上海市浦东新区新川中学2025-2026学年高一（上）月考数学试卷（9月份）（解析版）

2025-2026学年上海市浦东新区新川中学高一（上）月考数学试卷（9月份）一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）已知集合，3，，，3，，．2．（3分）若全集，，集合，，则．3．（3分）不等式的解集为．4．（3分）“且”是“”的条件．（填“充要”“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”5．（3分）已知集合，，，，则．6．（3分）满足，2，3，的集合有个．7．（3分）已知，，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．8．（3分）集合，2，，，，若集合中有三个元素，则实数．9．（3分）若集合，，，，则集合的非空真子集的个数为．10．（3分）设全集，集合，，集合，，则如图阴影部分表示的集合为．11．（3分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为．12．（3分）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集数为．二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．（3分）已知集合，集合，则A． B． C． D．，14．（3分）已知集合，，若不是的子集，则下列命题中正确的是A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且15．（3分）集合，各有8个元素，有6个元素，若集合满足：，则满足条件的集合共有A．32个 B．16个 C．8个 D．4个16．（3分）设集合，中至少两个元素，且，满足：①对任意，，若，则，②对任意，，若，则，下列说法正确的是A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素三、解答题(10’+10+10'+10’+12’，本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤）17．（10分）证明：若，则或．18．（10分）比较与的大小．19．（10分）设全集为，集合，．（1）求；（2）若，求的取值范围．20．（10分）已知集合，集合．（1）求关于的不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围．21．（12分）集合，，，是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素，2，，之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．（1）判断集合，2，3，、，3，5，7，9，11，是否为“可分集合”（不用说明理由）；（2）求证：五个元素的集合，，，，一定不是“可分集合”；（3）若集合，，，是“可分集合”，证明是奇数．

参考答案一．选择题（共4小题）题号13141516答案BCBA一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）已知集合，3，，，3，，．解：集合，3，，，3，，故答案为：2．（3分）若全集，，集合，，则，1，3，．解：全集，，1，2，3，4，，集合，，则，1，3，．故答案为：，1，3，．3．（3分）不等式的解集为．解：已知，则．故答案为：．4．（3分）“且”是“”的充要条件．（填“充要”“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”解：若且，显然有，即且，充分性成立，若，又，，所以，即，则可以推出且，必要性成立，所以“且”是“”的充要条件．故答案为：充要．5．（3分）已知集合，，，，则．解：集合，，，，则．故答案为：．6．（3分）满足，2，3，的集合有8个．解：因为，2，3，，所以的可能集合是：，，，，，，，，2，，，2，，，3，，，2，3，共8个．故答案为：8．7．（3分）已知，，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．解：，解得，设，，若是的充分不必要条件，则，则有，且等号不会同时取到，解得，则实数的取值范围是．故答案为：．8．（3分）集合，2，，，，若集合中有三个元素，则实数或．解：中有三个元素，或，解得或．故答案为：或．9．（3分）若集合，，，，则集合的非空真子集的个数为14．解：集合，1，，，，，1，2，，集合的非空真子集的个数为：．故答案为：14．10．（3分）设全集，集合，，集合，，则如图阴影部分表示的集合为，．解：由题可得，故，，故如图阴影部分表示的集合为，．故答案为：，．11．（3分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为．解：因为不等式的解集为，所以和2是方程的两解，且；由根与系数的关系得，解得，；所以可化为，因为，所以可化为，即，解得或，所以不等式的解集为．故答案为：．12．（3分）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集数为．解：根据题意，若，，则、、、均属于，而事实上，若，则，故区间，中有正整数，所以中相邻两数不可能大于等于2，故2、3、、，若，，则有，与矛盾，当时，则；当时，，所以，所以，2，，，可得的非空子集有．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．（3分）已知集合，集合，则A． B． C． D．，解：因为，，集合表示的是的偶数倍构成的集合，集合表示的是的整数倍构成的集合，即，故．故选：．14．（3分）已知集合，，若不是的子集，则下列命题中正确的是A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且解：对于选项、：例如，，，，满足不是的子集，但，，故错误；，，故错误；对于选项：对任意的，都有，则，若不是的子集，则存在，满足，且，故正确；对于选项：例如，，满足不是的子集，但不存在，满足，且，故错误．故选：．15．（3分）集合，各有8个元素，有6个元素，若集合满足：，则满足条件的集合共有A．32个 B．16个 C．8个 D．4个解：由题知，各有8个元素，且有6个元素，设，，，，，，且，，，，，，，，，，，，，，，，则画图如下：因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，所以集合的个数，即是，，，的子集的个数个．故选：．16．（3分）设集合，中至少两个元素，且，满足：①对任意，，若，则，②对任意，，若，则，下列说法正确的是A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素解：若有2个元素，不妨设，，因为中至少有两个元素，不妨设，，由②知，，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，，由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，当集合有2个元素时，由②得：，则，，或，．当集合有多于2个元素时，不妨设，，，其中，，，，，，由于，，，所以，，若，则，但此时，，即集合中至少有，，这三个元素，若，则集合中至少有，，这三个元素，这都与集合中只有2个运算矛盾，综上，，，，故正确；当集合有3个元素，不妨设，，，其中，则，，，所以，，，，，，集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少4个元素，与，，矛盾，排除，．故选：．三、解答题(10’+10+10'+10’+12’，本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤）17．（10分）证明：若，则或．【解答】证明：假设，，，这与已知条件矛盾，假设不成立，即“若，则或”成立．18．（10分）比较与的大小．解：由，当时，；当时，；当时，．19．（10分）设全集为，集合，．（1）求；（2）若，求的取值范围．解：（1）不等式，，不等式，，，，或．（2）不等式，①当时，，不等式，解集为，，此时成立，满足题意；②当时，，或，或，或若，则有，解得，此时，的取值范围是，，③当时，，或，或，或若，则有，解得，此时，的取值范围是；综上所述，实数的取值范围是．20．（10分）已知集合，集合．（1）求关于的不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由，得．，关于的不等式的解集为．（2）集合．若，则有如下两种情况：实数满足或，即或．实数的取值范围是，或．21．（12分）集合，，，是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素，2，，之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．（1）判断集合，2，3，、，3，5，7，9，11，是否为“可分集合”（不用说明理由）；（2）求证：五个元素的集合，，，，一定不是“可分集合”；（3）若集合，，，是“可分集合”，证明是奇数．解：（1）对于，2，3，，去掉3后，，2，不满足题中条件，故，2，3，不是“可分集合”，对于，3，5，7，9，11，，集合，3，5，7，9，11，所有元素之和为49．当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合，5，7，、，这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合，9，、，7，这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合，3，7，、，这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合，9，、，5，这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合，3，5，、，这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合，7，、，5，这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合，3，5，、，这两个集合，显然符合题意．综上所述，集合，3，5，7，9，11，是“可分集合”．（2）证明：不妨设，若去掉元素，将集合，，，分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，若去掉元素，将集合，，，分成两个交集为空集的子集，且