1-2 不等关系与不等式性质（要点梳理、类型讲解）

不等关系与不等式性质（知识讲解）【学习目标】1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系.2.掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式➽➼概念的理解与判断➽➼列不等式1．有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；【答案】设乙商品的价格为x元，x+2x-10＞100【分析】设乙商品的价格为x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和超过100元，列不等式即可．解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，由题意得，x+2x-10＞100．即不等式为：x+2x-10＞100．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．举一反三：【变式】用适当的不等式表示下列不等关系：（1）x减去6大于12；（2）x的2倍与5的差是负数；（3）x的3倍与4的和是非负数；（4）y的5倍与9的差不大于；【答案】（1）x-6＞12；（2）2x-5＜0；（3）3x+4≥0；（4）5y-9≤-1．【分析】（1）根据x减去6得出x-6，再根据x减去6大于12得出答案；（2）先表示出x的2倍为2x，再表示出与5的差为2x-5，列出不等式即可；（3）先表示出x的3倍为3x，再表示出与41的和为3x+4，列出不等式即可；（4）先表示出y的5倍是5y，再表示出与9的差5y-9，然后根据不大于-1即为小于等于-1，列出不等式即可．解：（1）由题意可得：x-6＞12；（2）由题意可得：2x-5＜0；（3）由题意可得：3x+4≥0；（4）由题意可得：5y-9≤-1．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．类型二、不等式➽➼不等式的基本性质➽➼性质的理解与判断2．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式．，两边同加上y．，两边同乘．，两边同除以．，两边同加上，再同除以7．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)．【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案；（2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；（3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；（4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案．（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：；（2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘，可得；（3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：；（4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：．【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．举一反三：【变式1】一直关于的不等式两边都除以，得．（1）求的取值范围；（2）试化简．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据不等式的基本性质，得到关于a的不等式，即可求解；（2）根据求绝对值的法则以及a的范围，即可得到答案．解：（1）∵关于的不等式两边都除以得,∴,∴；由（1）得,∴，,∴.【点拨】本题主要考查不等式的性质以及求绝对值的法则，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【变式2】说明：（1）由，得，是如何变形的？依据是什么?（2）由，得的条件是什么？为什么？（3）由，得的条件是什么？为什么？【答案】（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是，当时，理由是当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．【分析】（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得；（2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得；（3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．解：（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是，理由如下：当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．类型三、不等式➽➼运用不等式的基本性质求不等式解集3．根据不等式的性质，把下列不等式化为“”或“”的形式．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）将不等式两边同时减去，再两边同时乘2即可解答；（2）将不等式两边同时除以，即可解答.解：（1）原不等式的两边同时减去，得，不等式的两边同时乘2，得．（2）在原不等式的两边同时除以，不等号的方向改变，即．【点拨】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．灵活运用不等式的性质进行变形是关键.举一反三：【变式1】根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式．（1）；（2）．【答案】（1），（2）．【分析】（1）根据不等式的性质1进行分析．将不等式两边都加上17；（2）根据不等式的性质1进行分析．将不等式两边都加上-2，两边再减去.解：（1）将不等式两边都加上17，得，即．（2）将不等式两边都加上，得．将不等式两边都减去，得．【点拨】本题考查了不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．灵活运用不等式的性质1进行变形是关键.【变式2】指出下列各式成立的条件：由mx＜n，得x＞由a＜b，得m2a＜m2b；由a＞－2，得a2≤－2a.【答案】见分析【分析】（1）根据“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变”进行解答即可；（2）因为m2≥0，所以当m≠0时，不等号的方向不用改变；（3）只有当a为非正数时，不等式才成立.解：(1)当m＜0时，由mx＜n，得x＞；(2)当m≠0时，由a＜b，得m2a＜m2b；(3)当a≤0时，由a＞－2，得a2≤－2a.【点拨】本题考查了解不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．类型四、不等式➽➼运用不等式的基本性质比较大小4．先阅读下面的解题过程，再解题．已知，试比较与的大小．解：因为，①所以，②故.③（1）上述解题过程中，从步骤________开始出现错误；（2）错误的原因是什么？（3）请写出正确的解题过程．【答案】(1)②;(2)见分析;(3)见分析.【分析】（1）由题意a＞b，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；（2）对不等式性质3应用错误；（3）根据不等式3的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．解：（1）②（2）错误地运用了不等式的性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变．（3）因为，所以－2019a＜－2019b，故－2019a＋1＜－2019b＋1.【点拨】此题主要考查不等式的性质3及其应用，是一道比较基础的题．举一反三：【变式1】请先阅读下列材料，再解决问题．例题:已知，求证:证明:因为，又因为，根据不等式基本性质2，得，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得仿照上例，证明下题：已知，求证．【分析】根据材料的证明方法，结合不等式性质，