2026年高考数学一轮复习专题8.2 两条直线的位置关系（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题8.2两条直线的位置关系（举一反三讲义）

【全国通用】

【题型1求与已知直线平行、垂直的直线方程】...................................................................................................3

【题型2两条直线平行及其应用】...........................................................................................................................5

【题型3两条直线垂直及其应用】...........................................................................................................................7

【题型4直线的交点问题】.......................................................................................................................................8

【题型5点到直线的距离公式的应用】...................................................................................................................9

【题型6两条平行直线间的距离公式的应用】.....................................................................................................11

【题型7与距离有关的最值问题】.........................................................................................................................12

【题型8点、线间的对称问题】.............................................................................................................................14

【题型9直线系方程】.............................................................................................................................................17

1、两条直线的位置关系

考点要求真题统计考情分析

(1)能根据斜率判定两条直线从近几年的高考情况来看，高考对

2022年上海卷：第7题，5分

平行或垂直两条直线的位置关系、距离公式的考查

2024年北京卷：第3题，4分

(2)能用解方程组的方法求两比较稳定，多以选择题、填空题的形式

2025年全国一卷：第7题，5

条直线的交点坐标考查，考查内容、频率、题型与难度均

分

(3)掌握平面上两点间的距离变化不大；复习时应加强对两条直线的

2025年天津卷：第12题，5

公式、点到直线的距离公式，位置关系、距离公式、对称关系的掌握，

分

会求两条平行直线间的距离灵活求解.

知识点1两条直线的位置关系

1．两条直线的位置关系

斜截式一般式

l1:y=k1x+b1

方程

l2:y=k2x+b2

（当时，记为）

相交k1≠k2

（当时，记为）

垂直k1k2=-1

·或

平行k1=k2且b1≠b2

（当时，记为）

A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)

重合k1=k2且b1=b2（当时，记为）

2．平行的直线的设法

平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.

3．垂直的直线的设法

垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.

知识点2直线的交点坐标

1．两条直线的交点坐标

(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，

此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，

则两条直线重合.

(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线，直线.

方程组的解一组无数组无解

直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个

直线l1和l2的位置关系相交重合平行

2．直线系方程

过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，

λ∈R，但不包括直线l2.

知识点3距离公式

1．两点间的距离公式

平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.

2．点到直线的距离公式

(1)定义：

点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离

是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.

3．两条平行直线间的距离公式

(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.

知识点4点、线间的对称关系

1．六种常用对称关系

(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).

(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).

(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).

(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).

2．对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.

【方法技巧与总结】

1．判断两条直线位置关系的注意点：

(1)斜率不存在的特殊情况；(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

2．使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等.

【题型1求与已知直线平行、垂直的直线方程】

【例1】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线

垂直的直线方程为（）�−𝑚+�−1=0�−2�+

4=A0．B．

C．2�+�−3=0D．2�+�+1=0

【答案】�A−2�+1=02�−�+3=0

【解题思路】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程

化简即可.�(1,1)

【解答过程】由，得，

直线�−𝑚+�恒−过1点=0．�−1=�(�−1)

因为�−𝑚+�−1的=斜0率为，�(1,1)

1

所以所�−求2直�线+的4=斜0率为，其2方程为，即，

故选：A．−2�−1=−2(�−1)2�+�−3=0

【变式1-1】（2025·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是

（）��−�=0�−2�

A．B．

C．�−�+2=0D．�−2�+4=0

【答案】�C−�−2=0�+2�−4=0

【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解.

【解答过程】因为直线平行�于直线�−�+，�所=以0直线可设0,为−2，

因为在轴上的截距是�，则过点�−�=，0代入直线方�程得�−�+�=0，

解得�，所以直线−2的方程是0,−2.0−−2+�=0

故选：�C=.−2��−�−2=0

【变式1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）将直线绕点顺时针旋转得到直线，

则直线的方程是（）�1:�+�−2=0(2,0)90°�2

A．�2B．

C．2�−�+4=0D．�+�+2=0

【答案】�C−�−2=02�−�−4=0

【解题思路】由题意可知，，所以的斜率之积为，可得到的斜率，再由过点，即可得

到答案．�1⊥�2�1,�2−1�2�2(2,0)

【解答过程】设直线的斜率分别为，由可知，，

由题意可知，�，1,�所2以�1，,�所2以�1:�+．�−2=0�1=−1

因为过点�1，⊥所�2以由直�线1的⋅�点2=斜−式1方程可知�2=的1方程为，

即�2(2,0)．�2�−0=1⋅(�−2)

故选�−：�C−.2=0

【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点

且与直线垂直的直线的方程为（）�(1,2)�(−2,3)�

A．���B．

C．3�−�−1=0D．3�−�−2=0

【答案】3A�+�−5=03�−�−5=0

【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式

方程可得解.��=3

【解答过程】由题意知，，则直线的斜率,

3−21

��

因为直线与直线垂�直(1，,2根)据�两(−直2线,3垂)直，若存�在�斜率，�则两=斜−率2−乘1=积−为3，

所以直线�的斜率��，再由直线经过点，−1

则由点斜式�方程可��得=直3线的方程为��(1,2)，

即，��−2=3(�−1)

故选3�：−A�.−1=0

【题型2两条直线平行及其应用】

【例2】（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，

则（）�1�−2�+3�+3=0�22�+�−1�+2=0

�A=．4B．1C．1或-4D．-1或4

【答案】D

【解题思路】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可.

【解答过程】依题意得，�，

得，�−2�−1=2×3

2

解得�−3�或−4=0，

若�=时4，直�线=−1与直线平行，符合题意；

若�=4时，直线�1:2�+3�+3=0与直线�2:2�+3�+2=平0行，符合题意；

综上�所=−述1：或�1:�−�−．1=0�2:�−�+1=0

故选：D.�=4�=−1

【变式2-1】（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平

1212

行”的（）条件��:��+�=1�:�+𝑚=2��=1�,�

A．充分不必要B．必要不充分

C．充分必要D．既不充分又不必要

【答案】A

【解题思路】利用两者之间推出的关系可得条件关系.

【解答过程】若，则直线，直线，此时平行，

若平行，则�=1即�1:，�+�=1�2:�+�=2�1,�2

2

当�1,�2时，�平=行1，�=±1

当�=1时，�1直,�2线，直线，此时也平行，

故�=−平1行时推不出�1:−�，+故�=“1”是“�2:�−平�行=”−的2充分不必�1要,�2条件，

故选�1,：�2A.�=1�=1�1,�2

【变式2-2】（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，

12

则“”是“”的（）�∈���+2𝑚−1=0�3�−1�−𝑚−1=0

�A=．0充分不�1/必/�要2条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解.

【解答过程】当时，，则；

�=0�1:�−1=0,�2:−�−1=0�1//�2

若，则，解得或.

1

�1//�21×(−�)=2�(3�−1)�=06

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：�A=.0�1//�2

【变式2-3】（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实

数的值为（）�1:�+𝑚−5=0�2:��+�+3=0�1∥�2

�A．1B．C．或1D．0

【答案】C−1−1

【解题思路】根据两直线平行时系数的关系求解即可.

【解答过程】根据两直线平行，可知，

2

1×1=�

解得.3�≠1×−5

故选：�C=.±1

【题型3两条直线垂直及其应用】

【例3】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则

（）�(�,−1)�(4,�)��2�−�+3=0�=

A．B．C．D．

72

−6339

【答案】A

【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得.

【解答过程】由题意可得，解得.

−1−�

�−4⋅2=−1�=−6

故选：A.

【变式3-1】（2025·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“

12

”是“”的（）�:�+𝑚+1=0�:�+(1−2�)�−3=0�∈

{1,−A2．}充分�1不⊥必�2要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解题思路】由，计算得或，即可判断.

1

12

【解答过程】因为�⊥�，�=1�=−2

所以�1⊥�2，

解得1+�(或1−2�)=，0

1

�=1�=−2

所以“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：�D∈．{1,−2}�1⊥�2

【变式3-2】（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（）

A．��+B�．�+�=0�=2�−3

C．�=−2�≠0D．�=2�≠0

【答案】�D=−2�≠0�=2�≠0

【解题思路】由直线垂直的充要条件即可列式得解.

【解答过程】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，

1

�=2�−3��+𝑚+�=0−2

即且，，所以.

�1

−�=−2�≠0�≠0�=2�≠0

故选：D.

【变式3-3】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则

实数的值为（）�1:2�−�+1=0�2:�+𝑚−3=0

A�．2B．-2C．D．

11

2−2

【答案】A

【解题思路】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解.

【解答过程】当�时，得，此时与不垂直；

�=0�2:�=3�1�2

当时，若，则，解得.

1

�≠0�1⊥�22×−�=−1�=2

故选：A.

【题型4直线的交点问题】

【例4】（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（）

A．B．2�+C．5�−7=03�+2D�．+6=0

【答案】C4,33,4−4,3−4,−3

【解题思路】联立方程求解即可.

【解答过程】由方程组，得，即交点为．

2�+5�−7=0�=−4

−4,3

故选：C．3�+2�+6=0�=3

【变式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与

平行，则的方程是（）��1:�−�=0�2:�+�−2=0

3�+A4．�−5=0�B．

C．3�+4�+7=0D．3�+4�−7=0

【答案】4B�−3�+1=04�−3�−1=0

【解题思路】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直

线的方程，求出实数�1的�值2，即可得出直线的方程.�3�+4�+�=0

【解�答过程】联立直线�、的方程，�，解得，

�−�=0

�1�2�=�=1

故直线、的交点坐标为，�+�−2=0

因为直线�1与�2直线1,1平行，设直线的方程为，

将点�的坐标代3�入+直4线�−的5方=程0可得�，解得3�+4�+.�=0

因此，1,直1线的方程为�.3+4+�=0�=−7

�3�+4�−7=0

故选：B.

【变式4-2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条

直线的交点坐标为（）2�−�+3=0�+𝑚−1=0

A．B．C．D．

【答案】C1,5−1,−1−1,1−2,−1

【解题思路】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点.

【解答过程】直线与�互相垂直,可得，即.

把代入直线2�−�+3=0，得�到+𝑚−1=0.2×1+(−�)=0�=2

联立�=方2程组�+𝑚−1=0�+2�−1=0

2�−�+3=0

解得.把�+2�−1代=入0，得.

所以交�=点−坐1标为�=−1.�=2�+3�=2×(−1)+3=1

故选：C.(−1,1)

【变式4-3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：

的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（）�1�+2�−4=0�2��−�+2�+1=0

A．�B．

1111

−6,2−2,6

C．D．

1111

−∞,−2∪2,+∞−∞,−2∪−6,+∞

【答案】A

【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案.

【解答过程】由题意联立，解得2−4�，

�=2�+1

�+2�−4=06�+1

��−�+2�+1=0�=2�+1

即直线：与直线：的交点为，

2−4�6�+1

�1�+2�−4=0�2��−�+2�+1=02�+1,2�+1

由题意可得2−4�，解得，

2�+1>011

6�+1−6<�<2

2�+1>0

即实数的取值范围是，

11

�−6,2

故选：A.

【题型5点到直线的距离公式的应用】

【例5】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距

∘

�2,2135�−2,0

离为（）

A．B．C．D．

【答案】C2223242

【解题思路】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可.

【解答过程】易知直线的斜率为�，又过点，

∘

所以其方程为�，tan即135=−1，�2,2

�−2=−1�−2�+�−4=0

可得点到直线l的距离为.

−2+0−4

�−2,0�=1+1=32

故选：C.

【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离

相等，则a的值为（）�−3,−4�6,3��+�+1=0

A．B．C．或D．或

171717

3−9−3−93−9

【答案】C

【解题思路】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在

直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值.

【解答过程】法一：因为点，到直线l：的距离相等，

所以，即�−3,−4�6,3，��+�+1=0

−3�−4+16�+3+1

22

�+1=�+1−3�−3=6�+4

化简得，解得或；

217

27�+30�+7=0�=−3�=−9

法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故；

3−−477

��//��−3,−4�6,36−−3=9−��=−9

若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则．

313�11

�,��2,−2��+�+1=02−2+1=0�=−3

经检验，或均符合题意.

17

�=−3�=−9

故选：C.

【变式5-2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（）

3,72�−�−3=0

A．B．C．D．

45

【答案】D−42225

【解题思路】根据点到直线的距离公式求解即可.

【解答过程】点到直线的距离.

2×3−7−345

225

�=2+−1=

故选：D.

【变式5-3】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线与相交于点，

则点到直线的距离为（）�1:�+�−3=0�2:3�−�−1=0�

��3:2�−�+1=0

A．B．C．D．

525

【答案】A55525

【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离．

【解答过程】由�得，即，

�+�−3=0�=1

�(1,2)

所以点到直线3�−�−1=0�的=距2离为，

2−2+15

3

故选：A�．�:2�−�+1=0�=5=5

【题型6两条平行直线间的距离公式的应用】

【例6】（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（）

�1:2�−3�+2=0�2:𝑚−�+2=0

A．B．C．D．

6213613

【答案】D13131313

【解题思路】先根据两直线平行求出的值，再由两直线间的距离公式求解.

【解答过程】因为直线�与平行，

12

所以�:2�，−即3�+2，=0�:𝑚−�+2=0

3

2�−−1×−3=0�=2

则，也就是，

3

�2:2�−�+2=02�−3�−4=0

所以两直线间的距离为.

2−−4613

22

2+3=13

故选：D.

【变式6-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，

则这两条直线间的距离为（）�1�+2�−3=0�2��−2�+1=0�∈�

A．B．C．D．

525445

【答案】B5555

【解题思路】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解.

【解答过程】因为直线：与直线：平行，

12

所以，所以��+，2�−3=0���−2�+1=0�∈�

�−21

1=2≠−3�=−1

所以直线：即，

2

所以这两条�直−线�间−的2�距+离1为=0�+2�−1=.0

−1−−325

22

�=1+2=5

故选：B.

【变式6-2】（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，

则点与点之间距离的最小值是3�．+4�−5=0�3�+4�+10=0�

【答案�】�

【解题思路3】利用平行线之间的距离公式求解即可.

【解答过程】直线和直线互相平行，

故点与点之间距3离�+的4最�小−值5=即0两条直线3间�的+距4�离+，10=0

且两条�直线�间的距离：.

−5−10

22

�=3+4=3

故答案为：.

【变式6-3】3（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，直线，

若，则与之间的距离为.�∈��1:3�−�+7=0,�2:��+�−1=0

【答�1案∥】�2�1�2

【解题思路3】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解即可.

【解答过程】由得�，解得，

则直线�1∥�23×，1−即−1×�=0�=−3

22

与�之:−间的3距�+离�为−1=0�:3�−�+1=0

7−1

∴�1�23+1=3

故答案为：.

3

【题型7与距离有关的最值问题】

【例7】（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（）

22

A．B．C．3�+4�=5D．1�+�

134

555

【答案】D

【解题思路】为直线上的点到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可.

22

【解答过程】�+�为直线3�+4�=5上的点(�,�)到原点距离的平方，

22

所以的�最+小�值为原点3到�直+线4�=5(�的,�距)离的平方，

22

又原点�到+直�线的距离3�+4�=5，

|3×0+4×0−5|5

22

3�+4�=5�=3+4=5=1

所以的最小值为1．

22

故选：�D+.�

【变式7-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与

上移动，则的中点到原点的�距�1离,�的1最�小值�2为,�2（）�1:5�−12�+2=0

2

�:5�A−．12�+8=0B．���C．D．

51

132213

【答案】A

【解题思路】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解.

【解答过程】设的中�点,�的坐标为，则有，�

2�=�1+�2

����,�

又，分别在直线2�=与�1+�2上，

112212

∴联�立�得,���,�，两�式:5相�加−得12�+2=0�:5�−12�+8=0，

5�1−12�1+2=0

5�1+�2−12�1+�2+10=0

∴5�2−12�2+，8即=0，

即10�的−中2点4�+在1直0=线05�−12�+5上=移0动，

∴��到原点距�离的最小5值�−即1原2�点+到5直=线0的距离．

55

2213

�5�−12�+5=0�=5+=

故选：A.−12

【变式7-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知函数（a，且）在区间

2

上有零点，则的最小值为（）��=�−2�+��−�+1�∈��≠2

22

1,2A．�+B�．C．2D．1

31

22

【答案】D

【解题思路】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值.

22

【解答过程】依题意在区间�+�上有零点，

2

整理得��=�−2�在+��−上�有+解1=，01,2

22

表示�坐−标1系�+��中+，1直−线2�=01,2（看成参数）上的点，

22

所�,以�表示原𝑎点�到直线�−1�+��+1−2�=上0的�点的距离的平方，

2222

设�+��−1�+��+1−2�=0，

242

1−2�24�−4�+133

4242123

�=222,�=�−�+1=4−�−�+1=4−2

由于�−1+�，所以当时，取得最�−小2值+4为，

22

所以1≤�≤的2最,1小≤值�为≤4.�=1�4−3=1

22

故选：�D+.�1

【变式7-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世

纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，

，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，��，1,动�1点

�满足�2,�2��，是直线��=上�1的−动�2点+，则�1−�2的最小值�为1（−）1,0�21,0�

��1+��2=4��:�+2�−5=0��

A．B．C．D．

2554535

【答案】A5555

【解题思路】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析

式，并画出其图象，结合�对称性可将图�象补充完整，数�形结合求解即可.�≥0,�≥0

【解答过程】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称．

当时，���，

12

即�≥0,�≥0��+��=|�+1|+|�−1|+2|�|=�+1+|�−1|+2�=4

1,0≤�≤1,

�=

画出此函2数−的�,1图<象�，≤并2结.合对称性可得点的轨迹是如图