应该如何？

解：选定各支路电流的参考方向如图所示。

（1）对节点a、b，根据KCL有：节点a I1

-

Ig

-I2

=

0

节点b I3+Ig

-I4

=

0

（2）对于3个网孔，根据KVL有:网孔a-b-c-aR1I1

+

RgIg

-

R3I3

=

0网孔a-d-b-a R2I2

-

R4I4

-

RgIg

=

0网孔c-b-d-c R3I3

+

R4I4

+

RI

-

US

=

0

（3）检流计的电流为零，即Ig

=

0，则有：

I1

=

I2，

I3

=

I4因此

R1I1

=

R3I3，

R2I2

=

R4I4

即

R1I1

=

R3I3，

R2I1

=

R4I3以上两式相比并整理得：

R1R4

=

R2R3

这就是电桥平衡的条件。

【例2-4】

电路及参数如图2-4所示，o为电路参考点，求a、b、c、d、e、f、g各点电位。

解：根据KCL的推广应用，可以得出图中电流I

=

0，I’

=

0。因此，图中所示两个回路为两个单回路，即串联电路，电流互不流通，选定左、右回路电流I1、I2的参考方向及绕行方向如图所示，根据KVL得:

左边回路:(10

+

10)I1

+

20

=

0，解得I1

=

-

1A

右边回路:(5

+

1

+

4)I2

-

5

=

0，

解得I2

=

0.5A则各点电位分别为:

Va

=

Uao

=

-

10V

Vb

=

Ubo

=

Uba

+

Va

=

10I1

+

Va

=

10

×

(

-

1)

+

(

-

10)

=

-

20V

Vc

=

Uco

=

Ucb

+

Vb

=

10I1

+

Va

=

20

+

(

-

20)

=

0

Vd

=

Udo

=

Udc

+

Vc

=

10I1

+

Va

=

-

10V

Ve

=

Ueo

=

Ued

+

Vd

=

-

1

×

I2

+

Vd

=

-

1

×

0.5

+

(

-

10)

=

-

10.5V

Vf

=

Ufo

=

Ufe

+

Ve

=

-

4I2

+

Ve

=

-

4

×

0.5

+

(

-

10.5)

=

-

12.5V

Vg

=

Ugo

=

Ugd

+

Vd

=

5I2

+

Vd

=

5

×

0.5

+

(

-

10)

=

-

7.5V

本题具体给出了求解电路中任意一点电位的方法：电路中任意一点电位等于该点到参考节点之间的电压。因此，求某点的电位实际上求的是两点之间的电压。

【例2-5】求下图所示电路中的电流I。

解：

本题的求解试图说明含有受控源电路在分析时可按电路分析的一般原则，利用KCL和KVL列方程联立求解，或用电路的其他一些分析方法以及网络定理进行求解。

选定支路电流I1的参考方向如图所示。利用KCL和KVL列写方程。对于节点a，根据KCL可得：I1=I+3

对于回路adbca，由KVL得：2I

+

I1

+

2I

-12=0

将以上两方程联立求解，得到：I=1.8A

题图2.1.1题图2.1.2题图2.1.3复习思考题2.1.1

在题图2.1.1所示电路中，有几条支路、几个节点、几个网孔、几个回路？要求：选定各支路电流的参考方向和各网孔的绕行方向，根据KCL，列出节点的具有独立性的支路电流方程；根据KVL，列出所有网孔的具有独立性的回路电压方程。2.1.2

试求题图2.1.2电路中电阻R的值。2.1.3

电路如题图2.1.3所示，试求：（1）各支路电流I1、I2和I3的值；（2）电压源和电流源的功率，并判断其功率性质。2.1.4

题图2.1.4所示为由三极管构成的共集电极放大电路，若图中Ic

=

βIb，Ube忽略不计，试推导2.1.5

在题图2.1.5所示电路中，o为参考节点，试求a、b两点的电位以及Uab。2.1.6

在题图2.1.6所示电路中，已知US

=

16V，IS

=

4A，R1

=

5Ω，R2

=

1Ω，I1

=

3A，试求Uab和R3。

题图2.1.4题图2.1.5题图2.1.61.二端网络

定义：具有两个端子与外部相连接的电路叫二端网络，也称单口网络。二端网络根据其内部是否包含电源（独立源），分为无源二端网络和有源二端网络。每一个二端元件就是一个最简单的二端网络。2.2等效变换分析法2.2.1等效变换

图2-6所示为二端网络的一般符号。对于二端网络的两个端子，进出这两个端子的电流是同一个电流。满足这个条件的这一对端子称为端口，该条件也称为端口条件。

二端网络端子上的电流I、端子间的电压U分别称为端口电流和端口电压。图2-6中端口电压U和端口电流I的参考方向对二端网络来说是关联一致的，UI应视为该网络消耗的功率。端口的电压、电流关系又称为二端网络的外特性。图2-6二端网络2．等效变换

当一个二端网络与另一个二端网络的端口电压、电流关系完全相同时，这两个二端网络对外部来说称为等效网络。等效网络互换后，虽然其内部结构发生了变化，但它们的外特性没有改变，因此对外电路的影响也就不会改变。因此我们所说的“等效”是对网络以外的电路而言的，即对外部等效。

求一个二端网络等效网络的过程称为等效变换。等效变换是电路理论中一个非常重要的概念，它是简化电路的一个常用方法。因此，在实际应用中，通常将电路中的某些二端网络用其等效电路代替，这样不会影响电路其余部分的支路电压和电流，但由于电路规模的减小，可以简化电路的分析和计算。

此外，还有三端网络、四端网络……n端网络。两个n端网络，如果对应各端钮间电压、电流关系相同，就是等效网络。

1.电阻的串联与分压

串联分压：电阻串联具有分压特点，各电阻上的电压与其阻值成正比。即:

等效电阻：电阻串联时，其等效电阻等于各个串联电阻的代数和。即

Req=R1+R2+……+Rn图2-7电阻的串联2.2.2无源二端网络的等效变换

功率分配：电阻串联时，各电阻上的功率大小与其阻值成正比。串联电阻的总功率等于各个电阻功率的和。

【例2-6】：下图所示是某电子设备中的一个分压电路。R=680Ω的电位器与电阻R1、R2串联，已知R1=R2=550Ω，电路输入电压U1=12V，求输出电压U2的变化范围。解：当滑动端c移动到a端时，电位器全部与R2串联，输出电压为:

滑动端c移动到b端时，电位器全部与R1串联，输出电压为:

因此，调节680Ω的电位器时，输出电压可在3.71V～8.29V之间变化。

【例2-7】

现有一个内阻为20kΩ、量程为10V的电压表，如下图所示，今欲将电压表量程扩大为50V和250V，问需串联的附加电阻值为多少？

解：电压表内阻Rg=20kΩ，量程为10V，即Ug=10V。在50V这一挡量程，总电压U=50V，串联电阻为R1，根据分压公式可得:即所以R1=80kΩ

在250V这一挡量程，总电压U=250V，串联电阻为R1和R2，同理可得：即得R1=400kΩ2.电阻的并联及其分流等效电阻：电阻并联时，其等效电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，或者说，总电导等于各并联电导之和。Geq=G1+G2+……+Gn

图2-10电阻的并联

并联分流：电阻并联具有分流的特点，各电阻上的电流与其阻值成反比，或与其电导成正比。即：

i1：i2：……：in=G1：G2：……：G

功率分配：并联电路中，各电阻的功率也与电阻成反比，即：

p1：p2：……：pn=（1/R1）：（1/R2）：……：（1/Rn）

两个电阻并联：两个电阻并联时，其等效电阻为：

其电流分配关系为：3.电阻的混联

既有串联又有并联的电路称为混联电路。利用串联电路和并联电路的特点，就可以将混联电路进行简化，进而分析计算电路。

【例2-8】

求下图（a）所示电路ab端的等效电阻Rab。

解：在图（a）中，首先标出除了两个端子a、b之外的其余各节点，注意同一条导线上所有的点都是同一个节点，故图中除了两个端子a、b，还可标出c、d两个节点。然后，从起点a开始顺势“走到”终点b，途中每经过一个节点，便分析在该节点处共分出几条电阻支路，直至分析到终点b为止。这样在不改变电路连接关系情况下，原电路图可梳理成图（b）的形式，电阻间串联和并联关系就比较清楚了。因此等效电阻为：

【例2-9】

求下图（a）所示电路ab端的等效电阻Rab。

解：在图（a）中，在不改变电路联接关系情况下，原电路可画成图（b）的形式因此等效电阻为：

若将a、d间用短路线联接如图（c）所示，那么a、b之间等效电阻Rab等于多少呢？读者可自行分析。（答案：Rab=1.6Ω）。

【例2-10】

将内阻Rg=2000Ω，满偏电流Ig=100μA的直流表头做成多量程的直流电流表，采用如下图所示的环形分流器。现要求量程为1mA、10mA、100mA三档，试求分流电阻R1、R2和R3。解：分流器开关S打在位置“3”时，量程最小，分流电阻最大，为R1+R2+R3

，S打在位置“1”时，量程最大，分流电阻最小，为R1。因此可以利用电阻串并联关系，首先从最小量程开始，求得总的分流电阻，在从最大量程开始，逐一求出各分流电阻。分析如下：

S打在1mA档，R1、R2、R3串联后与Rg并联，Ig=100μA=0.1mA，I=1mA，根据分流关系，得

即

所以R1+R2+R3=222.22ΩS打在100mA档，Rg、R2、R3串联后与R1并联，Ig=100μA=0.1mA，I=100mA。

S打在10mA档，Rg、R3串联，R1、R2串联，Ig=100μA=0.1mA，I=10mA。4.电阻星形连接和三角形连接的等效变换◆电阻的星形连接和三角形连接：电阻的连接方式，除了串联和并联，还有更复杂的连接，本节介绍的星形连接和三角形连接就是电阻复杂连接中的常见情形。在电子、电力电子、传输电网等电路中，这两种特殊的电阻结构还是经常遇到的，为此，掌握两者的等效变换非常重要。

将3个电阻的一端连在一起，另一端分别接到3个不同的端子上，就构成了电阻的星形连接，又称为Y形连接，如图2-14（a）所示。将3个电阻分别接到3个端子的每两个之间，这样就构成了电阻的三角形连接，又称为△形连接，如图2-14（b）所示。图2-14电阻的Y形连接和△形连接◆Y形连接与△形连接的等效变换：根据多端网络等效变换的条件，让其对应端口的电压、电流分别相等，利用KCL、KVL就可推导出两个网络之间等效变换的参数条件。它们是：（1）将△形联接等效为Y形联接：当R12=R23=R31=R△

时，有R1=R2=R3=RY=。（2）将Y形连接等效为△形连接：

当R1=R2=R3=RY时，有R12=R23=R31=R△=3RY

。应用：在电路分析中，有时将△形电阻网络与Y形电阻网络进行等效变换，就有可能把复杂的电路转变为简单电路，使分析计算大为简化。所谓简单电路是指利用电阻的串并联逐步化简，最后能化为一个等效电阻的电路。

再用电阻串联和并联公式,求出连接到电压源两端的等效电阻为：

最后求得：

【例2-11】求下图（a）所示电路中电流I。

解：将3Ω、5Ω和2Ω三个电阻构成的三角形网络等效变换为星形电阻网络，如图（b）所示，可求得：，，

1.独立电源的串联和并联

n个理想电压源串联，可以等效成一个电压源。例如，图2-16（a）所示为两个理想电压源US1和US2串联，可以用一个等效的电压源US代替。n个理想电流源并联，可以等效成一个电流源。图2-16（b）所示为两个理想电流源等效的例子。2.2.3有源二端网络的等效变换

图2-16独立源的等效

由图2-17可以看出：一个电压源并联若干元件（如电阻、电流源），对外等效仍为该电压源，上图中的（a）和（c）；一个电流源串联若干元件（如电阻、电压源），对外等效仍为该电流源，如图中的（b）和（d）。这是电压源和电流源的特点所决定的。但将电压不相等的电压源并联或电流不相等的电流源串联是不允许的，这将违背KVL和KCL。

注意：图2-17中的（a）和（c）中，等效后的电压源与等效前的电压源的电流和功率是不相等的。同样，图2-17中的（b）和（d）中，等效后的电流源与等效前的电流源的端电压和功率也是不相等的。

图2-17电源的等效变换2.两种实际电源模型的等效变换图2-18（a）是电压源与电阻串联的模型，输出电压U=US–IRS，也可表示为：

图（b）是电流源与电阻并联的模型，输出电流为：

图2-18两种电源模型的等效变换

根据等效变换的条件，上面两个式子中的U、I分别相等，且对应项也应该相等，

由此得到两种实际电源模型等效变换的参数条件为：

【注意】：

（1）应用上式进行等效变换时，应该注意变换前后电流源与电压源参考方向的对应关系：电流源的参考方向应与电压源的参考“-”极到参考“+”极的方向一致，反过来也是一样。

（2）具有串联电阻的电压源常称为有伴电压源，具有并联电阻的电流源常称为有伴电流源。有伴电压源和有伴电流源才能进行等效变换。以上实际电源两种电路模型的等效变换，可以简称为有伴电源的等效变换。

图2-18两种电源模型的等效变换

【例2-12】

求下图（a）所示电路的等效电流源模型和图（b）所示电路的等效电压源模型。

解：图（a）中

，

R/S=

RS

=

4

Ω

根据等效前US的极性，可知等效后电流源IS的参考方向应向下。图（b）中

US

=R/S

IS

=

3

×

6

=

18V，RS

=

R/S

=

3

Ω【例2-13】

化简下图（a）所示的有源二端网络为等效的电压源模型。

【例2-14】电路如下图（a）所示，试用等效变换法计算电阻R2中的电流I2。

解:

首先将图（a）中IS与R1的并联组合电路，等效变换成US1与R1的串联组合电路，如图（b）所示。其中

US1=R1

IS=6×8=48V

再将图（b）中US1、US2的串联电路等效变换为US，如图（c）所示，注意US1与US2的参考方向是相反的，所以

US=US1-US2=48–18=30V

【例2-15】含受控源的二端网络如下图（a）所示，求二端网络的等效电阻Req。

解：受控源与独立源一样，也可进行电源的等效变换，图（a）中的受控电流源与电阻的并联等效变换为受控电压源与电阻的串联，如图（b）所示。假设在图（b）所示端口处外加电压源U，则U在端口处产生的端口电流为I，下面分析端口U-I关系。选定I1、I2参考方向如图所示，可得：

U=2I+（10+10）I1–4U

（10+10）I1–4U–20I2=0I2=I–I1联立解之得：U=4I

故（a）（b）

【例2-16】试将下图（a）所示的含受控源的二端网络进行化简。

解：图（a）中既含有受控源，也含独立源，其等效电路应为一个独立电压源与一个电阻的串联。同样利用“外施电源法”，写出端口U-I关系式。先将图（a）中的受控电流源与电阻的并联等效变换为受控电压源与电阻的串联，如图（b）所示。由图（b）可写出端口的U-I关系式为:

U=-500I+1000I+1000I+20=1500I+20据此可得到相应的等效含源支路如图（c）所示。（a）（b）（c）

题图2.2.1题图2.2.2题图2.2.3复习思考题2.2.1

题图2.2.1为某一分压器电路，已知输入电压U

=

150V，总电阻R

=

R1

+

R2

+

R3

=50

kΩ，要求输出电压Uo分别为150

V、75

V和15

V，则R3

=

kΩ，R2

=

kΩ，R1

=

kΩ。2.2.2

题图2.2.2所示电路中，a、b间端口电压为U，起初开关S1、S2均呈断开状态。试问：（1）当开关S1闭合时，电压表读数

；（2）当开关S2闭合时，电压表读数

。（填增大、减小或不变）2.2.3

题图2.2.3所示电路中，已知U1

=

12V，则各支路电流I1

=

A，I2

=

A，I3

=

A，端口电压U

=

V。2.2.4

求题图2.2.4所示各无源二端网络的等效电阻Rab。题图2.2.42.2.5

将题图2.2.5中（a）、（b）所示的Y形网络等效变换为△形网络；将题图2.2.5中（c）、（d）所示的△形网络等效变换为Y形网络。题图2.2.52.2.6

将题图2.2.6（a）所示有源二端网络等效变换为有伴电压源模型，将题图2.2.6（b）所示有源二端网络等效变换为有伴电流源模型，试填写等效变换后各元件参数。题图2.2.62.2.7

将题图2.2.7（a）所示有源二端网络等效变换为图2.2.7（b）所示的有伴电压源模型，则等效电路中元件参数US和RS应为（

）。题图2.2.7（a）US

=

20V，RS

=

8Ω （b）US

=

-

4V，RS

=

1.5Ω（c）US

=

3V，RS

=

1.5

Ω2.2.8

简化题图2.2.8（a）所示有源二端网络为题图2.2.8（b）、题图2.2.8（c）和题图2.2.8（d）3种情况，则正确的等效电路应选择（

）。题图2.2.82.2.9

题图2.2.9所示电路中，电流I应为（

）。（a）I

=

1A （b）I

=

3A （c）I

=

5A （d）I

=

2A2.2.10

请用等效变换法，求题图2.2.10所示电路中电流I的值。

题图2.2.9题图2.2.10节点电压及节点电压分析法：

节点电压：选电路中某一节点作为参考点（其电位为零），其他各节点到参考点的电压称为该节点的节点电压（实际上就是该节点的电位），一般用V表示。

节点电压分析法：以节点电压为未知量，应用KCL列出各节点的KCL方程，解方程得到节点电压，继而以节点电压为依据，求出各支路电流。在节点电压分析法中电阻元件的参数值用电导表示，即2.3节点电压分析法2.3.1节点电压及节点电压方程

如图2-24所示电路共有4个节点，选节点4为参考节点，则V4= 0；节点1、2、3即为电路的3个独立节点，各独立节点到参考节点之间的电压分别是V1、V2、V3。则各支路电流可用节点电压表示为：图2-24节点分析法用图节点1节点2节点3

整理得：

自导及互导：上式中，令G11=G2+G5，G22=G2+G3，G33=G4+G5，G11、G22、G33分别为节点1、节点2、节点3的自导，是分别连接到节点1、2、3的所有支路电导之和。用G12和G21、G13和G31、G23和G32分别表示节点1和2、节点1和3、节点2和3之间的互导，分别等于相应两节点间公共电导并取负值。本例中，G12=G21=-G2，G13=G31=-G5，G23=G32=0。

自导总是正的，互导总是负的。

此外，用IS11、IS22、IS33分别表示电流源或电压源流入节点1、2、3的电流。本例中，Is11=Is1，Is22=Is6，Is33=-Is6。其中，电流源电流参考方向指向节点时，该电流前取正号，反之取负号；电压源与电阻串联的支路，电压源的参考“+”极指向节点时，等效电流源前取正号，反之取负号。如图2-24所示。

节点电压方程：下面是有3个独立节点的节点电压方程的一般形式：图2-24节点分析法用图以下是有n-1个独立节点的节点电压方程的一般形式：

【例2-17】如图所示电路中，已知Us1

=16V，IS3=2A，Us6=40V，R1=4Ω，R1/=1Ω，R2=10Ω，R3=R4=R5=20Ω，R6=10Ω，o为参考节点，求节点电压V1、V2及各支路电流。2.3.2节点法应用举例

解：选定各支路电流参考方向如图所示。由已知可得：列出节点电压方程为：联立解之得：

V1=10V，V2=28V根据I1～I6的参考方向可求得各支路电流为：

【例2-18】用节点电压法求下图所示电路的节点电压。

解：图中6V电压源为无伴电压源，设通过它的电流为I，参考方向如图所示。选接地点作为参考节点，则节点1、2为独立节点，其节点电压分别为V1和V2。计入电流变量I列出两个节点电压方程为：

V1=5–I0.5V2=-2+I

补充方程为：

V1–V2=6解得：

V1=4V，V2=-2V

【例2-19】

下图所示电路中，已知R1

=

12

Ω，R1/

=

8

Ω，R2

=

10

Ω，R3

=

10

Ω，US1

=

100V，US2

=

100V，IS3

=

5A，各支路电流参考方向如图所示，用节点法求各支路电流。

解：以o点为参考节点，则独立节点1的节点电压为V1，根据式（2-13）列出节点电压方程为：

整理得到：根据图中各支路电流参考方向可求得：

【例2-20】电路如下图所示。已知g=2S，求节点电压和受控电流源的功率。

解：

当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量I来建立结点方程。

2V1–V2=6–I-V1+3V2–V3=0-V2+2V3=gV2+I求解可得：

V1=4V，V2=3V，V3=5V受控电流源的功率为：

（发出功率30W）

题图2.3.3题图2.3.4复习思考题2.3.1

请写出具有1个独立节点电路的节点电压方程的一般形式。2.3.2

简述用节点法求电路中各支路电流的过程。2.3.3

电路及参数如题图2.3.3所示，各支路电流参考方向已标出，已知独立节点1、2的节点电压分别为V1

=

4V，V2

=

-

4V，试用节点法求各支路电流I1、I2、I3、I4和I5。2.3.4

题图2.3.4所示电路中，已知R1

=

20

Ω，R2

=

30

Ω，R3

=

20

Ω，R4

=

50

Ω，IS1

=

2A，US3

=

70V，US4

=

50V，各支路电流参考方向如图所示，用节点法求各支路电流。2.4.1网孔电流及网孔电流方程◆网孔电流：电路如图2-29所示，图中有3条支路，两个网孔。支路电流I1、I2、I3的参考方向已标出。所谓网孔电流，是假想的沿网孔环绕流动的电流，Ia、Ib分别是左、右两网孔的网孔电流，网孔电流的参考方向可以选为顺时针或逆时针，本例中均选为顺时针。由图2-29可以看出，各支路电流与网孔电流的关系为I1

=

Ia，I2

=

Ia

-

Ib，I3

=

Ib，而且网孔电流的数目要少于支路电流，因此只要求出网孔电流，就可求出各支路电流。图2-29网孔法分析用图2.4网孔电流分析法

网孔电流分析法：简称网孔法，它是以网孔电流作为电路的独立变量，该方法仅适用于平面电路。网孔法也是分析电路的一种基本方法。利用列方程联立求解电路时，网孔法与节点法一样，能减少方程的个数，从而使电路的分析和计算变得简便。

◆网孔电流方程：以图2-29为例，选定两网孔的绕行方向与网孔电流参考方向一致，根据KVL可列出两网孔的回路电压方程为：

左网孔

R1I1

+

R2I2

+

US2-US1

=

0

右网孔-

R2I2

+

R3I3

+

US3-US2

=

0

根据支路电流与网孔电流的关系，整理并得网孔电流方程为：(R1

+

R2)Ia

-

R2Ib

=

US1-US2-

R2Ia

+

(R2

+

R3)Ib

=

US2-US3式中，令R11

=

R1

+

R2，R22

=

R2

+

R3，R11和R22分别为网孔1（左网孔）和网孔2（右网孔）的自阻，它们分别等于网孔1和网孔2中所有电阻之和。用R12和R21表示网孔1和网孔2的互阻，且满足R12

=

R21，互阻的绝对值就是两网孔所拥有的公共支路上的总电阻，本例中的互阻的绝对值是R2。图2-29网孔法分析用图

注意：自阻总是正值。互阻的值可正可负，正负取决于两网孔电流经过互阻时方向是否一致，一致为正，不一致为负。在图2-29电路中，互阻R12

=

R21

=

-

R2。

令US11和US22分别为网孔1和网孔2中所有电压源电压的代数和。当电压源电压的参考方向与网孔电流参考方向一致时，电压源电压前取负号，反之取正号。根据上述规定，在图2-29电路中，US11

=

US1-US2，US22

=

US2-US3。

这样，对于具有两个网孔的电路，网孔电流方程可写成一般形式为: R11Ia

+

R12Ib

=

US11

R21Ia

+

R22Ib

=

US22

与节点电压方程一样，上式所表示的两个网孔电路网孔电流方程的一般形式可以推广到3个网孔甚至更多网孔的电路。例如，电路具有3个网孔时，网孔电流方程的一般形式为：

R11Ia

+

R12Ib

+

R13Ic

=

US11

R21Ia

+

R22Ib

+

R23Ic

=

US22

R31Ia

+

R32Ib

+

R33Ic

=

US33

综上所述，以假想的网孔电流为变量，应用KVL列出网孔电流方程，联立解出网孔电流，则各支路电流即为有关网孔电流的代数和。此即网孔法。2.4.2网孔法应用举例

【例2-21】

用网孔法求下图电路中各支路电流。

解：选定两个网孔电流Ia、Ib的参考方向如图所示。列出网孔电流方程为（1+1）Ia-Ib=5-Ia+（1+2）Ib=-10解得

Ia=1AIb=-3A各支路电流分别为

I1=-Ia=-1A，I2=Ib=-3A，I3=Ia-Ib=4A

【例2-22】用网孔法求下图电路中各支路电流。解：选定三个网孔电流Ia、Ib、Ic的参考方向如图所示。列出网孔电流方程为：（2+1+2）Ia-2Ib-Ic=6-18-2Ia+（2+6+3）Ib-6Ic=18-12-Ia–6Ib+（3+6+1）Ic=25-6解得：

Ia=-1AIb=2AIc=3A各支路电流分别为：I1=Ia=-1AI2=Ib=2A

I3=Ic=3A

I4=Ic–Ia=4A

I5=Ia–Ib=-3AI6=Ic–Ib=1A

【例2-23】用网孔法求下图电路中各支路电流。

解：本题电路中含有独立电流源，且该电流源没有电阻与之并联，无法等效成电压源，因此应增加电流源电压作变量来建立网孔电流方程。此时，由于增加了电压变量，需补充电流源电流与网孔电流关系的方程。

设电流源电压为U，考虑了电压U的网孔方程为：

Ia=5-

U2Ib=-10+U补充方程：

Ia–Ib=7求解以上方程得到：Ia=3AIb=-4AU=2V各支路电流分别为：I1=Ia=3AI2=Ib=-4A

【例2-24】下图所示含受控源电路中，已知U=rI，r=5kΩ，试用网孔法求图中受控源两端电压U。解：选定三个网孔电流Ia、Ib、Ic的参考方向如图所示。列出网孔电流方程为:（1+3）Ia-Ib-3Ic=5-Ia+（1+4.5）Ib=U-3Ia+（3+4）Ic=-U补充方程:

U=5I=5（Ia–Ic

）求解以上方程得到:

Ia=1mAIb=2mAIc=-1mA所以受控源两端电压为:

题图2.4.2题图2.4.3题图2.4.4复习思考题2.4.1

判断正误：列写节点电压方程时，节点电压以参考节点为负极性，故自导为正（

），互导为负（

）；列写网孔电流方程时，网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致，故自阻总为正（

），互阻总为负（

）。2.4.2

题图2.4.2所示电路中，已知a、b两点间电压Uab

=

12V，网孔电流Ia

=

1A，则电流源电流IS

=

A，电压源电压US

=

V。2.4.3

题图2.4.3所示电路中，网孔电流Ia、Ib、Ic的参考方向已标出，试用网孔法求各支路电流I1、I2、I3、I4的值。2.4.4

题图2.4.4所示含受控源电路中，已知μ=1，α=1。试求网孔电流Ia、Ib和Ic。2.5叠加定理2.5.1叠加定理的基本内容

叠加定理是分析线性电路的重要定理。

◆线性电路：所谓线性电路，是指由独立电源和线性元件组成的电路。

◆线性电路的特点：凡是线性电路一定同时满足可加性和齐次性。可加性是指：如果电源f1(t)引起的响应为y1(t)，电源f2(t)引起的响应为y2(t)，则电源为f1(t)+f2(t)时引起的响应为y1(t)+y2(t)。齐次性是指：若电路对电源f(t)的响应为y(t)，当电源扩大α倍变为αf(t)时（α为任意常数），其响应也扩大α倍变为αy(t)。将以上两性质结合起来可表示为：

◆定理内容：在线性电路中有两个或两个以上独立电源共同作用时，任意支路的电流或任意两点间的电压，都可以认为是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路中产生的各电流或在该两点间产生的各电压的代数和（叠加）。

◆应用定理注意事项：（1）叠加定理只适用于线性电路分析，对非线性电路定理不适用。（2）在计算某一个独立电源单独作用所产生的电流或电压时，应将电路中其它独立电源均置零。其中，电压源置零是用“短路”代替，这样才能保证其输出电压为零；电流源置零用“开路”代替，这样才能保证其输出电流为零。（3）叠加时要注意各独立源单独作用时所产生的电流（或电压）分量，与所有独立源共同作用时所产生的总量之间参考方向的关系，若参考方向一致，则叠加时各分量前面取“+”号，反之取“-”号。（4）功率不是电压或电流的一次函数，故不能用叠加定理来计算功率。

用叠加定理分析线性电路时，首先应画出叠加电路图，并且在分图中标出各分量的参考方向；然后在分图中求解各分量；最后将各分量进行叠加。下面举例说明叠加定理的具体用法。2.5.2定理的应用【例2-25】在下图（a）所示电路中，用叠加定理求支路电流I1和I2。解：

根据叠加定理画出叠加电路图如图所示。

齐性定理：根据叠加定理可以推导出另一个重要定理——齐性定理，它表述为：在线性电路中，当所有独立源都增大k倍或缩小为1/k（k为实常数）时，支路电流或电压也将同样增大k倍或缩小为1/k。例如，将例2-25中各电源的参数做以下调整：US1= 40V，IS2= 6A，再求支路电流I1和I2。很明显，与原电路相比，电源都增大了1倍，因此根据齐性定理，各支路电流也同样增大1倍，于是得到I1 = −3.5A，I2 = 2.5A。掌握齐性定理有时可使电路的分析快速、简便。

【例2-26】

下图所示电路，N为线性电阻网络。已知当uS

=

4V，iS

=

1A时，u

=

0；当uS

=

2V，iS

=

0时，u

=

1V。试求当uS

=

10V，iS

=

1.5A时，u为多少？

解：根据叠加定理，应有：代入已知条件，得：4K1

+

K2

=

02K1

+

0

=

1解得：K1

=

1/2，

K2

=

-

2所以当uS

=

10V，iS

=

1.5A时，u的值为：

【例2-27】电路如下图（a）所示。已知r=2Ω，试用叠加定理求电流I和电压U。

解：根据叠加定理画出叠加电路图如图所示。图（b）电路中，只有独立电压源单独作用，列出KVL方程为：求得第一组分量为：图（c）电路中，只有独立电流源单独作用，列出KVL方程为：求得第二组分量为：根据I和U总量与分量参考方向的关系，应用叠加定理得到：

叠加定理总结：通过以上各例题的分析可以看出，叠加定理实际上将多电源作用的电路转化成单电源作用的电路，利用单电源作用的电路进行计算显然非常简单。因此，叠加定理是分析线性电路经常采用的一种方法，望读者务必熟练掌握。复习思考题2.5.1

题图2.5.1所示电路中，利用叠加定理求各支路电流。题图2.5.12.5.2

题图2.5.2所示电路中，电压源US1单独作用时，4

Ω电阻的电流

I2/=

1

A，在US1和US2共同作用下，4

Ω电阻的电流I2

=

3

A，则US1

=

V，US2

=

V（I2/、I2//和I2参考方向相同）。2.5.3

题图2.5.3所示电路中，电压源US单独作用时I1/

=

2

A，则US

=

V；在电压源US和电流源IS共同作用下，I1

=

-

1A，则IS

=

A（I1/、I1//和I1参考方向相同）。

题图2.5.2题图2.5.32.5.4

题图2.5.4所示电路中，电压源US1和US2共同作用下，电阻R3吸收功率25

W。在电压源US1单独作用时，电阻R3吸收功率16

W，已知US1和US2的电压值均为正值。试问在US2单独作用下，电阻R3上的电流I3″在图示参考方向下应为（

）。（a）I3″=

1.5A（b）

I3″=

0.75A（c）I3″=

0.5A。2.5.5

题图2.5.5所示电路中，已知IS1

=

3A，IS2

=

9A，R1

=

5

Ω，R2

=

4

Ω，R3

=

6

Ω，试用叠加定理求各支路电流。

题图2.5.4题图2.5.51.定理基本内容

任何一个线性有源二端网络，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和一个电阻相串联的结构。其中，电压源的电压等于有源二端网络端口处的开路电压Uoc；串联电阻等于有源二端网络中所有独立电源置零后所得无源二端网络的等效电阻Req。图2-37所示为戴维南定理的图示说明。

2.6.1戴维南定理2.6戴维南定理和诺顿定理图2-37戴维南定理的图示说明将上述电压源Uoc与电阻Req的串联支路称为戴维南等效电路，或称为戴维南电源，如图2-37（b）所示。求戴维南等效电路时，关键是求出电压源电压Uoc和串联电阻Req。其中串联电阻Req在电子电路中，当二端网络视为电源时，常称为输出电阻，用Ro表示；当二端网络视为负载时，则称为输入电阻，用Ri表示。

定理应用：戴维南定理和诺顿定理实际上为我们今后化简结构复杂的有源二端网络又提供了一种新方法。这种方法与之前学习的利用两种电源模型的等效变换进行化简的方法相比较，更加具有普遍性，适用范围更广。图2-37戴维南定理的图示说明

【例2-28】求下图（a）所示有源二端网络的戴维南等效电路。

解：求戴维南等效电路，实际上就是求开路电压Uoc和等效电阻Req。将2A电流源和4Ω电阻的并联等效变换为8V电压源和4Ω电阻的串联，如图（b）所示。由于a、b两点间开路，所以左边回路是一个单回路（串联回路），可求得回路电流为：2.定理在线性电路分析中的应用所以端口处的开路电压为：

等效电阻为：

求得戴维南等效电路如图（d）所示。

【例2-29】电桥电路如下图（a）所示，当R=2Ω和R=20Ω时，求通过电阻R的电流I。

解：本题若用前面学过的支路电流法、节点电压法或网孔电流法列方程联立求解来分析，当电阻R改变时，需要重新列出方程。而用戴维南定理分析就比较方便。

用戴维南定理分析电路中某一支路电流或电压的一般步骤是：（1）把待求支路从电路中断开，则电路的其余部分便是一个有源二端网络；（2）求有源二端网络的戴维南等效电路，即求Uoc和Req；（3）用戴维南等效电路代替原电路中的有源二端网络，求出待求支路电流或电压。

将图（a）电路中待求支路断开，得图（b）所示有源二端网络。求这个有源二端网络的戴维南等效电路。在图（b）中选定支路电流I1、I2参考方向如图所示。所以图（b）中ab端的开路电压Uoc为:

Uoc=Uab=8I1-2I2=8×3-2×6=12V求等效电阻Req，电压源用短路线代替，如图（c）所示。

图（b）所示的有源二端网络的戴维南等效电路如图（d）所示，接上电阻R即可求出电流I。

R=2Ω时，

R=20Ω时，

【例2-30】

下图（a）所示电路中，已知US1

=

18V，IS

=

3A，R1

=

2

Ω，R2

=

6

Ω，R3

=

1

Ω，R4

=

12

Ω，R5

=

4

Ω，US2

=

12V，试用戴维南定理求电阻R3上的电流I3。

解：将待求支路R3断开，得到有源二端网络ab，

如图（b）所示。图（b）中，左、右两边是单回路。选定左、右回路电流I1、I2参考方向如图所示。

求图2-40（b）有源二端网络端口a、b间的开路电压Uoc：

由于I1

=

IS

=

3A，故可得：

Uoc

=

Uab

=

-

I1R1

+

US1-I2R4

=

-

3

×

2

+

18-0.75

×

12

=

3V

将图（b）有源二端网络中电压源用短路线代替，电流源用开路代替，得无源二端网络如图（c）所示，则等效电阻：

求得图（b）有源二端网络的戴维南等效电路如图（d）所示，在等效电路中接上待求支路电阻R3，求得支路电流I3为：◆定理内容：任何一个线性有源二端网络，就端口特性而言，可以等效为一个电流源和一个电阻相并联的形式。其中，电流源的电流等于有源二端网络端口处的短路电流Isc；并联电阻等于有源二端网络中所有独立电源置零后所得无源二端网络的等效电阻Req。图2-41所示为诺顿定理的图示说明。

将上述电流源Isc与电阻Req的并联模型称为诺顿等效电路，如图2-41（b）所示。显然，诺顿等效电路可以利用戴维南等效电路的等效变换得到。在一般情况下，这两个等效电路可以等效互换。2.6.2诺顿定理图2-41诺顿定理的图示说明【例2-31】求下图（a）所示有源二端网络的诺顿等效电路。解：首先求a、b两点间的短路电流Isc，如图（b）所示，选定电流I1、I2参考方向如图所示。根据KCLI1=I2+Isc所以，短路电流Isc=I1–I2=4–2=2A

再求等效电阻Ro，将图（a）中电压源用短路线代替，得无源二端网络ab如图（c）所示。则等效电阻：

求得诺顿等效电路如图（d）所示。

【例2-32】求图1-43（a）所示有源二端网络的戴维南等效电路和诺顿等效电路。二端网络内部有电流控制电流源，且Ic=0.75I1。

解：先求开路电压Uoc。图（a）中，当端口a、b端开路时，有

I2=I1+Ic=1.75I1对网孔1列KVL方程，得:代入I2

=

1.75I1，可以求得I1

=

10mA，而开路电压为:当端口a、b短路时，如图2-43（b）所示，可求得短路电流Isc。此时故得等效电阻:

（a）

（b）

（c）

（d）

对应戴维南等效电路和诺顿等效电路分别如图（c）和图（d）所示。◆两定理参数的测量方法：

以上两定理实践性强。其等效电路中的三个参数Uoc、isc和Req，可以很方便地通过测量而得到。当有源二端网络的等效电阻Req不很大时，开路电压Uoc可以用电压表直接测得，如图（a）所示。短路电流isc可以用电流表直接测得，如图（b）所示。最后，利用Uoc与isc的比值即可求出等效电阻Req。图2-44戴维南-诺顿等效电路中参数的测量方法

需要指出的是，如果有源二端网络的等效电阻Req很小，即

用电流表直接测量时，Isc过大，这样易损坏仪表和设备。这时可以外接一个阻值已知的保护电阻R，再用电流表测得电流Iʹsc，如图2-44（c）所示，最后再通过简单计算得到等效电阻Req。2.6.3戴维南-诺顿定理在电路调试中的应用

实际应用：戴维南—诺顿定理在实际中有着非常重要的应用。实际的电路，其结构和参数往往都是未知的，应用戴维南—诺顿定理可以将这个未知的电路用一个结构、参数都可知的具体的电路去替代，这就给电路的分析、调试带来极大的方便，这是其他电路分析方法难以做到的。

应用举例：一个新的电子产品往往需要调整电路的某些元件参数来改善其电气性能。其电路模型可以抽象为如图2-45（a）所示的结构形式，图2-45（a）中，RL为需要调整参数的元件，当然，根据需要，调试元件也可以是其他的元件。实际中为了便于调试，需要找出元件参数变动时电压和电流变化的规律。为此，将图2-45（a）中除电阻RL之外的其余部分用戴维南—诺顿等效电路来模拟，得到图2-45（b）和图2-45（c）所示电路模型。

图2-45

戴维南—诺顿定理的应用举例

由图（b）和（c）此可以写出电压、电流随RL变化的函数关系式分别为：以上两式是线性电阻电路中，任一电阻元件的电压和电流的一般表达式，由此可以得出电路参数变化对电压、电流的影响作用。例如，对于Req>0的情况，可以得出以下结论：

（1）欲提高电路中任一电阻RL的电压，应增加其电阻值。电压随电阻RL变化的具体规律由式（2-18a）确定，如图2-46（a）所示。可见，当电阻RL由零逐渐增加到无穷大时，电压U将从零逐渐增加到最大值Uoc，且当RL

=

Req时，U

=

0.5Uoc，即电阻电压为开路电压的一半。若要电阻电压大于开路电压，即U>Uoc，则需要调整电路其他元件的参数来提高Uoc。

（2）欲减小电路中任一电阻RL的电流，应增加其电阻值。电流随电阻RL变化的具体规律由式（2-18b）确定，如图2-46（b）所示。可见，当电阻RL由零逐渐增加到无穷大时，电流I将从最大值Isc逐渐减小到零，且当RL

=

Req时，I

=

0.5Isc，即电阻电流为短路电流的一半。若要电阻电流大于短路电流，即I>Isc，则需要调整电路其他元件的参数来提高Isc。图2-46负载上电压、电流的变化曲线

题图2.6.1题图2.6.2复习思考题2.6.1

判断正误：题图2.6.1（a）中，有源二端