重庆市沙坪坝区凤鸣山中学教共体2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（含答案）

2025-2026学年重庆市沙坪坝区凤鸣山中学教共体九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列实数是无理数的是(

)A.π B.3.14 C.−2 D.2.4的算术平方根等于A.2 B.±2 C.−2 D.3.如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE=60∘，则∠CAF的度数为(

)A.35∘

B.30∘

C.59∘4.下列计算的结果正确的是(

)A.a3+a3=a6 B.A.有理数和数轴上的点是一一对应的

B.任意一个无理数的绝对值都是正数

C.负数没有立方根

D.一个无理数乘以一个有理数结果一定是无理数6.估计29−1的值在(

)A.3到4之间 B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间7.若x+y=3，xy=1，则代数式(3−x)(3−y)的值(

)A.−1 B.1 C.2 D.38.下列图形都是由大小相同的圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有14个圆，第④个图形中有23个圆，…，按此规律排列下去，则第⑨个图形中圆的个数是(

)

A.77 B.79 C.96 D.989.在△ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△BDE的面积为2，△ABC的面积为18，则△CFD的面积为(

)A.6

B.8

C.9

D.1210.定义：关于x的两个多项式A、B，若满足3A+2B=5x，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”.例如：若A=x2+x+2，B=−32x2+x−3，则3A+2B=3(x2+x+2)+2(−32x2+x−3)=3x2+3x+6−3x2+2x−6=5x，所以多项式x2+x+2与−32x2+x−3是关于x的凤鸣多项式.

根据上述定义，判断以下结论的正确性：

①若A=2−x，B=4x−3，则A与B是关于x的凤鸣多项式.

②若A=x+3，B=2x−1，C=−3x2−10x+92A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题：本题共6小题，共28分。11.已知一个正数x的两个平方根分别为2m−8和m−10，则m为

.12.一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是______.13.若(x−a)(x2−2x+b)的结果不含关于x的一次项和二次项，则a+b的值为

14.如图，在△ABC中，∠CAB的角平分线AD与∠CBA的角平分线BD交于点D，过D点作AB的平行线分别交AC、BC于点M、N，若△ABC与△CMN的周长分别为22、14，则AB的长为

.

15.已知关于x的方程5+kx3=x−26+1的解是整数.且k是正整数，则满足条件的所有k16.若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“群凤数”.一个“群凤数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P(m).例如，“群凤数”m=2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213=798，798÷3=266，所以P(2135)=266，请计算：P(1234)=

；“群凤数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P(n)能被13整除，则n的值为

.三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

求下列各式中x的值：

(1)(x+5)2−36=0；18.(本小题9分)

计算：

(1)(−1)3+|π−3|+1619.(本小题9分)

如图，在△ABC中，点D为线段AB上一点.

(1)用尺规完成以下基本作图：在AD上方作∠ADE=∠B交AC于点E，在BC延长线取一点F，使BF=AD，连接DF；

(2)在(1)所作的图形中，若∠ACF=∠ADF，AB=6，DF=4，求△ADE的周长.

解：∵∠ACF=∠B+∠A，∠ADF=∠B+∠BFD，

∵∠ACF=∠ADF，

∴∠B+∠A=∠B+∠BFD，

∴①______，

在△ADE和△FBD中，

{∠A=∠BFD②()∠ADE=∠B

∴△ADE≌△FBD(ASA)，

∴AE=FD，③______，

∵AB=6，DF=4，

∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+DF=20.(本小题9分)

先化简，再求值：(2x2+y)(x−3y)−x(221.(本小题9分)

如图，AE为△ABC中的角平分线，∠ACB=3∠B，AC=AE，延长AE至F，连接CF.

(1)求∠BAC的度数；

(2)若∠ECF=2∠F，求证：AB=AF.22.(本小题9分)

(1)已知2a−1的算术平方根是3，3b=−2，求ab+49的平方根.

(2)已知3x−y=3，求82x÷23.(本小题9分)

受高温影响，重庆多地暑假突发山火.“山火无情人有情”，多家企业及学校积极履行社会责任，主动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰，同时，他们组织捐赠油锯和水基灭火器共1.5万个，总价值450万元.已知油锯的售价为每个400元，水基灭火器的售价为每个250元.请完成下列问题：

(1)本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？

(2)某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油锯的售价降低了m%，水基灭火器的售价降低了56m%，最终该企业捐赠的这批物资总价为53800元，请求出m的值.24.(本小题9分)

在△ABC中，AB=BC=AC=6cm，现有两点M、N分别沿三角形的边同时运动，已知点M从A点出发，速度为每秒1cm，沿A−C−B的方向运动，点N从B点出发，速度为每秒2cm，沿B−A−C−B的方向运动.M、N各自到达终点停止运动.

(1)求点M、N第一次相遇的时间？

(2)当点M、N运动过程中，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间.25.(本小题9分)

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点E为AC上一点，连接BE，过点C作CD⊥BE，交BE延长线于点D，连接AD，过点A作AG⊥AD交BE于点G.

(1)求证：△ABG≌△ACD；

(2)如图2，连接CG，取CG中点H，连接AH，求证：BD=2AH；

(3)如图3，将△ABE沿BE折叠至△A′BE，连接CA′，将CA′绕点C逆时针旋转45∘至CM，连接AM交A′B所在直线于点F，当AM取得最小值时，直接写出∠A′FM的度数.答案和解析1.【答案】A

【解析】解：π是无理数；

3.14是分数，属于有理数；

−2，9=3，是整数，属于有理数；

故选：A.

根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，进行判断即可．2.【答案】D

【解析】解：∵4=2，

∴4的算术平方根是2.

故选：D.

根据算术平方根的定义可知4=2，3.【答案】B

【解析】解：∵△ABC≌△DEC，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACF=∠BCE=60∘，

∵AF⊥CD，

∴∠AFC=90∘，

∴∠CAF=90∘−60∘=30∘.

4.【答案】C

【解析】解：A、原式=2a3，原选项计算错误不符合题意；

B、原式=a5，原选项计算错误不符合题意；

C、原式=−a6b3，原选项计算正确，符合题意；

D、原式=5.【答案】B

6.【答案】B

【解析】解：∵25<29<36，

∴5<29<6，

∴4<29−1<5，

∴估计29−1的值在7.【答案】B

【解析】解：原式=9−3y−3x+xy=9−3(x+y)+xy，

∵x+y=3，xy=1，

∴9−3(x+y)+xy=9−3×3+1=1.

故选：B.

将(3−x)(3−y)展开并整理为含x+y，xy的形式，再利用整体代入计算即可．

本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．8.【答案】D

【解析】解：由所给图形可知，

第①个图形中圆的个数为：2=1×2+0×2；

第②个图形中圆的个数为：7=2×2+1×3；

第③个图形中圆的个数为：14=3×2+2×4；

…，

所以第n个图形中圆的个数为：2n+(n−1)(n+1)=n2+2n−1；

当n=9时，

n2+2n−1=92+2×9−1=98(个)，

即第⑨个图形中圆的个数为989.【答案】B

【解析】解：∵∠1=∠ABE+∠BAE，∠2=∠CAF+∠ACF，∠1=∠2=∠BAC，∠BAC=∠BAE+∠CAF，

∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF，

又∵AB=AC，

在△ABE与△CAF中，

∠ABE=∠CAFAB=AC∠BAE=∠ACF，

∴△ABE≌△CAF(ASA)，

∴S△ABE=S△CAF，

∵CD=2BD，

∴BD=13BC，CD=23BC，

又△ABC的面积为18，

∴S△ABD=13×18=6，S△ACD=23×18=12，

∵△BDE的面积为2，

∴S△ABE10.【答案】C

【解析】解：关于x的两个多项式A、B，若满足3A+2B=5x，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．则：

①∵A=2−x，B=4x−3，

3A+2B=3(2−x)+2(4x−3)

=6−3x+8x−6

=5x，

∴A与B是关于x的凤鸣多项式，故①正确；

②∵A=x+3，B=2x−1，C=−3x2−10x+92，

∴A⋅B=(x+3)(2x−1)=2x2+5x−3，

则3A⋅B+2C=3(2x2+5x−3)+2(−3x2−10x+92)

=6x2+15x−9−6x2−20x+9

=−5x，

∴3A⋅B+2C≠5x，不满足定义，

则A⋅B与C不是关于x的凤鸣多项式，故②错误；

③∵A与B是关于x的凤鸣多项式，

∴3A+2B=5x，

∴A=13(5x−2B)，

∵B=−3x2+x+32m2(m是正整数)，

∴A=13[5x−2(−3x2+x+32m2)]，

=13(6x2+3x−3m2)，

=2x2+x−m2，11.【答案】6

【解析】解：利用正数的两个平方根互为相反数的性质可得：

2m−8+m−10=0，

解得：m=6，

故答案为：6.

利用正数的两个平方根互为相反数的性质即可解答．

本题主要考查平方根，熟练掌握该知识点是关键．12.【答案】17

【解析】解：(1)若3为腰长，7为底边长，

由于3+3<7，则三角形不存在；

(2)若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．

所以这个三角形的周长为7+7+3=17.

故答案为：17.

求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．13.【答案】2

【解析】解：原式=x3−2x2+bx−ax2+2ax−ab=x3−(a+2)x2+(2a+b)x−ab，

∵(x−a)(x2−2x+b)的结果不含关于x的一次项和二次项，

∴−(a+2)=0，2a+b=0，14.【答案】8

【解析】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠MAD=∠BAD，

∵MN//AB，

∴∠MDA=∠BAD，

∴∠MAD=∠MDA，

∴AM=MD，

同理得：BN=DN，

∴△CMN的周长=CM+CN+MD+DN=CM+CN+AM+BN=AC+BC=14，

∵△ABC的周长=AC+BC+AB=22，

∴AB=22−14=8，

故答案为：8.

由角平分线定义得到∠MAD=∠BAD，由平行线的性质推出∠MDA=∠BAD，因此∠MAD=∠MDA，判定AM=MD，同理：BN=DN，得到△CMN的周长=AC+BC=14，而△ABC的周长=22，即可求出AB的长．

本题考查等腰三角形的判定，掌握其相关性质是解题的关键．15.【答案】3

【解析】解：5+kx3=x−26+1，

解得：x=−62k−1，

∵方程的解为整数，且k是正整数，

∴2k−1是−6的因数，

∵−6的因数有：±1，±2，±3，±6，

当2k−1=1时，k=1(正整数，符合)，

当2k−1=−1时，k=0(不是正整数，舍去)，

当2k−1=2时，k=1.5(不是正整数，舍去)，

当2k−1=−2时，k=−0.5(不是正整数，舍去)，

当2k−1=3时，k=2(正整数，符合)，

当2k−1=−3时，k=−1(不是正整数，舍去)，

当2k−1=6时，k=3.5(不是正整数，舍去)，

当2k−1=−6时，k=−2.5(不是正整数，舍去)，

∴所有k值的和为1+2=3，

故答案为：3，

根据一元一次的方程先解出x，根据题意可得2k−116.【答案】2054648

【解析】解：①由“群凤数”m=2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213=798，798÷3=266，所以P(2135)=266，可得：

P(1234)去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为123，124，134，234，

这四个三位数之和为123+124+134+234=615，

615÷3=205，

∴P(1234)=205；

②设千位数字为x，则百位为x+2，

设十位数字为y，则个位数字为2y，

由题意可得：1≤x≤7，1≤y≤4，x+2≠y，x≠2y，

n去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：

100(x+2)+10y+2y，100x+10y+2y，100x+10(x+2)+2y，100x+10(x+2)+y，

这四个三位数之和为：100(x+2)+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10(x+2)+2y+100x+10(x+2)+y=420x+27y+240，

∴P(n)=420x+27y+2403=140x+9y+80=13(10x+6)+10x+9y+2，

∵P(n)能被13整除，

∴10x+9y+2能被13整除，

当y=1时，10x+9y+2=10x+11，x≠2，

当x=8时，10x+9y+2能被13整除，

∵1≤x≤7，

∴不符合题意；

当y=2时，10x+9y+2=10x+20，x≠4，不存在x使10x+9y+2被13整除；

当y=3时，10x+9y+2=10x+29，x≠6，

∵x+2≠y，

∴x≠1，

∴不存在x使10x+9y+2能被13整除；

当y=4时，10x+9y+2=10x+38，存在x=4使10x+9y+2被13整除，此时n=4648.

故答案为：4648.

根据“群凤数”的定义直接求出P(1234)的值；设“群凤数”千位数字为x，则百位为x+2，设十位数字为y，则个位数字为2y，计算得到x、y的范围，再得到P(n)=140x+9y+80，结合能被13整除，再结合x、y17.【答案】x=1或x=−11；

x=−1【解析】(1)(x+5)2−36=0，

(x+5)2=36，

x+5=±6，

x=±6−5，

解得：x=1，或x=−11；

(2)32×92x+1=27，

32×32(2x+1)=33，18.【答案】π−3；

−7【解析】(1)(−1)3+|π−3|+16+3−27

=−1+π−3+4+(−3)

=π−3；

(2)原式=−a319.【答案】见解答．

①∠A=∠BFD；②BF=AD；③DE=BD；④AB.

【解析】解：(1)如图所示．

(2)∵∠ACF=∠B+∠A，∠ADF=∠B+∠BFD，

∵∠ACF=∠ADF，

∴∠B+∠A=∠B+∠BFD，

∴∠A=∠BFD.

在△ADE和△FBD中，

∠A=∠BFDBF=AD∠ADE=∠B，

∴△ADE≌△FBD(ASA)，

∴AE=FD，DE=BD，

∵AB=6，DF=4，

∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+DF=AB+DF=6+4=10.

故答案为：①∠A=∠BFD；②BF=AD；③DE=BD；④AB.

(1)根据作一个角等于已知角的方法作出∠ADE即可；延长BC，以点B为圆心，AD的长为半径画弧，交BC的延长线于点F，连接DF即可．

(2)根据全等三角形的判定与性质填空即可．

本题考查作图-20.【答案】−7x2y+4xy−3【解析】解：原式=2x3−6x2y+xy−3y2−(2x3+x2y−3xy)

=2x3−6x2y+xy−3y2−2x3−x2y+3xy

=−7x2y+4xy−3y2，

∵21.【答案】(1)解：∵AC=AE，

∴∠ACB=∠AEC，

∵∠ACB=3∠B，

∴∠AEC=3∠B，

∵∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠BAE=2∠B，

∵AE为△ABC中的角平分线，

∴∠BAC=2∠BAE=4∠B，

∵∠B+∠BAC+∠ACB=180∘，

∴∠B+4∠B+3∠B=180∘，

∴∠B=22.5∘，

∴∠BAC=90∘；

(2)证明：∵∠AEC=∠F+∠ECF=3∠B=67.5∘，∠ECF=2∠F，

∴∠F=22.5∘=∠B，

∵AE为△ABC中的角平分线，

∴∠BAE=∠FAC，

在△ABE和【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠AEC，根据三角形外角性质及三角形角平分线定义求出∠BAC=4∠B，再根据三角形内角和定理求解即可；

(2)根据三角形外角性质求出∠F=22.5∘=∠B，利用AAS证明△ABE≌△AFC22.【答案】±3；

8

【解析】(1)∵2a−1的算术平方根是3，

∴2a−1=9，

解得：a=5，

∵3b=−2，

∴b=−8，

∴ab+49=5×(−8)+49=9，

∴ab+49的平方根为±3；

(2)原式=23(2x)÷22y÷23

=26x−2y−3

=22(3x−y)−3，

∵3x−y=3，

23.【答案】本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为0.5万个，1万个；

m=20

【解析】(1)设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，

由题意得x+y=1.5400x+250y=450，

解得x=0.5y=1，

答：本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为0.5万个，1万个；

(2)由题意得90×400(1−m%)+120×250(1−56m%)=53800，

36000(1−m%)+30000×16m%=53800，

∴36000−360m+30000−250m=53800，

解得m=20.

(1)设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，然后根据油锯和水基灭火器共1.5万个，总价值450万元列出方程组求解即可；

24.【答案】6；

能得到，2或8

【解析】(1)设M、N运动x秒后，M、N两点重合，

则x+6=2x，

解得x=6，

答：点M、N第一次相遇的时间是6秒．

(2)设M、N运动t秒后，可得到以MN为底边得等腰三角形AMN

当点M在AC上，点N在AB上时，如图1：

AM=t，AN=6−2t，

当AM=AN时，△AMN是等边三角形，

∴t=6−2t，

解得：t=2，

当点M，N在BC边上运动时，如图2，

由(1)知6秒时M，N两点重合，恰好在C处，

∴AM=AN，

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中

∠AMC=∠ANB∠C=∠BAC=AB，

∴△ACM≌△ABN(AAS)，

∴CM=BN，

∴t−6=18−2t，

解得：t=8，

综上，当M，N运动2秒或者8秒是，能得到以MN为底的等腰三角形．

(1)根据行程追及问题，设运动时间，利用N比M多走AB的长度列方程求解第一次相遇时间；

(2)分M、N在不同边上的情况，依据等腰三角形AM=AN的性质，结合等边三角形特点列方程求解．

本题考查等边三角形的性质、行程问题中的相遇关系以及等腰三角形的性质，解题关键是根据路程差或等腰三角形两腰相等的性质，分情况建立方程求解．25.【答案】∵AG⊥AD，

∴∠DAG=90∘，

∵∠BAC=90∘，

∴∠DAG=∠BAC=90∘，

∴∠BAG+∠CAG=∠CAD+∠CAG=90∘，

∴∠BAG=∠CAD，

∵CD⊥BE，

∴∠BAE=∠CDE=90∘，

又∵∠AEB=∠CED，

∴∠ABE=∠DCE，

即∠ABG=∠ACD，

在△ABG与△ACD中，

∠ABG=∠ACDAB=AC∠BAG=∠CAD，

∴△ABG≌△ACD(ASA)；

∵CG中点是H，

∴GH=CH，

在△AGH与△KCH中，

GH=CH∠AHG=∠KHCAH=KH，

∴△AGH≌△KCH(SAS)，

∴AG=CK，∠GAH=∠CKH，

∴AG//CK，

∴∠GAC+∠ACK=180∘，

∵∠DAG=∠BAC=90∘，

∴∠DAG+∠BAC=180∘，

即∠GAC+∠DAC+∠BAC=180∘，

即∠GAC+∠BAD=180∘，

∴∠ACK=∠BAD，

∵AG=AD，

∴CK=AD，

【解析】(1)证明：∵AG⊥AD，

∴∠DAG=90∘，

∵∠BAC=90∘，

∴∠DAG=∠BAC=90∘，

∴∠BAG+∠CAG=∠CAD+∠CAG=90∘，

∴∠BAG=∠CAD，

∵CD⊥BE，

∴∠BAE=∠CDE=90∘，

∵∠AEB=∠CED，

∴∠ABE=∠DCE，

即∠ABG=∠ACD，

在△ABG与