2026年高考数学一轮复习专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（举一反三讲义）（全国）（原卷版）

专题7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1基本立体图形的结构特征】 5【题型2斜二测画法及其应用】 6【题型3立体图形的展开图】 7【题型4最短路径问题】 8【题型5多面体的表面积】 9【题型6旋转体的表面积】 10【题型7空间几何体的体积】 10【题型8空间几何体的截面问题】 111、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考点要求真题统计考情分析(1)认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运简单物体的结构(2)知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题(3)能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图2023年新高考I卷：第12题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第14题，12分2023年全国乙卷（理数）：第8题，5分2024年新高考I卷：第5题，5分2024年全国甲卷（文数）：第14题，5分、（理数）：第14题，5分2025年全国二卷：第14题，5分2025年上海卷：第7题，5分、第18题，14分立体几何是高考的重点、热点内容.空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在复习时，要加强几何体表面积和体积的解题训练.知识点1空间几何体的结构特征1．多面体的结构特征棱柱棱锥棱台定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.图形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱锥S-ABCD(或四棱锥S-AC)棱台ABCD-A'B'C'D'结构特征(1)底面互相平行且全等；

(2)侧面都是平行四边形；

(3)侧棱都相等，且互相平行.(1)底面是多边形；

(2)侧面都是三角形；

(3)侧面有一个公共顶点.(1)上、下底面互相平行，且是相似图形；

(2)各侧棱的延长线交于一点；(3)各侧面为梯形.分类棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……由几棱锥截得的就叫几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.2．旋转体的结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.图形及表示圆柱OO'圆锥SO圆台OO'球O结构特征(1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.

(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.(1)底面是圆面.

(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.

(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.

(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.

(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.

(2)球的截面都是圆面.棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.3．空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.知识点2斜二测画法和展开图的常用结论1．斜二测画法的常用结论：(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.2．几何体的表面展开图的常用结论：几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.知识点3简单几何体的表面积与体积1．多面体的侧面积、表面积和体积多面体图形侧面积与表面积体积棱柱直棱柱的侧面展开图是矩形，

S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积)V柱=S底h(S底为底面面积，h为高)棱锥正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch'(C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积)(S底为底面面积，h为高)棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积)(S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)2．旋转体的侧面积、表面积和体积旋转体图形侧面积与表面积体积圆柱圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)体积V=S底h(S底为底面面积，h为高)圆锥圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l)体积V=S底h(S底为底面面积，h为高)圆台圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，

表面积体积(S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)球半径为R的球的表面积S=4πR2半径为R的球的体积知识点4最短路径问题1．最短路径问题的解题策略(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面.(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解.知识点5空间几何体表面积与体积的常见求法1．常见的求几何体体积的方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2．求组合体的表面积与体积的方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【方法技巧与总结】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).2．直观图与原平面图形面积间的关系：，.【题型1基本立体图形的结构特征】【例1】（2025·安徽马鞍山·二模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，截去三棱锥A．五棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台【变式1-1】（2025·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是2cm和4cm）铁皮材料，通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（A．32cm B．1cm C．3【变式1-2】（2025·云南昆明·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．四棱柱的所有面均为平行四边形B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体【变式1-3】（2025·湖北黄冈·三模）将一个棱长为10cmA．底面半径为8cm，高为10cm的圆柱体 B．底面直径为8cmC．半径为6cm的球体 D．各棱长均为15【题型2斜二测画法及其应用】【例2】（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′DA．5 B．3 C．2 D．2【变式2-1】（24-25高一下·广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，C′B′⊥x′轴，C′

A．5 B．10 C．102 D．【变式2-2】（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形A′B′C′D′A．AB．AB=3C．四边形ABCD的周长为10+D．四边形ABCD的面积为10【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x′轴和y′轴平行），

A．82 B．122 C．24【题型3立体图形的展开图】【例3】（2025·浙江金华·二模）如图，AB，CD是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的表面积为（

）A．6+42 B．C．2+22+43【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（A．22π B．2π3 C．【变式3-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（A．4π3 B．2π C．3【变式3-3】（2025·河南新乡·一模）“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为3分米，下底长为23分米，梯形的腰长为13分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（

A．732立方分米 B．73立方分米 C．7立方分米 【题型4最短路径问题】【例4】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径AB=2，圆锥SO的体积为223π，点M在母线SB上，且SM=13SBA．7 B．13 C．19 D．3【变式4-1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,AAA．281 B．283 C．285 D．14【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高BC为9 cm，AB是底面的直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短距离是【变式4-3】（2025·海南海口·二模）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为62的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达点D的最短路线长为

【题型5多面体的表面积】【例5】（2025·陕西西安·一模）正三棱锥S−ABC侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为2时，三棱锥的侧面积为（

）A．34 B．1 C．54【变式5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BB1上一点，

A．33+31C．8 D．9【变式5-2】（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为20cm和10cm的“升”，侧棱长为15cm，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为【变式5-3】（2025·陕西汉中·三模）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E−ABCD−F，则该八面体的表面积为.

【题型6旋转体的表面积】【例6】（2025·海南·模拟预测）已知一个圆锥的母线长为5，高为2，则该圆锥的表面积为（

）A．55π B．5+1π C．2【变式6-1】（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为5633πA．12π B．18π C．24π【变式6-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（

）A．32 B．94 C．36【变式6-3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为π3，面积为83．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（A．16π B．26π C．163【题型7空间几何体的体积】【例7】（2025·湖北武汉·三模）如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，AB=10，A1B1=2，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的A．112 B．4963 C．18509【变式7-1】（2025·安徽·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（

）A．4π3 B．28π9 C．【变式7-2】（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥平面ABCD，EF=2，其余棱长都为1，则这个几何体的体积为（

）A．22 B．2 C．223【变式7-3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是C1D1，ADA．1316 B．5972 C．119144【题型8空间几何体的截面问题】【例8】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E，F分别是棱CD，

A．45+42 B．55+17【变式8-1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点FA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【变式8-2】（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面α，若平面α/平面PCD，则平面α截正四棱锥P−ABCD的截面面积为（

A．534 B．5158 C．【变式8-3】（2025·河北秦皇岛·一模）在《通用技术》课上，某同学设计了如图所示的多面体ABCDEFKLHMNG，已知平面LMH//平面ABCDEF，平面AKF//平面CDGHMN，平面BCN//平面EFKLHG，平面DEG//平面ABNMLK，AB=CD=EF=KL=MN=HG=2，且△LMH,△AKF,△BCN,△DEG均为边长为1的正三角形，该同学欲过LK的中点P作该几何体的截面α，若LK⊥α，则截面α的面积为（

）A．42 B．1524 C．7一、单选题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台ABCD−A1B1C1DA．22 B．2 C．2 D．2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）半径为1的球O内切于正三棱柱ABC−A1BA．23 B．43 C．633．（24-25高一下·安徽合肥·期中）从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”.下列几何体可以“一笔画”的是（

）A． B．C． D．4．（2025·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D′是B′C′的中点，且A′D′//yA．2 B．2 C．22 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，一个沙漏模型正好放进一个棱长为2的正方体中，使得沙漏底面与正方体底面位于同一平面内，且其底面所在的圆是正方体底面的内切圆，则该沙漏的体积是（

）A．2π3 B．π C．4π6．（2025·福建泉州·模拟预测）如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（

）A．312 B．12 C．37．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形ABCD中，AB=23，BC=2，以AC所在直线为旋转轴，将矩形ABCD旋转一周形成一个几何体Ω，则Ω的体积为（

A．289π B．283π C．8．（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，B,C分别为棱的中点，则过点A,B,C的平面截该木块所得截面的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰梯形C．五边形 D．六边形二、多选题9．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′

A．A′D′C．四边形ABCD的面积为62 D．四边形ABCD的周长为10．（2025·河北衡水·三模）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（

）A．正四棱锥的高为5B．该几何体的表面积为100C．该几何体的体积为2000D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为150+5011．（2025·山东·模拟预测）在棱长为3的正四面体ABCD中，已知点M,N分别在线