高等数学（下册）-典型例题解析

..第六章典型例题解析本章重点是偏导数的计算ꎬ多元函数极值ꎬ经济上的最值问题ꎬ难点是复合函数偏导和隐函数偏导.轨迹的方程.)的距离是它到平面的距离的一半ꎬ求该动点分析求二元函数极限ꎬ主要将二元函数极限转化为一元函数极限ꎬ然后应用前面一元函数求极限的各种方法ꎬ本题用了分子或分母有理化等方法.()()..分析二阶偏导数是一阶偏导数的偏导ꎬ所以要求出函数的二阶偏导数ꎬ必须先求出一阶偏导并进行化简ꎬ再对此化简后的一阶偏导求偏导ꎬ这样运算才能较简便.ꎬ所以数存在且可微...分析此题要根据(ꎬ)点处偏导数存在、可微的定义来证明.而示ｆ对第一、二中间变量的二阶混合偏导ꎬ这种记号较为方便且不易出错ꎬ下面就用这种记号来解题.解ꎬ ,,((èꎬ ..[..ｙ()][..ｙ()] ＝.＋.而 ç＝.＋.＋.＋. ç＝.＋.＋.＋..(ｘ)与(ｘ)是二元方程确定的隐函数...＋..因为函数(ｘ)由方程φ(ꎬ)所确定..所以例９某公司通过电视台及报纸两种方式做销售某种商品的广告.设销售收入Ｒ(万元)与电视台广告费用ｘ(万元)及报纸广告费用ｙ(万元)之间有如下经验公式:.)在广告费用不限的情况下ꎬ求最优广告策略ꎻ分析最优广告策略ꎬ就是分别在电视台及报纸上各支付多少广告费用ꎬ使商品的销售利润最大.在(１)中广告费用不限ꎬ是无条件约束ꎬ即为无条件极值.而(２)中广告费用解方程组..第七章典型例题解析本章重点是直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算问题ꎬ难点是二重积分交换积分次序ꎬ分段函数的二重积分.分析是以ｘ轴为对称轴的抛物线ꎬ可配方为()ꎬ它二重积分的二次积分了.显然Ｄ夹在直线显然Ｄ夹在直线ꎬ之间ꎬ下边界曲线是圆()的上半支所以..分析本题为二次积分ꎬ但由题中的积分次序不能求出ꎬ根据被积函数的特点我们要将原来的二次积分表示为两个二次积分ꎬ将其中的一个二次积分进行积分次序的交换.≤ｙ≤２}.分析本题被积函数含有绝对值ꎬ先利用二重积分对积分区域的可加性将绝对值去解≥０.分析本题被积函数含有绝对值ꎬ先利用积分区域的可加性将绝对值去掉ꎬ然后根据被积函数的特点ꎬ将二重积分化为二次积分进行计算.解使用将积分区域划分成两部分ꎬ:０≤≤ꎬ:ｙ≤０.于是分析本题被积函数为分段函数ꎬ先利用积分区域的可加性确定不同区域上的被积函数ꎬ然后根据被积函数的特点ꎬ选择适当的积分次序进行计算...分析本题利用二重积分的值为常数ꎬ假设为ꎬ化简等式后ꎬ等式解设ꎬ对等式两边同时在Ｄ上作二重积分得分析本题由被积函数含的特点ꎬ并注意其对称性ꎬ将二重积分化为极坐标下的二次积分进行计算.分析本题由被积函数含的特点ꎬ并注意其对称性ꎬ将二重积分化为极坐标下的二次积分进行计算...重积分分析本题由被积函数含的特点ꎬ并注意其对称解由对称性ꎬ所围成立体的体积.分析本题是二重积分的几何应用ꎬ关键是确定被积函数与积分区域.解例求两个底圆半径为Ｒ的直交圆柱面所围成的立体体积.分析本题是二重积分的几何应用ꎬ关键是确定被积函数与积分区域.解例以曲面做成容器ꎬ在容器中先倒入π立方单位的水ꎬ接着又倒入π立方单位的水ꎬ求第二次倒入后的水面比第一次的水面升高了多少.分析设第一次、第二次水面的高度分别为ꎬꎬ则水平面与曲面所围成的立体的体积是π立方单位ꎬ水平面与曲面所围成的立体的体积是π立方单位ꎬ据此..在平面上的投影曲线所围成.因为投影曲线的方程是ꎬ故区域:≤上的投影曲线所围成ꎬ即区域:≤...第八章典型例题解析本章重点是数项级数敛散性的判别ꎬ求幂级数的收敛域与和函数ꎬ将函数展开成幂级数ꎬ难点是求幂级数在收敛域内的和函数.分析利用部分和与级数收敛定义来解.从而所以从而所以散性.分析利用单调有界必有极限ꎬ数列收敛定义及正项级数比较判别法判别...得收敛.级数也收敛.分析因为两级数的和不一定相等ꎬ故不能用极限的夹逼定理ꎬ而应用正项级数的比较判别法讨论.≥≥０.因为与收敛ꎬ由收敛级数性质与正项级数的比较判别法ꎬ可知正项级数 例４设ꎬ则下列级数中一定收敛的是().分析这是一道考查数项级数敛散性的综合题ꎬ要用到级数收敛的必要条件ꎬ正项级数的比较判别法ꎬ级数ꎬ交错级数的莱布尼兹判别法ꎬ以及任意项级数绝对收敛等知识.解选项Ａ不正确.由夹逼定理知ꎬ但这仅是级数收敛的必要条件而非充分.13.分析判别级数收敛ꎬ首先要看其一般项un是否趋于零.若ꎬ则级数发散.解ꎬ对于离散型变量n不能直接求导.所以发散.分析因为ꎬ所以应用比较判别法.例7判别下列级数的敛散性:(1)分析级数一般项的分子、分母的每项是幂函数形式ꎬ用比较判别法.解法二分母最高次幂的次数比分子最高次幂的次数高ꎬ与比较ꎬ.(2)分析通项un中含有n次幂的形式ꎬ用根值判别法.解ꎬ由根值判别法可知收敛...由比值判别法可知发散.较判别法.解法一因为(４)由比值判别法可知收敛.解法二考察级数的敛散性ꎬ由比值判别法ꎬ可得收敛ꎬ再把原级数与它比较ꎬ由比较判别法的极限形式ꎬ可知原级数与有相同的敛散性ꎬ所以原级数收敛.的敛散性来确定原级数的敛散性..15.故原级数与有相同的敛散性ꎬ所以级数收敛.(6)分析级数的一般项含有n次幂的形式ꎬ可用根值判别法.例8判别下列级数的敛散性ꎬ若收敛ꎬ是绝对收敛还是条件收敛:(1)分析这是交错级数ꎬ看它是否满足莱布尼兹判别法的条件ꎬ再判别.由莱布尼兹判别法ꎬ级数收敛.(2)分析这是任意项级数ꎬ比3n趋于无穷大的速度慢ꎬ可以用推广的比值判别法...所以绝对收敛.(３)分析这是交错级数ꎬꎬ可用推广的比值法或根值法.(４)分析这是交错级数ꎬ可用莱布尼兹判别法和比较判别法讨论.解ꎬ判别法知收敛.所以原级数条件收敛.１这是交错级数ꎬ可用莱布尼兹判别法与比较判别法的极限形式讨论...１所以原级数条件收敛.).分析本题主要考查级数的基本性质ꎬ将已知级数写成展开式ꎬ从而容易找出已知级数与未知级数的关系式.例若级数在处收敛ꎬ讨论该幂级数在处的敛散性.分析本题通过讨论幂级数的收敛半径、收敛域ꎬ来确定在某点处的收敛性.解设该幂级数的收敛半径为Ｒꎬ那么≤≤ꎬ所以Ｒ≥４ꎬ收敛.例求幂级数的收敛半径与收敛域.或者由阿贝尔定理ꎬ>ꎬ例求幂级数的收敛半径与收敛域.分析该级数不是型的幂级数ꎬ因此用比值法求收敛半径.解令..所以的收敛半径ꎬ收敛域为.例求幂级数的收敛域及和函数.分析按求幂级数收敛域与和函数的基本方法去解.所以例求幂级数的收敛域及和函数ꎬ并求的值.分析求ｘ的幂级数的收敛域ꎬ根据幂级数的特点ꎬ把它拆成两个幂级数分别求和再相加...ꎬ例求级数的值.分析该级数通项比较复杂ꎬ可采用拆成两个级数分别求和再相加的方法.其中几何级数对的和ꎬ先用求幂级数的和函数的方法来求(两次积分)于是所以例求的和函数.分析本题用常规方法与幂级数来求.或..分析逆向使用等比幂级数的和函数公式ꎬ即利用()的形式ꎬ再展开成()的幂级数.解()()()[()][()]其中ꎬ所以 例将展开成的幂级数.解、.21.所以故例20把展开成麦克劳林级数.分析利用sint的展开式除以t后再逐项积分.解..第九章典型例题解析本章重点是一阶微分方程、可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法ꎬ难点是方程类型的识别和非齐次线性方程特解形式的确定.分析对已知曲线族求导ꎬ就可得微分方程.//.分析利用导数的定义与高阶无穷小的概念ꎬ先建立微分方程ꎬ然后解该微分方程.于是有分离变量得积分得例３验证下列函数是否为所给微分方程的解.为任意常数)...′′′.分析(１)中的函数是显式的ꎬ直接求导后代入ꎬ考察其是否满足方程.(２)中的函数是由方程所确定的隐函数ꎬ利用隐函数求导推出含有二阶导数的关系式.１函数满足方程ꎬ且含有一个任意常数ꎬ而微分方程是一阶的ꎬ所以函数是该微分方程的通解.(２)函数ｙ是由方程所确定的隐函数(ｘ)ꎬ利′′ꎬ整理得()ｙ″′′′ꎬ函数满足此二阶微分方程ꎬ且含有两个任意常数ꎬ所以是该微分方程的通解.分析该题为一阶线性方程求特解问题ꎬ利用通解公式来求解.解法一把方程化为根据通解公式ꎬ得通解为..例５求下列一阶微分方程的通解或满足初始条件的特解:)()ꎬꎻ(３)()()ꎻ(５)()()ꎬꎻ(φ(ｘ)为已知可导函数)ꎻ)解把方程改写为()()ꎬ这是可分离变量的方程.分离变量得即(２)分析利用三角公式.把方程化为可分离变量的方程分离变量得ç(此时≠０)÷..两边积分得所以方程的通解为(３)分析微分与前的表达式都是二次齐次函数ꎬ故此方程为齐次微分方程.整理得分离变量得两边积分得()ꎬ(４)分析这是可以化为齐次方程与可分离变量方程的方程.ꎬ..分离变量得两边积分得ꎬ把代入得(５)分析把方程整理改写成线性微分方程再求解.解ꎬ于是通解为(６)分析由于φ(ｘ)为已知函数ꎬ所以该方程是线性方程.利用通解公式ꎬ可得通解.解通解为φ(ｘ)∫φ(φ(ｘ)φ(ｘ)[φ(.27.解原方程改写为ꎬ利用通解公式可得把yx=2=-1代入上式ꎬ得C=3e.故方程的特解为(8)解法一把方程看成齐次方程ꎬ可改写为设y=xuꎬ代入方程得分离变量得两边积分得ꎬ得C=-1.所以方程的特解为解法二把方程看成伯努利方程ꎬ再解之.方程改写为由通解公式..于是ꎬ代入得ꎬ故方程的特解为注对同一微分方程ꎬ尽管解法不同ꎬ但结果是相同的.得ꎬ例７求下列微分方程的通解或特解:)分析所给的方程不属于所述四种一阶方程中的任何一种.解若对方程的两端除以后ꎬ得..此时ꎬ上式左端恰好是′.从而设ꎬ则上式化为可分离变量的方程分离变量后积分得ꎬ把代入ꎬ所以方程的通解为().(２)分析该方程不属于常见的四种一阶微分方程之一ꎬ函数是ｘ的复合函数ꎬ由复合函数求导法则ꎬ()′′.这样令ꎬ则原方程可化成一阶非齐次线性于是通解为例８求解下列微分方程的通解:化为一阶微分方程再求解.(１)..两边积分得从而再两边积分得方程的通解为一阶方程后求解.积分得分离变量得积分得ꎬ所以方程的解为解根据方程各项的特点ꎬ方程两边同除以′ꎬ得积分得′ꎬ..两边积分ꎬ得方程的通解为.即两边积分得()ꎬ即ꎬ于是有.32.关系.分析先建立微分方程ꎬ再求解.解根据题意ꎬ收益R与需求x应满足如下关系:x=10=0把方程改写为根据方程的特点ꎬ设u=R3ꎬ则ꎬ代入方程得这是一阶非齐次线性方程ꎬ其通解=Cx2=Cx2-x3.将Rx=10=0代入ꎬ得C=10.所以收益R与需求x之间的关系为R3=10x2-x3ꎬ即例11如果级数在收敛区间(-RꎬR)内的和函数是微分方程的一个解ꎬ求该级数的和函数.分析由题意可知ꎬ微分方程的一个解就是该级数的和函数ꎬ因此求出微分方程的一个特解就可以了.解设ꎬy(0)=1.方程是伯努利方程.令z=y-5ꎬ则ꎬ代入方程得由一阶非齐次线性方程的通解公式ꎬ得=e-x(-xex+ex+C)=Ce-x+1-x=e-x(-xex+ex+C)=Ce-x+1-xꎬ例12求曲线ꎬ使曲线上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距...分析本题根据几何知识ꎬ建立微分方程ꎬ再解之.方程为′(Χ)ꎬ截距式为因此切线在ｘ轴上的截距为于是即分离变量得两边积分得即把代入ꎬ所求的曲线为分析这是含有二重积分的方程ꎬ根据二重积分的特点ꎬ利用极坐标变换简化ꎬ再化为微分方程求解.于是..ππ(这是一阶非齐次线性方程ꎬ得通解为π(π().例利用常数变易法求微分方程ｙ″′的通解.分析所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程ꎬ按常数变易法解方程的步骤求解就可以了.解对应齐次方程的特征方程为ꎬ解得两个相异的实根ꎬ.对应方程组积分得原方程的通解为例求下列微分方程的通解:)分析这些都是二阶常系数非齐次线性微分方程ꎬ先求出对应齐次方程的通解ꎬ再用待定系数法求出非齐次线性方程的特解.两者相加即得非齐次线性方程的通解.的通解为().的通解为()...∗()ꎬ∗′∗″代入原方程亦可ꎬ但较繁)得∗().所以原方程的通解为所以原方程的通解为∗()().(２)把方程改写为ꎬ对应齐次方程的特征方程为特征根为ꎬ对应齐次方程的通解为 ().≡所以ꎬ原方程的通解为∗＝().＝(３)ꎬ对应齐次方程的通解为(３)①②根据非齐次线性微分方程特解的叠加原理ꎬ要分别求出方程①②和的特解∗和∗.∗＝().()≡ꎬ∗＝()()ꎬ(∗)′＝()()ꎬ(∗)″＝()()ꎬ..[()][()]ꎬ所以ꎬ原方程的通解为例设有级数.)求此级数的收敛域ꎻ分析该级数缺奇次幂项ꎬ不能用求收敛半径的定理来解ꎬ应用比值判别法.((３)对应齐次方程的特征方程为ꎬ特征根为±１ꎬ对应齐次方程的通解为∗级数的和函数..第十章典型例题解析本章重点是一阶、二阶常系数线性差分方程的解法ꎬ难点是方程类型的识别和非齐次线性方程特解形式的确定.分析利用差分定义或差分运算法则计算.(３)ΔΔ()Δ()Δ()Δ()()Δ()()[()()()].注求两函数积或商的差分用运算法则较繁ꎬ而用定义求反而简明.例２求下列一阶差分方程的通解与特解:分析这是两个一阶常系数非齐次线性差分方程ꎬ先求其对应齐次方程的通解ꎬ再求非齐次方程的一个特解∗ꎬ