2026年高考数学一轮复习专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示(举一反三讲义)(全国)(解析版)_第1页
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文档简介

专题5.2平面向量基本定理及坐标表示(举一反三讲义)

【全国通用】

【题型1基底的概念及辨析】.................................................................................................................................3

【题型2用基底表示向量】.....................................................................................................................................5

【题型3利用平面向量基本定理求参数】.............................................................................................................7

【题型4平面向量的坐标运算】.............................................................................................................................9

【题型5向量共线的坐标表示】...........................................................................................................................11

【题型6由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】..........................................................................12

1、平面向量基本定理及坐标表示

考点要求真题统计考情分析

平面向量是高考的重点、热点内容,

2023年天津卷:第14题,5属于高考的必考内容.从近几年的高考

(1)了解平面向量基本定理及

分情况来看,平面向量基本定理、平面向

其意义

2024年新课标I卷:第3题,量的坐标运算是高考的热点内容,主要

(2)掌握平面向量的正交分解

5分以选择题、填空题的形式考查,难度较

及其坐标表示

2024年全国甲卷(理数):第易;有时也会与三角函数、解析几何结

(3)会用坐标表示平面向量的

9题,5分合出现在综合性大题中,难度中等.学生

加法、减法与数乘运算

2024年上海卷:第5题,4分在高考复习中应注意加强对向量的线性

(4)理解用坐标表示的平面向

2025年全国二卷:第12题,5运算法则、向量共线与垂直的条件的理

量共线的条件

分解,熟记平面向量的相关公式,灵活进

行求解.

知识点1平面向量基本定理的探究

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,

使.若不共线,我们把{}叫做表示这一平面内所有�向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知,可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可

以用平面内任意不共线的两个向量线性表�示,这就是平面向量基本定理的实质.

2.应用平面向量基本定理求向量的实质

应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一

般将向量“放入”相关的三角形中,利用三角形法则列出向量间的关系.

3.用平面向量基本定理解决问题的一般思路:

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都

是唯一的.

知识点2平面向量坐标运算及其解题策略

1.平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正

交分解.

(2)向量的坐标表示

如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为,,取{,}作为基底.对于

平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,,使得这样,平面内

xy��=�x+�y.

的任一向量都可由,唯一确定,我们把有序数对,叫做向量的坐标,记作①其中叫做

x�y(xy)�=(x�,y)�.x

在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,①叫做向量的坐标表示

x�yy.���

显然,,,

=(1,0)=(0,1)�=(0,0).�

点的坐标与向量的坐标的关系

(3)��0

表示形

向量=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号.

式不同

区�

别点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位

意义置,=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的

不同方向.另外,(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述

时应指明点(x,y)或向量(x,y).

向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起

联系

点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

2.平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和(差)的坐标表示

由于向量,等价于,,所以

,即.同理可得.

这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表示

由=(x,y),可得,则,即.

这就�是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

3.共线的坐标表示

(1)两向量共线的坐标表示

设,,其中≠0.我们知道,,共线的充要条件是存在实数λ,使=λ.如果用坐标表

�����

示,可写为()=λ(),即,消去λ,得.这就是说,向量,(≠0)共线的充

���

要条件是.

(2)三点共线的坐标表示

若A(),B(),C()三点共线,则有,从而,即

或由得到,

或由得到.

由此可知,当这些条件中有一个成立时,A,B,C三点共线.

4.平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,

则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中,常利用向量相等其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.

【方法技巧与总结】

1.若与不共线,且,则.

2.已知�P�为线段AB的中点,若A(),B(),则P点坐标为.

3.已知△ABC的重心为G,若A(),B(),C(),则G.

【题型1基底的概念及辨析】

【例1】(2025·上海浦东新·三模)给定平面上的一组向量、,则以下四组向量中不能构成平面向量的基

底的是()�1�2

A.和B.和

C.2�1+�2和�1−�2D.�1和+3�2�2+3�1

【答案】C3�1−�22�2−6�1�1�1+�2

【解题思路】根据平面向量共线定理,结合选项,进行逐一分析即可.

【解答过程】对A:不存在实数,使得,

故和不共线,可�作基底;2�1+�2=��1−�2

对B2�:1不+存�2在�实1数−�,2使得,

故和�不共线�1,+可3�作2基=底�;�2+3�1

�1+3�2�2+3�1

对C:对和,因为是不共线的两个非零向量,

且存在实数3�1−,�使2得2�2−6�1�1,�2,

故和−22�共2线−6,�不1=可−作2基3�底1;−�2

对D3�:1−不�存2在实2�数2−,6�使1得,故和不共线,可作基底.

故选:C.��1=��1+�2�1�1+�2

【变式1-1】(24-25高一下·湖北黄冈·期中)若,是平面内一组不共线的向量,则下列各组向量中,不

能作为平面内所有向量的一组基底的是()�1�2

A.与B.与

C.�1�1−与�2D.�1+2�2与2�1+�2

【答案】�D1−2�2�1+2�26�1−3�2�2−2�1

【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.

【解答过程】因为,是平面内一组不共线的向量,

设,�无1解�,2,能作为平面内所有向量的一组基底,所以A选项错误;

121

设�−�=��,则,无解,不平行,能作为平面内所有向量的一组基底,所以选项错误;

1B

�=2

�1+2�2=�2�1+�2

设,则2=�,无解,能作为平面内所有向量的一组基底,所以C选项错误;

�=1

�1+2�2=��1−2�2

,2=−2�,不能作为平面内所有向量的一组基底,D选项正确;

6故�选1−:3D�.2=−3�2−2�16�1−3�2//�2−2�1

【变式1-2】(24-25高一下·江西景德镇·期中)若是平面内的一个基底,则下列四组向量中不能作平

面向量的基底的是()�1,�2

A.B.

1

�1−�2,�2−2�1�1−�2,�1−2�2

C.D.

【答案】C2�2−3�1,6�1−4�2�1+�2,�1+3�2

【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.

【解答过程】对于A,设存在唯一的实数使,

��1−�2=��2−2�1=��2−2��1

则,此方程无解,故能作为平面向量的基底,故A不符合题意;

−1=�

�1−�2,�2−2�1

对于1=B,−设2�存在唯一的实数使,

11

��1−�2=��1−2�2=��1−2��1

则,此方程无解,故能作为平面向量的基底,故B不符合题意;

1

1=�1

�1−�2,�1−2�2

−1=−2�

对于C,由,所以与共线,

故6�1−4�2=−不2能2作�2为−平3面�1向量的基2底�2,−故3�C1符6合�1题−意4;�2

对于2�B2,−设3�存1,6在�唯1−一4的�2实数使,

��1+3�2=��1+�2=��1+��1

则,此方程无解,故能作为平面向量的基底,故D不符合题意.

1=�

�1+�2,�1+3�2

故选3:=C�.

【变式1-3】(24-25高一下·河南·期中)若是平面内一组不共线的非零向量,则下列也可以作为一组基底

向量的为()�,�

和和

①�−�和2025�−2025�②�+�和�−�

③3�A−.2�2�−3�B.④�−3�C6.�−2�D.

【答案】B①②②③③④①④

【解题思路】根据题意,利用向量的共线定理,以及基底向量的定义,逐个判定,即可求解.

【解答过程】对于中,由和,可得,

所以和①�是−共�线向20量25,�−不2能0作25为�一组基2底0向25量�−;2025�=−2025(�−�)

对于�−中�,设2025�−2025�,可得,方程组无解,

�=1

②�+�=�(�−�)

所以和不共线,可以作为一组�基=−底1向量;

对于�+中�,设�−�,可得,方程组无解,

2�=3

③3�−2�=�(2�−3�)

所以和不共线,可以作为一组−3基�底=−向2量;

对于3�中−,2�设2�−3�,可得,解得

1

−2�=1

④�−3�=�(6�−2�)�=−2

所以和是共线向量,不能作为6�一组=−基3底向量.

故选:�−B.3�6�−2�

【题型2用基底表示向量】

【例2】(2025·海南三亚·一模)已知为平行四边形,为的中点,记,则()

A.B.𝐴𝐵C.�𝐵D.𝐴=�,𝐵=���=

1111

�+2��−2�−2�+�−2�−�

【答案】C

【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【解答过程】因为为的中点,所以,

1

�𝐵��=2��

所以.

111

��=��+��=��+2��=��−2��=−2�+�

故选:C.

【变式2-1】(2024·山东济南·二模)在中,为边的中点,,则()

2

△𝐴��𝐴��=3����=

A.B.

1251

−6��+3��6��+3��

C.D.

1212

6��+3��6��−3��

【答案】D

【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.

【解答过程】因为为边的中点,,

2

�𝐴��=3��

所以.

212112

��=��+��=3��−2��=3��−��−2��=6��−3��

故选:D.

【变式2-2】(2025·甘肃庆阳·一模)在平行四边形ABCD中,,,则()

A.B.𝐴=2����=2��𝐵=

111

2��+2��2��+2��

C.D.

1

2��+2��2��+2��

【答案】C

【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.

【解答过程】

如图:.

1

��=��+��=2��+2��

故选:C.

【变式2-3】(2024·福建福州·模拟预测)如图,梯形的腰的中点为,且,记,

𝐴𝐵𝐵���=3𝐵��=�,��=�

则()

��=

A.B.C.D.

11113

−2�+2�2�+2�−2�+2�−2�+2�

【答案】A

【解题思路】根据图形,利用向量的几何运算得到,即可求解.

【解答过程】因为,又��=,−所�以−2�

,��=3𝐵��+��+��+��=0��=−��−��−��=−�−3�+�=−�−

又2�为腰的中点,所以,

111

�𝐵��=��+��=��+2��=3�−2�−�=−2�+2�

故选:A.

【题型3利用平面向量基本定理求参数】

【例3】(2025·湖南·三模)在中,点是线段上一点,若,,则实数

13

44

()△𝐴������=𝐴�𝐵=𝐴+���=

A.B.C.D.

1123

4334

【答案】D

【解题思路】由向量的线性运算得,结合平面向量基本定理即可得解.

【解答过程】因为,��=1−���+���

所以��=𝐴�,

因为��=��+��=,��所+以𝐴�=.��+�−��+��=1−���+���

133

��=4��+4���=4

故选:D.

【变式3-1】(2025·安徽·模拟预测)已知在中,点D满足,设,

则()△𝐴�4��+3��=0��=���+����,�∈�

�+2�=

A.1B.C.D.2

710

57

【答案】C

【解题思路】由平面向量基本定理结合,可得,再由

34

4��+3��=0��=7��,��=−7����=���+

,即可求出的值.

【�解��答�过,�程∈】�由�+2�,可得,

34

4��+3��=0��=7��,��=−7��

34

��=��+��=��+7��,��=��+��=��−7��,

1186

2��=��+��−7��=��+��−7��−��=7��+7��

故,

43

��=7��+7��

所以

4310

�+2�=7+2×7=7

故选:C.

【变式3-2】(2025·陕西铜川·模拟预测)在中,点为线段的中点,点满足,若

,则的值为()△𝐴�������=2����=���+

𝐴�A.�+�B.C.D.

1111

24−2−4

【答案】D

【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来,从而可求出,进而可求得结果.

【解答过程】因为点D为线段BC的中点,点E�满�足��,��,�,�

��=2��

所以1,所以,

��=2(��+��)

12��=��+��

消去�,�=得��−��=3��−�,�3��=��−3��

所以��2��−3��=4��,

13

��=2��−4��=���+𝐴�

所以,,所以.

131

�=2�=−4�+�=−4

故选:D.

【变式3-3】(2025·北京朝阳·二模)在矩形中,,点E为线段的中点,

与交于点F.设𝐴𝐵,其�中�⊥𝐵分,�别�是=与2,𝐴=方2向相同的单位向𝐵量,则(��)

����=�1�1+�2�2�1,�2∈��1,�2��,��

A.B.

2222

�1=3,�2=3�1=3,�2=3

C.D.

1212

1212

【答案】�B=3,�=3�=3,�=3

【解题思路】利用向量的线性运算,用来表示,然后利用平面向量基本定理即可确定选项.

【解答过程】�1,�2��

在矩形中,因为点E为线段的中点,所以,

𝐵��11

𝐴𝐵𝐵��=��=2⇒𝐵=3��

则有,

1111

��=3��=3��+��=3��+3��

因为,分别是与方向相同的单位向量,

所以𝐵=2,𝐴=2�1,,�2��,��

21

则𝐵=2�,𝐴=2�,

1122

��=3��+3��=3�1+3�2

又因为,所以,

22

11221212

故选:B𝐵.=��+���,�∈��=3,�=3

【题型4平面向量的坐标运算】

【例4】(2025·天津红桥·模拟预测)若向量,,则的坐标为()

A.B.�=C.−1,0�=0,1D.�+2�

【答案】A−1,2−1,10,11,2

【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果.

【解答过程】由,,

则�=−1,0�=0,1.

故选�+:2A�.=−1,0+0,2=−1,2

【变式4-1】(2025·云南曲靖·二模)已知,若点D满足,则点的坐标为

()�−2,1,�−1,3,�3,4��=���

A.B.C.D.

【答案】A2,23,11,35.5

【解题思路】设点,求出,再列出方程,即可得解.

【解答过程】设点��,�,��,��

则��,�,

又��=1,2,,所��以=3−�,4−�,

1=3−��=2

��=��⇒

所以点的坐标为2=,4−��=2

故选:A�.2,2

【变式4-2】(2025·贵州遵义·模拟预测)已知向量,,在正方形网格中的位置如图所示,将绕着起点

顺时针方向旋转后得到向量,若,�则��()�

90��=��−���+�=

A.B.C.D.

7135

−2−222

【答案】A

【解题思路】建立如图所示直角坐标系,利用向量的坐标表示求解即可;

【解答过程】

由图可得,以为原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系,

�=���������

设每个小正方形的边长为1,

所�以0,3,�0,0,�3,0,�3,1,�3,2,�5,−2,

因为�=2,−2,�,=即��=3,1,�=��=3,−1,

所以�=��−��3,1=�,2,−2−�3,−1⇒3,1=2�−3�,−2�+�

3=2�−3��=−23

所以1=−2�+.��=−2

7

�+�=−2

故选:A.

【变式4-3】(2024·河南郑州·模拟预测)已知点A,B,C,D为平面内不同的四点,若,

且,则()��=2��−3��

��A=.−2,1��B=.C.D.

【答案】D4,−2−4,26,−3−6,3

【解题思路】由已知整理可得,然后由坐标运算可得.

【解答过程】由��得=3��,即,即,

又,��所=以2��−3����+�.�=3��−3����=3����=3��

故选��:=D.−2,1��=3��=−6,3

【题型5向量共线的坐标表示】

【例5】(2025·天津红桥·模拟预测)已知向量,,若,则y的值为()

A.B.C�.=21,2�=−1,�D.�//�

11

2−2−2

【答案】D

【解题思路】利用平面向量共线的坐标表示求解即可.

【解答过程】由,则,解得.

故选:D.�//�1×�=2×−1�=−2

【变式5-1】(2025·陕西西安·模拟预测)已知向量,,若与共线,则()

A.B.C.�=0,1�=1,D1.�+���−��

【答案】A�+�=0�+�=1��=0��=1

【解题思路】由题意,结合向量共线的充要条件即可求解.

【解答过程】因为向量�+��=�,,1+�,�,−所��以=−�,1−�,

因为与共�线=,0则,1�=1,1�+,�即�=�,1+�.,�−��=−�,1−�

�+���−���1−�=−�1+��+�=0

故选:A.

【变式5-2】(2025·广东东莞·模拟预测)已知向量,则“”是“”的

2

()�=(1,2),�=(2,�)(�+�)//(�−�)�=2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】利用向量平行的坐标表示列方程求参数值,结合充分、必要性定义判断关系即可.

【解答过程】由题设,,

22

若,�则+�=(3,2+�)�−�=,(可−得1,2−�),

22

所以(�“+�)//(�−�)”是3(“2−�”)的=必−要(2不+充�分)条件.�=±2

故选:(�B+.�)//(�−�)�=2

【变式5-3】(2025·辽宁盘锦·三模)已知,,,,若与共线,则

2

()�0,0�(�,1)�(�,−2)�(2,−1)�����=

A.1B.2C.或2D.或1

【答案】D−1−2

【解题思路】首先求出与的坐标,再根据向量共线的坐标表示得到方程,解得即可.

【解答过程】因为��,��,,,

2

所以,�0,0�(�,1)�,(�,−2)�(2,−1)

2

又�与�=(共�线,1,)故��=(�−2,−,1解)得或.

2

故选��:D�.�−�=�−2�=−2�=1

【题型6由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】

【例6】(24-25高三·全国·阶段练习)在直角梯形ABCD中,,点E

为BC边上一点,且,则的取值范围是�(�⋅�)�=0,∠�=30𝐴=23,��=2

��=���+�����

A.B.C.D.

11301

【答案】B−∞,20,20,22,23

【解题思路】建立平面直角坐标系,利用平面向量运算的坐标表示公式,结合配方法进行求解即可.

【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系,过作,垂足为,

因为,�𝐵⊥𝐴�

∠�=30°,��=2

所以有,

𝐵��

sin�=��,cos�=��⇒𝐵=2sin30°=1,��=2cos30°=3

,设,,

因�(此0,0有),�(23,0),�(3,1),�(0,1)�(�,�)��=𝐴�(�∈[0,1]),

(�−23,�)=�(−3,1)⇒�−23=−3�⇒�=23−3�

因为,�=��=�

��=���+���

所以有,

3�

�=23��=6

(�,�)=�(23,0)+�(0,1)=(23�,�)⇒⇒

�=�

而,�=�

�=23−3�

所以�=�,

31121

��=6(23−3�)�=(1−2�)�=−2(�−1)+2

当时,有最大值,当,xy有最小值,

1

�=1��2�=00

所以的取值范围是

1

��0,2

故选:B.

【变式6-1】(24-25高一下·广东韶关·期末)如图,四边形是正方形,延长至,使得.若

动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到𝐴�点�,其中AP𝐵�,下列�判�断=正𝐵确的

是(�)��=���+���

A.满足的点必为的中点.

B.满足�+�=2的点�有且只��有一个.

C.�的+最�大=值1为3.�

D.�+�的最小值不存在.

【答案】C�+�

【解题思路】建立坐标系,讨论,,,四种情况,出的范围,再判断每个

�∈𝐴�∈���∈𝐵�∈𝐵�+�

选项的正误,即可得出结果.

【解答过程】如图建系,取,∵,

𝐴=1��=��+��=��−��

∴,

动点��=从�点��出+发��,�沿=正(�方−形�的)�边�按+�逆�时�针=方(�向−运�)动1一,0周+回�到0,1点=,�−�,�

当�时�,有且,∴,∴�,

当�∈𝐴时,有0≤�−�且≤1�=0,则0≤�≤1,∴0≤�+�,≤∴1,

当�∈��时,有�−�=10≤且�≤1,则�=�+1,1≤∴�≤2,1≤∴�+�≤3,

当�∈𝐵时,有0≤�−�且≤1�=1,则�≤�,≤∴�+11,≤∴�≤22≤�,+�≤3

综上�∈,𝐵�−�,=00≤�≤1�=�0≤�≤10≤�+�≤2

选项A,0≤取�+�≤3,满足,此时,因此点不一定是的中点,故A错误;

选项B,当�点=取�=点1或的�中+点�时=,2均满足��=��+,�此�时=点��不唯一,�故B错误;��

选项C,当点�取�点时,𝐵且,�解+得�=1,取�得最大值为,故C正确;

选项D,当取�点�时,�−取�得=最1小值�=,1故D错�误=;2�+�3

故选:C.���+�0

【变式6-2】(2024·湖南常德·一模)如图,四边形是边长为1的正方形,延长CD至E,使得=.动

点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运𝐴动𝐵一周回到A点,,则�的�取值2�范�围

为.��=���+����+�

【答案】

【解题思路0,】4建立适当的平面直角坐标系,讨论四种情况,即可求出的

取值范围.�∈𝐴,�∈��,�∈𝐵,�∈���+�

【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系:

则,所以,

当�1,0

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