能力提升精练课件：2 第2课时 矩形的判定

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定能力提升精练1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E,F分别是AC,BC的中点,D是斜边AB上一点,则添加下列条件可以使四边形DECF是矩形的是(

)A.∠ACD=∠BCD B.AD=BDC.CD⊥AB D.CD=AC【解析】B项,∵E,F分别是AC,BC的中点,AD=BD,∴DE,DF是△ABC的中位线,∴ED∥BC,DF∥AC,∴四边形DECF是平行四边形,∵∠ACB=90°,∴平行四边形DECF是矩形.故选B.2.[2021湖北襄阳襄城区模拟]平行四边形的四个内角的平分线,如果能围成一个四边形,那么这个四边形一定是(

)A.矩形 B.菱形C.正方形 D.等腰梯形

3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是

.

4.易错题

[2020北京房山区期末]在四边形ABCD中,给出以下四个条件:①AB∥CD;②AD=BC;③AC=BD;④∠CDA=∠ABC.从中选取三个条件,可以判定四边形ABCD为矩形,则可以选择的条件序号是

.

【解析】选择①③④.如图,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∵∠ABC=∠CDA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),∴∠ACB=∠CAD,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.选择②③④.∵AD=BC,AC=BD,DC=CD,∴△ADC≌△BCD,∴∠CDA=∠DCB.同理可证△ABC≌△BAD,∴∠ABC=∠BAD,又∵∠CDA=∠ABC,∴∠CDA=∠DCB=∠ABC=∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形.①③④或②③④

5.[2020北京海淀区期末]如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线.以A为圆心,BD长为半径作弧,再以D为圆心,AB长为半径作弧,两弧在直线AD的右侧交于点E.连接AE,CE.(1)依题意补全图形;(2)求证:四边形ADCE是矩形.【解析】

(1)依题意补全图形如图1所示.(2)解法一

如图2,连接DE.由题意可知AE=BD,DE=AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BC.∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD,∴AE=CD,又∵AE∥DC,∴四边形ADCE是平行四边形.∵AB=AC,∴DE=AC,∴四边形ADCE是矩形.解法二

四边形ADCE是平行四边形的证法同解法一.∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.5.[2020北京海淀区期末]如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线.以A为圆心,BD长为半径作弧,再以D为圆心,AB长为半径作弧,两弧在直线AD的右侧交于点E.连接AE,CE.(1)依题意补全图形;(2)求证:四边形ADCE是矩形.6.[2020湖北鄂州中考]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M,N分别为OA,OC的中点,延长BM至点E,使EM=BM,连接DE,DN.(1)求证:△AMB≌△CND.(2)若BD=2AB,且AB=5,DN=4,求四边形DEMN的面积.【解析】

(1)∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,∴AO=CO,又∵点M,N分别为OA,OC的中点,∴AM=CN.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAM=∠DCN,∴△AMB≌△CND(SAS).(2)∵△AMB≌△CND,∴BM=DN,∠ABM=∠CDN,又∵BM=EM,∴DN=EM.∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,

7.[2021广东梅州期末]如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为ts,0≤t≤5.(1)AE=

cm,EF=

cm.(用含t的式子表示)

(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.(3)在(2)条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形.

①当0≤t≤2.5时,EF=(5-2t)cm,即5-2t=4,解得t=0.5.②当2.5<t≤5时,EF=(2t-5)cm,即2t-5=4,解得t=4.5.∴当t=0.5或4.5时,四边形EGFH为矩形.8.[2020江苏南京秦淮区期中]如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动,点Q以4cm/s的速度从点C出发,在B,C两点之间做往返运动,两点同时出发,点P到达点D时,两点同时停止运动.这段时间内,当运动时间为

时,以P,Q,C,D四点为顶点的四边形是矩形.

【解析】

根据题意可知,点Q将在BC上往返两次.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.当CQ=PD时,四边形PQCD是矩形.①在点Q第一次由点C到点B的运动过程中,设运动时间为t1s,则PA=t1cm,PD=(12-t1)cm,CQ=4t1cm,∴12-t1=4t1,解得t1=2.4;②在点Q第一次由点B到点C的运动过程中,设运动时间为t2s,则PA=t2

cm,PD=(12-t2)cm,CQ=(24-4t2)cm,∴12-t2=24-4t2,解得t2=4;8.[2020江苏南京秦淮区期中]如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动,点Q以4cm/s的速度从点C出发,在B,C两点之间做往返运动,两点同时出发,点P到达点D时,两点同时停止运动.这段时间内,当运动时间为

时,以P,Q,C,D四点为顶点的四边形是矩形.

【解析】

③在点Q第二次由点C到点B的运动过程中,设运动时间为t3s,则PA=t3

cm,PD=(12-t3)cm,CQ=(4t3-24)cm,∴12-t3=4t3-24,解得t3=7.2;④在点Q第二次由点B到点C的运动过程中,设运动时间为t4s,则PA=t4

cm,PD=