探究导数问题 剖析解法之道

1探究导数问题剖析解法之道导数是高中数学与大学数学衔接的重要内容，也是历年高考中的“重头戏”,更是多数学生谈虎色变的问题类型。尽管老师讲了数不清的题目类型和技巧方法，但是学生见到此类问题往往还是心有不安。本文以一轮复习为素材对导数压轴题型进行梳理，帮助学生夯实基础，优化思维品质，剖析解题过程，提升学生的核心素养。德国哲学家叔本华说过“记录在纸上的思想如同某人留在沙上的脚印，我们也许能看到他走过的路径，但若想知道他在路上看见了什么东西，就必须用我们自己的眼睛。”这番话从某种意义上道出了问题研究的重要性，备战高考更是如此，我们需要研究试题，摸清命题的轨迹和特点，以便为我们厘清高考复习的思路。1.试题呈现——多种视角，各有所长的底数),则2视角1:大胆“猜”(必要探路与端点效应)由定义域ax10对.1恒成立，所以X必要条件，得出12评注：答案好像是“猜”出来的，其实是根据“端点”这一特殊位置一定满足条件，从而找出不等式恒成立的必要条件，而这个必要条件恰好同时具备充分性。利用“端点效应”进行必要性探路在平时练习中也很多见，但是遵循“小题小做”的原则3视角2:指对同构(和差型)法一：由定义域知a2,且e21□a在上恒成立，再构造函数mxě即eflnalna□□eaX1a□,,aa则Xaa1X即e一1a4面同得出答案。X评注：把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，再构造新函数，利用函数单调性求解，找这个新函数模型的方法就是同构法[1]。遇到“指数与对数”同时出5现的试题时，可优先考虑采用“同构”的方法变形转化，但是直接使用同构的题目并不多，很多情况需要凑出同构的形式，如何将已知的指对式进行“改头换面”,进而转化成左右两边具有相同结构的式子是关键，那么指对同构的一般形式有：乘除型、和差型。视角3:反函数法(回归定义)由定义域知a2,则原不等式转化ax出a,后面同上。1x在上恒成立即可，得↑↑y=Xy-°1图1评注：在对原不等式进行变形转化时，结合反函数的定义，忽然发现左侧(含参的指数)和右侧(含参的对数)正好互为反函数，利用两个互为反函数的图像关于yX对称(图1),yx。回归定ax1yx。回归定ax1的图像低于或切于的图像高于或切于义与数形结合相得益彰，使得解题思路豁然开朗，收到意想不到的效果。当然想要达到这种解题策略还需对数学“敏感”,正如波利亚所说“合理地组织知识，使知识处于随时可用的状态，要比储备知识更为重要。”视角4:切线过渡(有限区间)原不等式转化为e1alnax1,设曲，口e1和曲线Y□aln6于点x%,式。所以ae1工12两者凹凸性正好相反，通过寻找过渡的直线(公切线或者切线)实现隔离放缩，本题在有限区间上正好有公切线，切点为(图2),进而求出参数的临界值为找到答案。借助切线过渡(搭桥)是很常见的方法，也是很多秒杀的武器。化曲为直，化超越式为便于处理的线性式或无超越式，进行局部模拟、拟合、替代等实现过渡或“改造”,达到“一曲一直”或“两曲”模式[2],化难为易，化繁为简。2.真题示范——解法赏析，殊途同归例1(2021年中等数学竞赛模拟题)已知函数f(x)x²2xalnx,对于任意的解析：标准答案此处省略，采用“端点效应”大胆猜。过程如下：21t1在t1上恒718fxQe□□eX例3(2020年新高考I卷)已知函数f(x)aelnxlna.9(2)若fe时，求曲线yfx在点1x1,求实数a的取值范围。解析：(1)答案为(2)国标答案此处省略，指对同构来帮忙，变形考验难度大，过程如下：1笛卡尔说过“我解决过的每一个问题都可以是日后用以解决其他问题的法则。”一类问题，多种策略，对题目深层结构进行反思，揭开解法之道的思维真相，暴露构造变形的过程，