江苏省南京市鼓楼实验中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（含解析）

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.将一元二次方程(x−1)2=7化成一般形式，正确的是A.x2−2x+6=0 B.x2−2x−6=0 C.2.若关于x的方程2(x−4)2=m+3有实数根，则m的取值范围是A.m≥0 B.m>−3 C.m≥3 D.m≥−33.有下列说法：(1)三个点确定一个圆；(2)等弧所对的圆心角相等；(3)相等的圆心角所对的弦相等；(4)三角形的内心到三角形三条边的距离相等；(5)外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，且CD=1，则AB的长为(

)A.3

B.6

C.8

D.105.如图，在扇形OAC中，B是AC上一点，且AB、BC分别是⊙O的内接正六边形、内接正五边形的边，则∠B的度数为(

)A.96∘

B.104∘

C.114∘6.若x=29−32，则xA.6 B.−6 C.−4 D.4二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7.若关于x的一元二次方程(a+3)x2+4x+a2−9=0的一个根是08.方程3x(x−2)=x−2的根是

.9.某厂2022年和2024年的利润分别为15300万元与18680万元，设该厂利润的年平均增长率为x，则根据题意可列方程

.10.已知α、β是方程x2−3x−1=0的两个根，则α2+3β=11.如图，AB是半圆O的直径，∠ABD=32∘，点C是BD上一点(不与B，D重合)，则∠DCB=

12.已知⊙O的半径为134，圆心O到某直线的距离为10，则该直线与⊙O的位置关系是

.13.如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，且AD=9，DC与⊙O相切于点C，连接AC，且AC=DC，则BD的长为

.

14.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则该圆锥的侧面积是

cm2

15.如果关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的根分别为−2，1，3，那么a16.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，将AB沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为

.

三、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

用两种方法解一元二次方程：x218.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程ax2+2x−a−2=0(a≠0).

(1)求证：该方程总有实数根；

(2)若方程的两个根分别为x1，x2，则19.(本小题8分)

某公司应用AI技术，制作一款3D打印的“青龙”文创产品，平均每天可以售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，公司采取了降价措施.假设在一定范围内，“青龙”的单价每降1元，公司平均每天可多售出2件.如果降价后公司销售这批“青龙”每天可盈利1250元，那么“青龙”的单价降了多少元？20.(本小题8分)

如图，在⊙O中，两条弦AC与BD相交于点M，且AC=BD，连接MO并延长交AB于点E.求证：

(1)MA=MB；

(2)MO平分∠AMB.21.(本小题8分)

如图，一幅书画在装裱前的尺寸大小是12dm×7dm，装裱后上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上边衬宽度是左边衬宽度的一半.若装裱前的面积是装裱后面积的34，求左边衬的宽度.22.(本小题8分)

如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点.仅用无刻度直尺在网格中完成作图.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)

(1)在图①中，画出△ABC的外心O；

(2)在图②中，画出△ABC的内心P.23.(本小题10分)

如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒.

(1)这个无盖纸盒的长为______cm，宽为______cm；(用含x的式子表示)；

(2)若要制成一个底面积是720cm2的无盖长方体纸盒，求x的值；

(3)当x为______时，该长方体纸盒的容积是2048cm24.(本小题8分)

如图，CD为⊙O的直径，D为△ABC边AB上的中点，且∠ACB=90∘，△ABC的两边CA，CB分别交⊙O于点M，N，过点M作ME⊥AB，垂足为E.

(1)判断直线ME与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若OC=2.5，AM=4，则AE的长为______.25.(本小题10分)

阅读材料；

①用配方法分解因式：a2+6a+8.

解：原式=a2+6a+9−1=(a+3)2−1=(a+3+1)(a+3−1)=(a+4)(a+2).

②已知M=a2−2a−1，利用配方法求M的最小值.

解：M=a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1)2−2，

∵(a−1)2≥0，∴(a−1)2−2≥−2，答案和解析1.【答案】B

【解析】解：(x−1)2=7，

x2−2x+1=7，

x2−2x+1−7=0，

x22.【答案】D

【解析】解：∵关于x的方程2(x−4)2=m+3有实数根，

∴m+3≥0，

解得：m≥−3，

故选：D.

根据偶次方的非负性解答即可．

3.【答案】C

【解析】解：(1)不在同一直线上的三个点确定一个圆，故本小题说法错误；

(2)等弧所对的圆心角相等，说法正确；

(3)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本小题说法错误；

(4)三角形的内心到三角形三条边的距离相等，说法正确；

(5)外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，说法正确；

则正确的有3个，

故选：C.

根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、三角形的内心的定义、三角形的外心的定义判断即可．

本题考查的是确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、三角形的内心的定义、三角形的外心的定义，掌握相关的定理、定义是解题的关键．4.【答案】B

【解析】解：连接OA，

∵OC⊥AB，

∴AB=2AD，

∵OC=5，CD=1，

∴OD=OC−CD=4，

∴AD=OA2−OD2=52−42=3，

∴AB=2AD=2×3=6.

故选：B.

连接OA，由垂径定理得到5.【答案】C

【解析】解：连接OB，

∵AB、BC分别是⊙O的内接正六边形、内接正五边形的边，

∴∠AOB=360∘÷6=60∘，∠BOC=360∘÷5=72∘，

∵OA=OB，OB=OC，

∴∠OBA=∠OAB=60∘，∠OBC=∠OCB=54∘，

∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=114∘，6.【答案】D

【解析】解：原式变形为：2x+3=29.

两边同时平方可得：(2x+3)2=(29)2，即4x2+12x+9=29，即4x2+12x−20=0，

两边同时除以4得：x2+3x−5=0，即x2+3x=5；7.【答案】−3

【解析】解：把x=0代入一元二次方程(a+3)x2+4x+a2−9=0得a2−9=0，

解得a1=3，a2=−3，

∵a+3≠0，

∴a=−3.

故答案为：−3.8.【答案】x1=2，【解析】解：3x(x−2)=x−2，

3x(x−2)−(x−2)=0，

(x−2)(3x−1)=0，

x−2=0或3x−1=0，

所以x1=2，x2=13.

故答案为：x1=2，x2=13.

9.【答案】15300(1+x)【解析】解：根据题意得：15300(1+x)2=18680.

故答案为：15300(1+x)2=18680.

利用该厂2024年的利润=该厂2022年的利润×(1+该厂利润的年平均增长率10.【答案】10

【解析】解：由条件可知α2−3α−1=0，

∴α2=3α+1，

∴α2+3β=3α+3β+1，

∴α2+3β=3α+3β+1=3×3+1=10，

故答案为：11.【答案】122

【解析】解：∵AB是直径，

∴∠ADB=90∘，

∵∠ABD=32∘，

∴∠DAB=58∘，

由题可知四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠DCB=180∘−DAB=122∘；

故答案为：12.【答案】相交

【解析】解：∵(134)2=16916=10916，(10)2=10，10916>10，

∴13.【答案】3

【解析】解：连接OC、BC，

∵AC=DC，

∴∠A=∠D，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90∘，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90∘，

∴∠ACO=∠BCD=90∘−∠OCB，

∴∠A=∠ACO=∠BCD=∠D，

∴BC=BD，∠ABC=2∠D=2∠A，

∴∠A+∠ABC=3∠A=90∘，

∴∠A=30∘，∠ABC=60∘，

∴△OBC为等边三角形，

∴OB=BC=BD=OA，

∵AD=9，

∴3BD=9，

∴BD=3；

故答案为：3.

由题易得14.【答案】60π

【解析】【分析】

此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．首先根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．

【解答】

解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm.

∴BC=82+62=10(cm)，15.【答案】−2

【解析】解：x3+ax2+bx+c=0的根分别为−2，1，3，

代入得−8+4a−2b+c=01+a+b+c=027+9a+3b+c=0，

解得a=−2.16.【答案】2【解析】解：连接BD，作BE⊥AC于点E，则∠AEB=∠BEC=90∘，

∵将AB沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，

∴∠BAD=∠BAC，

∵BD与BC所对的圆周角相等，

∴BD=BC，

∴BD=BC，

∴DE=CE，

∵AB=AC=4，

∴AD=CD=12AC=2，

∴DE=CE=12CD=1，

∴AE=AD+DE=3，

∴BE=AB2−AE242−32=7，

∴BC=BE2+CE2=(7)2+17.【答案】x1=1，【解析】解：法一，

x2−4x+3=0，

(x−1)(x−3)=0，

则x−1=0或x−3=0，

所以x1=1，x2=3；

法二，

x2−4x+3=0，

x2−4x+4=−3+4，

(x−2)2=1，

则x−2=±1，18.【答案】：∵Δ=22−4a(−a−2)

=4a2+8a+4

=4(a+1)【解析】(1)证明：∵Δ=22−4a(−a−2)

=4a2+8a+4

=4(a+1)2≥0，

∴该方程总有实数根；

(2)解：根据根与系数的关系得x1+x2=−2a，x1x2=−a−2a，

(x1−1)(x2−1)=x1x19.【答案】“青龙”的单价降了15元．

【解析】解：设“青龙”的单价降了x元，则公司平均每天售出(20+2x)件，

由题意得：(40−x)(20+2x)=1250，

整理得：x2−30x+225=0，

解得：x1=x2=15，

答：“青龙”的单价降了15元．

设“青龙”的单价降了x20.【答案】证明见解析．

【解析】证明：(1)∵AC=BD，

∴AC=BD，

∴AD=BC，

∴∠A=∠B，

∴MA=MB；

(2)过点O作OF⊥AC于点F，ON⊥BD于点N，

∴AF=12AC，BN=12BD，

∵AC=BD，

∴AF=BN，

∵MA=MB，

∴MF=MN，

在Rt△MFO和Rt△MNO中，

OM=OMMF=MN，

∴Rt△MFO≌Rt△MNO(HL)，

∴∠AME=∠BME，

∴MO平分∠AMB.

(1)根据等弧所对的圆周角相等证得∠A=∠B，进而证得结论；

(2)过点O作OF⊥AC于点21.【答案】左边衬的宽度为1dm.

【解析】解：设左边衬的宽度为xdm，则上边衬的等宽为12xdm，

根据题意得：(12+2x)(7+2×12x)×34=12×7，

整理得：x2+13x−14=0，

解得：x1=−14(不符合题意，舍去)，x2=122.【答案】如图①中，点O即为所求；

如图②中，点P即为所求

【解析】(1)如图①中，点O即为所求；

(2)如图②中，点P即为所求．

(1)线段AB的垂直平分线与AC的交点O即为所求；

(2)取格点E，F，作射线CE，BF交于点P，点P即为所求．

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】(40−2x)，(24−2x)；

x=2；

4cm

【解析】(1)用一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，制成一个无盖纸盒，这个无盖纸盒的长为(40−2x)cm，宽为(24−3x)cm，

故答案为：(40−2x)，(24−2x)；

(2)由题意得，(40−2x)(24−2x)=720，

解得x1=2，x2=30(舍去)，

所以x=2；

(3)这个长方体的纸盒的长(40−2x)cm，宽为(24−2x)cm，高为xcm，由题意得，

x(40−2x)(24−2x)=2048，

解得x=4，

故答案为：4cm.

(1)根据长方体表面展开图的特征得出答案即可；

(2)根据底面积的计算方法列方程求解即可；

24.【答案】直线ME与⊙O相切；

理由：在Rt△ACB中，D是斜边AB中点，

∴CD=12AB=AD，

∵CD是直径，

∴∠CMD=90∘，即DM⊥AC，

∴M是AC中点，

∵O是CD中点，

∴OM是△CAD的中位线，

∴OM//AD，

∵ME⊥AD，

∴OM⊥ME，

∵OM为半径，

∴直线ME与⊙O【解析】(1)直线ME与⊙O相切；

理由：在Rt△ACB中，D是斜边AB中点，

∴CD=12AB=AD，

∵CD是直径，

∴∠CMD=90∘，即DM⊥AC，

∴M是AC中点，

∵O是CD中点，

∴OM是△CAD的中位线，

∴OM//AD，

∵ME⊥AD，

∴OM⊥ME，

∵OM为半径，

∴直线ME与⊙O相切；

(2)∵OC=2.5，AM=4，

∴CD=5，AC=8，

∴AB=2CD=10，

∵∠A=∠A，∠AEM=∠ACB=90∘，

∴△AEM∽△ACB，