专题训练（八） 巧添平行线的四种类型

专题训练(八)巧添平行线的四种类型►类型一添加平行线解决内凹“M”字形问题1．如图1，AB∥CD，∠A＝20°，∠C＝30°，求∠APC的度数．图12．如图2所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并证明．图23．小明到工厂进行社会实践活动时，发现工厂生产了一种如图3所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A＝40°，∠AEC＝70°，小明马上运用已学的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你知道小明是怎样求∠C的度数的吗？图3►类型二添加平行线解决外凸“M”字形问题4．如图4，已知AB∥CD.(1)如图①，说明∠B，∠D，∠E之间的数量关系；(2)将图①改成图②，∠B，∠D，∠E1，∠E2之间又有何种数量关系？(3)将图②改成图③，则∠B＋∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En－1＋∠D等于多少度？图4►类型三添加平行线解决外错“Z”字形问题5．如图5，AB∥EF，BC⊥CD，∠E＝22°.求∠B和∠CDE的度数和，并说明理由．图56．如图6，已知AB∥CD，∠α＝150°，∠β＝80°，求∠γ的度数．图6

详解详析1．解：如图，过点P作PE∥AB，∴∠1＝∠A＝20°.∵AB∥CD，∴PE∥CD.∴∠2＝∠C＝30°.∴∠APC＝∠1＋∠2＝20°＋30°＝50°.2．解：AB∥ED.证明：如图，过点C作CF∥AB.∵∠B＝25°，∴∠BCF＝∠B＝25°.∴∠DCF＝∠BCD－∠BCF＝42°.又∵∠D＝42°，∴∠DCF＝∠D.∴CF∥ED.∴AB∥ED.3．解：如图，过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠FEA＝∠A＝40°，∠C＝∠FEC.∵∠AEC＝70°，∴∠FEC＝∠AEC－∠FEA＝70°－40°＝30°.∴∠C＝30°.4．解：(1)如图①，过点E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠B＋∠1＝180°，∠D＋∠2＝180°.∴∠B＋∠1＋∠D＋∠2＝360°，即∠B＋∠D＋∠BED＝360°.(2)如图②，分别过点E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，则AB∥E1F∥E2G∥CD，∴∠1＋∠B＝∠2＋∠3＝∠4＋∠D＝180°.∴∠1＋∠B＋∠2＋∠3＋∠4＋∠D＝540°.即∠B＋∠D＋∠BE1E2＋∠E1E2D＝540°.(3)由(1)(2)知，拐点的个数n与角的和之间的关系是(n＋1)·180°，∴∠B＋∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En－1＋∠D＝(n－1＋1)·180°＝180°n.5．解：∠B＋∠CDE＝112°.理由如下：如图，分别过点C，D作AB的平行线CM和DN.因为AB∥EF，所以AB∥CM∥DN∥EF.所以∠B＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠E.所以∠B＋∠CDE＝∠BCM＋∠NDC＋∠NDE＝∠BCM＋∠MCD＋∠E.因为BC⊥CD，所以∠BCD＝90°.所以∠B＋∠CDE＝90°＋∠E.因为∠E＝22°，所以∠B＋∠CDE＝112°.6．解：如图，过点E作EF∥AB.∵∠α＝150°，∴∠AEF＝180°－∠α＝180°－150°＝30°