高等数学（下册）-期末考试试卷详解

..高等数学(下)期末考试试卷(Ⅰ)详解则解解由于的原函数不是初等函数ꎬ所以二重积分化为累次积分时不能先对ｙ求积解６.级数.(填“绝对收敛”“条件收敛”或“发散”)解因为所以发散...解由题ꎬ将方程分离变量得ꎬ两边同时积分得()ꎬ则ꎬ由初始条件知ꎬ所以满足初始条件的特解为解该方程的特征方程为ꎬ特征根为ꎬ因此原方程的通解为.差分方程Δ的通解为.解首先将方程化为标准形式为ꎬ其特征方程为ꎬ特征根为.因此对应齐次方程的通解为..由于１不是特征方程的根ꎬ设所求特解为∗ꎬ代入方程得.即方程的特解为.差分方程Δ的通解为.所以函数的极限随ｋ的变化而不同.故极限不存在ꎬ因此函数不连续.但所以偏导数存在.比较判别法可知收敛ꎬ即原级数绝对收敛.). .注意:如果题目中没有存在这一条件ꎬ则收敛半径不确定ꎬ没有由题是对应齐次方程特征根的二重根ꎬ则对应齐次方程为ｙ″/.又为非齐次方程的特解ꎬ将其代入非齐次微分方程中得.故ꎬꎬ.解ꎬ..(..)..(..)ꎬ).....５.求幂级数的收敛域及和函数...ꎬ故应齐次方程的特征根为±ｉꎬ则对应齐次方程通解为ꎬ假设特解为ｙ∗＝ꎬ代入方程得ꎬ所以非齐次方程的通解为解因为ꎬ所以由正项级数比较判别法的极限形式可得收敛ꎬ且..若生产函数为ꎬ其中α＋β.假设两种要素的价格分别为和ꎬ试问:当产出量为时ꎬ两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?解由题ꎬ总费用函数为ꎬ则该问题可化为条件极值问题.解方程组得í得íï值点.(α)β(α)βèβ,(β)αèα,íïλβꎬ为唯一驻点ꎬ由于费用最小的点一定存在为唯一驻点ꎬ由于费用最小的点一定存在ꎬ所以íï(α)βèβ(α)βèβ,即为最小(β)即为最小(β)αèα,五、证明题(本题５分)若正项级数收敛ꎬ证明收敛. ..高等数学(下)期末考试试卷(Ⅱ)详解故－ . 解解..所以７.级数.(填“绝对收敛”“条件收敛”或“发散”)ｎ但单调递减且趋于０ꎬ由交错级数的莱布尼兹判别法可知条件收敛.８.以和为特解的一阶非齐次线性微分方程为.解由于为对应的齐次方程的解ꎬ即对应的齐次方程为ｙ/.设所求微 ＝..则原方程的通解为.考虑初值得ꎬ.则原方程的通解为.考虑初值得ꎬ.所以..差分方程Δ的通解为.解由于Δꎬ则方程转化为ꎬ转化为标准形式.差分方程Δ的通解为.函数偏导数存在和函数连续无关ꎬ既非充分也非必要条件.例如ｆ(ｘꎬｙ)在但函数不连续...２所以故.则与都收敛则与都收敛则与敛散性不定则与敛散性不定由题表示所有正项的和ꎬ表示所有负项的和ꎬ所以若绝对收敛ꎬ因为≤ꎬ..若条件收敛,则和发散(否则,若和收敛,则和绝对收敛,即绝对收敛,矛盾).对应齐次方程的特征方程为,其根为由此设非齐次方程特解为ｙ*().三、计算题(每小题７分,共分),,所以解由对称性,可知..].对两边求导ꎬ得故.12.6.将f(x)=cos3x展开成x=0处的泰勒级数.解x的通解.故特解为,其通解为四、综合题(每小题8分,共16分)1.(1)写出ln(1+x)的麦克劳林级数;(2)设求的值.解则2.设某厂生产甲、乙两种产品,其利润函数L=-x2-4y2+8只)分别是其产量,如果现有原料15000千克(不要求用完),生产甲、乙两种产品每千只都要消耗原料2000千克.求:(1)使利润最大时的x,y和最大利润;(2)如果原料降至12000千克,此时使利润最大的x,y和最大利润.解(1)本问实质上是在三角形区域上考虑利润=-(x-4)2-4(y-3)2+37的最大值.由利润函数的形式可得其在(4,3)点处取得最大值,而(4,3)∈D1,则利润函数在(4,3)处取得最大值,最大利润为37.(2)本问实质上是在三角形区域D2={(x,y)x≥0,y≥0,x+y≤6}上考虑利润函数..可能的极值点ꎬ接下来考虑的边界.