必刷题《专题10-等腰三角形常考型》刷难关

必刷题《专题10等腰三角形常考型》刷难关知识点一等腰三角形中的分类讨论问题1.[2020江苏镇江期末]如果等腰三角形有两边长分别为5和8，那么该三角形的周长为（）A.18B.20C.21D.18或212.[2020四川成都金牛区期末，中]等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为度，则此三角形的顶角为度.3.[2020山东烟台期末]等腰三角形的一个角为150°，则它的顶角的度数为.4.[2020上海浦东新区期末]已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，求这个等腰三角形顶角的度数.5.[2020河南洛阳月考，中]如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.6.[中]在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的大小.知识点二等腰三角形“三线合一”性质的运用7.[2020广西南宁期中]如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E.（1）如果∠CAD=26°，求∠ABE的度数.（2）如果CD=3cm，求BC的长.8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E.试说明：CE=AB.9.已知：如图，∠A=∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.试说明：∠BFE=∠CFE.10.[中]如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点.DG⊥EF成立吗？请说明理由.参考答案1.答案：D解析：①5是腰长时，三角形的三边长分别为5，5，8，5+5>8，能组成三角形，周长为5+5+8=18；②5是底边长时，三角形的三边长分别为5，8，8，5+8>8，能够组成三角形，周长为5+8+8=21.综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21.故选D.2.答案：解析：如图（1），顶角是钝角时，∠B=（90-）°，故顶角为180°-2（90-）°=2°.如图（2），顶角是锐角时，∠B=（90-）°，故顶角为180°-2（90-）°=2°.综上所述，此三角形的顶角为2度.故答案为2.3.答案：150°解析：分两种情况：①150°的角是底角时，2个底角的和为300°，与三角形的内角和为180°相矛盾，所以150°的角是底角不成立；②150°的角是顶角时，顶角是150°.故答案为150°.4.答案：设两内角的度数为当等腰三角形的顶角为时，=180°，=20°；当等腰三角形的顶角为时，=180°，=30°，=120°.因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.5.答案：设AB=AC=，BC=，则AD=CD=.因为AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，所以有两种情况：①当3=15，且=6时，解得=5，=1.所以三边长分别为10，10，1；②当=15且3=6时，解得=2，=13，此时腰为4.根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8<13，故这种情况不存在.所以腰长是10，底边长是1.6.答案：有两种情况：（1）如图（1），当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交于点D时，因为∠AMD=90°，所以∠BAD=90°-40°=50°.因为AB=AC，所以∠B=∠C=∠BAD=25°.（2）如图（2），当AB的中垂线MN与线段AC相交于点D时，因为∠AMD=90°，所以∠DAB=90°-40°=50°.因为AB=AC，所以∠B=∠C=（180°-∠A）=65°.综上所述，∠B的大小为25°或65°.7.答案：（1）因为AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAE=2∠CAD=52°.因为BE⊥AC，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=90°-52°=38°.（2）因为AB=AC，AD⊥BC，所以BC=2CD=6cm.8.答案：因为AB=AC，AD是BC边上的高所以∠BAE=∠CAE.因为CE∥AB，所以∠E=∠BAE，所以∠E=∠CAE，所以CE=AC.因为AB=AC，所以CE=AB.9.答案：在△ABF和△DCF中，所以△ABF≌△DCF（AAS），所以BF=CF.因为E是BC的中点，所以BE=CE.在△BFE和△CFE中，所以△BFE≌△CFE（SSS），所以∠BFE=∠CFE.10.答案：DG⊥EF成立.理由：连接