2025北京西城区高二（下）期末数学试题及答案

高中高中2025北京西城高二（下）期末数学2025.7本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.已知在等差数列中，，，则公差的值为（）A.2 B. C. D.33.小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（）A. B. C. D.4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（）A.1 B.2 C.3 D.45.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（）A. B.C. D.6.已知等差数列满足，且是和的等比中项，则（）A.6 B.8 C.6或8 D.107.某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为，合格品率为，次品率为，现从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为（）A. B. C. D.8.若函数的两个极值点分别为，则的值为（）A.2 B. C. D.39.若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数，则的定义域是_____，_____.12.已知等差数列的前项和为，，则_____.13.已知随机变量的分布列如下：0123则_____；若，，成公比为3的等比数列，则_____.14.已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为_____；若点为轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点，则动点的轨迹的长度为_____.15.已知是首项为，公差为2的无穷等差数列，是首项为1，公比为2的无穷等比数列，记，给出下列四个结论：①当时，有；②存在，使得的前2025项为单调递增数列；③对于任意从第三项起均为单调递减数列；④当且仅当时，存在，使得.其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数，，且.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围.17.已知在等差数列和等比数列中，，，等差数列的前项和为.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列和存在，并解答下列问题.条件①：；条件②：成等差数列；条件③：成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值，以及此时数列的前项和的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数：月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月指数151152149146151147151154152151152153（1）若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率；（2）若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望；（3）若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明）19.甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.（1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；（2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.20.已知函数，.（1）当时，（ⅰ）求曲线在处的切线方程；（ⅱ）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为，求的值.21.已知数列满足：①均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，，，，．（1）若，，，，求；（2）是否存在正整数，使得，，，全为0？证明你的结论；（3）求证：存在正整数，使得，，，中有一个数的绝对值大于2025．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】由基本初等函数的导数求解即可.【详解】因为，所以.故选：A.2.【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】∵，，∴.故选：B.3.【答案】B【分析】求出从袋子中随机摸出两个球的情况数和两球的颜色相同的情况数，相除得到答案.【详解】袋子中共有7个球，随机摸出两个球，共有种情况，其中两球的颜色相同的情况为2红，2白或2黑，共有种情况，故该抽奖活动的中奖率为.故选：B4.【答案】C【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出.【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，所以，由题可得，解得，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：C.5.【答案】C【分析】利用奇函数的定义分别判断函数的奇偶性，利用导数分别判断函数的单调性，再根据函数是否为是奇函数，且是否在上单调递增判断即可.【详解】选项A：函数定义域为，，函数是奇函数，，当时，，在上单调递减，不合题意；选项B：函数定义域为，，函数不是奇函数，不合题意；选项C：函数定义域为,是奇函数，因为，所以，函数在上单调递增，符合题意；选项D：定义域为，不是奇函数，不合题意.故选：C.6.【答案】A【分析】设出公差，借助等比中项的性质与等差数列的性质计算即可得.【详解】设数列公差为，则，故，，即，解得，则.故选：A.7.【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式及排列数公式计算即可.【详解】从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为.故选：D8.【答案】C【分析】对求导得.由是函数的两个极值点，分析可知：是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系及完全平方式即可求解.【详解】∵，∴.∵是函数的两个极值点，∴，∴，即是方程的两个根，∴，，∴，∴.故选：C.9.【答案】C【分析】根据给定条件，按公比的取值情况，结合单调性探讨等价条件，再利用充要条件的定义判断.【详解】设等比数列的公比为，则，由数列存在负数项，得或，数列有最小项，当时，，若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项；若，，数列是常数列，有最小项；若，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项，因此；当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项；当时，，数列有最小项；当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项或，因此，于是数列有最小项等价于；数列有最大项：，数列是等比数列，当时，无最大项，数列无最大项；当时，，数列有最大项；当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项，因此数列有最大项等价于，所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件.故选：C10.【答案】B【分析】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得.【详解】当时，，则在时恒成立，则与共零点，故，解得，即，当时，，则在时恒成立，则，由在区间上单调递增，则，解得，综上可得.故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】①.②.【分析】根据对数的真数大于0，且分母不为0即可求出函数的定义域；利用导数的除法法则，对求导得到，再将代入即可求出.【详解】要使函数有意义，则，即，∴的定义域是.∵，∴.故答案为：；.12.【答案】【分析】借助等差数列求和公式与等差中项的性质计算即可得.【详解】.故答案为：.13.【答案】①.②.【分析】空一：借助概率之和为计算即可得；空二：借助等比数列的性质结合空一所得计算即可得.【详解】；若，，成公比为3的等比数列，则有，则，，则.故答案为：；.14.【答案】①.-1②.8【分析】设，求导，得到在点A处切线斜率为，得到最小值；将代入切线方程，整理得到至少有两个根，构造函数，求导得到其单调性和极值情况，得到，求出轨迹长度.【详解】设，，故在点A处切线斜率为，当时，等号成立，故在点A处切线斜率的最小值为-1，点为轴的一个动点，设为，在处的切线方程为，将代入切线方程得，整理得，曲线上至少有两条不同的切线经过点，故至少有两个根，令，则，令得，令得或，所以在上单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为，故时，至少两个根，动点的轨迹的长度为.故答案为：-1，815.【答案】①②③【分析】根据条件求出，求出作差比大小来判断①；假设命题成立，将问题转化为恒成立求参来判断②；求出，通过研究函数的单调性即可判断③；举反例来判断④.【详解】由题意可知，，，则，则，若，则，即，故①正确；假设存在，使得的前2025项为单调递增数列，则对，恒成立，即对，恒成立，当时，上式显然成立，则对，恒成立，因，结合的单调性可知，当时有最大值，则，则，故假设成立，则②正确；由②可知，，令，其开口朝下，对称轴为，若，则对称轴，则当时，，则时，，故对于任意从第三项起均为单调递减数列，故③正确；当时，，，故④错误故答案为：①②③三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）【分析】（1）对求导，利用，解方程即可求得的值；（2）求出导数为0的点，对该点的左右区间利用导数为正，函数单增，导数为负，函数单减进行判断即可；（3）求出的最小值，将恒成立转化为其最小值大于等于1，解不等式即可.【小问1详解】，，因为，所以，解得.【小问2详解】函数的定义域是，由（1）得，，，令，解得或（舍去），当时，，故，单调递增，当时，，故，单调递减，综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问3详解】由（2）得，，对任意，都有恒成立，即，，解得，故的取值范围是.17.【答案】（1），.（2）数列的前项和的最小值为，此时数列的前项和的值为【分析】（1）选择条件①：设的公差为，的公比为，根据等差数列的前项和公式及等差、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解；选择条件②：设的公差为，的公比为，由题可得：，根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解；选择条件③：设的公差为，的公比为，由题可得：，根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组求解可知选择条件③时，不存在满足条件的数列和.（2）由（1）知.设的前项和为，的前项和为，根据等比数列的前项和公式可得，根据等差数列的前项和公式，由二次函数的性质即可求解.【小问1详解】选择条件①：设的公差为，的公比为，，∴，∴，即，解得或（舍去），所以，.选择条件②：设的公差为，的公比为，由题可得：，∴则，即，即，解得或（舍去），所以，.选择条件③：设的公差为，的公比为，由题可得：，∴则，即，解得（舍去）或（舍去），故选择条件③时，不存在满足条件的数列和.【小问2详解】由（1）知.设的前项和为，的前项和为，则，，由二次函数的性质可知：当时，的最小值为，数列的前8项和为.18.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）从表中找出所有月份中苹果价格指数大于150的事件个数即可得；（2）得到随机变量的所有可能取值后计算相应概率，即可得其分布列，再借助期望公式计算即可得其数学期望；（3）结合两点分布的方差公式与方差定义可得、、，即可得解.【小问1详解】设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件，由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150，所以；【小问2详解】随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，，，，；所以的分布列为：1234所以的数学期望为；【小问3详解】2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布，故；2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布，故；2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则，故，即、、中最大.19.【答案】（1）甲恰好投中1次的概率大.（2），最大值为.【分析】（1）分别求出甲乙各命中1次的概率，即可求解.（2）求出丙恰好投中1次的概率为，再令，然后利用导数求出最值，即可求解.【小问1详解】甲恰好投中1次的概率为，乙恰好投中1次的概率为，所以甲恰好投中1次的概率大.【小问2详解】丙恰好投中1次的概率为.令.求导得：.由，解得，故在上单调递增：由，解得，故在上单调递减，所以.所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为.20.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）