线性代数课件 第4章 线性方程组 第2节

第四章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra线性方程组线性代数e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次线性方程组的基础解系和通解一、齐次线性方程组解的性质目录/Contents第二节齐次线性方程组及其

基础解系一、齐次线性方程组解的性质为了方便起见,我们运用齐次线性方程组的矩阵形式（4.5）来讨论齐次线性方程组解的性质:

性质1若,是齐次线性方程组（4.5）的两个解,则也是齐次线性方程组（4.5）的解.

证由条件,,,,

所以也是方程组（4.5）的解.

于是有一、齐次线性方程组解的性质性质2若是齐次线性方程组（4.5）的解,l是任意实数,则也是齐次线性方程组（4.5）的解.

若是齐次线性方程组（4.5）的解,是任意实数,则也是齐次线性方程组（4.5）的解.性质3e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齐次线性方程组的基础解系和通解一、齐次线性方程组解的性质目录/Contents第二节齐次线性方程组及其

基础解系二、齐次线性方程组的基础解系和通解定义4.1设V表示齐次线性方程组（4.4）的全体解向量所构成的集合,

是V中的一部分解向量,1.

线性无关;

2.方程组（4.4）式的任意一个解向量均可由

线性表示.

则称

为方程组（4.4）的一个基础解系.

当齐次线性方程组（4.4）的系数矩阵A秩时,方程组（4.4）此时方程组（4.4）不存在基础解系.如果满足:注仅有零解,二、齐次线性方程组的基础解系和通解当时,定理4.3如果齐次线性方程组（4.4）的系数矩阵A的秩,则方程组（4.4）必存在基础解系,且它的任意一个基础解系中的解向量个数为.

方程组（4.4）的基础解系是否存在？若存在，如何求解？证

设系数矩阵A的秩,则A中必有一个r阶子式,不妨设A的左上角的r阶子式,即

,二、齐次线性方程组的基础解系和通解则系数矩阵A经过适当的初等行变换后一定可化为一个行最简形式的矩阵,

.

即二、齐次线性方程组的基础解系和通解于是得到方程组（4.4）的一个同解方程组

,

（4.7）

其中称之为自由未知量（可以任意取值的未知量）,若对它们分别取（共有组）,

二、齐次线性方程组的基础解系和通解则由方程组（4.7）可求得方程组（4.4）的个解

.

二、齐次线性方程组的基础解系和通解下面我们证明就是方程组（4.4）的一个基础解系.

因为所取的个维向量

,

所以它们的加维向量组也线性无关.

线性无关,因而z也是方程组（4.7）的解,

二、齐次线性方程组的基础解系和通解设是方程组（4.4）的任意一个解,因此把代入方程组（4.7）z,得用列向量表示上述结果,

,

即

.

这就说明方程组（4.4）的任意一个解可由解向量线性表示,就是方程组（4.4）的一个基础解系.所二、齐次线性方程组的基础解系和通解有二、齐次线性方程组的基础解系和通解如果是方程组（4.4）的一个基础解系,一解可表示为:

.由于它包含了方程组（4.4）的所有解,所以就称它为方程组（4.4）的通解.

则方程组（4.4）的任其中是任意实数,二、齐次线性方程组的基础解系和通解例7,求下列齐次线性方程组的一个基础解系并写出它的通解.

,

解对系数矩阵A进行初等行变换:

,

二、齐次线性方程组的基础解系和通解于是得到同解方程组,对自由未知量分别取

,代入同解方程组,得

从而得到方程组的一个基础解系,

因此该方程组的通解为

,

（为任意实数）

二、齐次线性方程组的基础解系和通解例8当参数a为何值时,齐次线性方程组

有非零解,并求通解.

解由克莱姆法则,系数行列式,即时,方程组有非零解.

二、齐次线性方程组的基础解系和通解对系数矩阵A进行初等行变换:

于是得到同解方程组,对自由未知量取1,代入同解方程组,得.从而得到方程组的一个基础解系:,因此该方程组的通解为

,（k为任意实数）.

二、齐次线性方程组的基础解系和通解例9设A为矩阵,是A的转置矩阵,证明:.

证

若能证明齐次线性方程组与是同解方程,则根据定理4.3得,即.

显然齐次线性方程组的解也是的解.

设b是的解,则,得,由内积的性质得,所以齐次线性方程组与是同解方程.则.即b是的解.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C28318