4.1.2 垂线（同步练习）（解析版）- 华东师大版（2024）七上

4.1.2垂线题型一理解垂线的定义1．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图，CO⊥AB,DO⊥AB，O为垂足，那么C、A．两点之间线段最短B．平行于同一条直线的两条直线互相平行C．两点确定一条直线D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．【详解】CO⊥AB,DO⊥AB，O为垂足，那么故选：D．【点睛】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③不在同一直线上的四点至少可画6条直线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中正确的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】本题主要考查了平面几何中概念的理解，根据垂线、对顶角、点与直线的关系、邻补角和角平分线的定义逐项判断即可．【详解】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；②相等的两个角不一定是对顶角，故②错误；③不在同一直线上的四个点可画4条或6条直线，故③错误；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故④正确．故选D．3．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）两条直线相交所构成的四个角，其中：①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；③有一对邻补角相等；④有三个角都相等．以上4种条件中，能判定这两条直线垂直的条件有（

）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【分析】根据垂直定义，对顶角、邻补角，余角和补角的定义进行分析，逐一判断即可．【详解】解：两条直线相交构成四个角，①有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，正确；②有一对对顶角相等，不能判定两条直线互相垂直，错误；③有一组邻补角相等，则这两个角都为90°，能判定两条直线互相垂直，正确；④有三个角都相等，则每个角都等于90°，能判定两条直线互相垂直，正确；所以，能判定这两条直线互相垂直的有：①③④，共有3个，故选：C．【点睛】本题考查了垂线，角的概念，对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，从点A出发的四条射线AB，AC，AD，AE满足AB⊥AC，AD⊥A．∠CAE=∠BADC．∠CAD-∠EAB【答案】B【分析】本题主要考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，根据垂直的定义得到∠DAE=∠CAB【详解】解：∵AB⊥AC，∴∠DAE∴∠CAE∴∠CAE∴∠CAD根据现有条件无法得到A、C、D中的结论，故选：B．5．（21-22七年级下·广东广州·期末）如图，AB、CD相交于O，EO⊥AB，下列结论错误的是（A．∠1与∠2互余 B．∠1与∠3是对顶角C．∠3与∠AOC是邻补角 D．【答案】B【分析】本题主要考查垂直、余角、补角、对顶角、邻补角的定义，关键是理解定义会根据定义判断出相应的角．【详解】解：∵EO⊥∴∠1与∠2互余，∴∠1+∠2=90°，直线AB、CD相交，则∠3与∠2是对顶角，∴∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°，则∠3与∠1不是对顶角，∠3与∠AOC所以只有B．∠1与∠3是对顶角是错误的，符合题意．故选：B．题型二垂线6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，已知直线AB，CD，点P在直线CD上，用三角尺过点P画直线AB的垂线l．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．【详解】解：∵三角尺过点P画直线AB的垂线l：一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线AB上，二、移动三角板另一直角边到已知点P，三、过已知点P画垂线l，四、画垂直符合，∴C项符合题意，A、故选C．【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键．7．（2022·河北石家庄·二模）如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线l垂直，请借助三角板判断，与直线l垂直的是（

）A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d【答案】B【分析】用三角板的两条直角边中的一条与直线L重合，再另一条边直角边能与a、b、c、d中的那条边重合即可得解．【详解】解：用三角板的两条直角边中的一条与直线l重合，再另一条边直角边能与b重合，故选：B．【点睛】本题主要是考查了两条直线垂直的性质，两条直线垂直其所夹的角为直角．8．（22-23七年级下·北京朝阳·期末）如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（

）

A．线段AB上 B．线段AB的延长线上 C．线段AB的反向延长线上 D．直线AB外【答案】B【分析】根据作垂线后垂足的位置直接判断即可．【详解】解:如图所示，垂足在线段AB的延长线上；故选：B．

【点睛】本题考查了对线段的延长线和反向延长线等概念的认识，涉及到了作垂线，解题关键是掌握相关概念．9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，P是∠AOB的边OB(1)过点P画OA的垂线，垂足为点H．(2)PH________PO（填“>”、“<”或“=”），依据是________________．【答案】(1)图见解析(2)<，垂线段最短【分析】本题考查画垂线，垂线段最短．掌握垂线段最短，是解题的关键．（1）根据题意，画出垂线即可；（2）根据垂线段最短，进行作答即可．【详解】（1）解：如图，PH即为所求；（2）∵PH⊥∴PH<故答案为：<，垂线段最短．10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)画线段AB，画直线AC．(2)过点D画直线AC的垂线，垂足为E．(3)点D到直线AC的距离为线段的长度．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DE【分析】本题考查作图-应用与设计作图、直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．（1）根据线段、直线的定义画图即可．（2）结合网格，过点D作DE垂直直线AC即可．（3）由点到直线的距离可知，点D到直线AC的距离为线段DE的长度．【详解】（1）解：如图，线段AB、直线AC即为所求．（2）如图，DE即为所求．（3）点D到直线AC的距离为线段DE的长度．故答案为：DE．题型三垂线段最短11．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；故选：C．12．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（A．

B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可．【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：D．13．（23-24七年级上·云南昆明·期末）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA=5，PB=4，PC=3，则点PA．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3【答案】A【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线l的距离h≤PC=3，即故选：A．14．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，下列线段中，长度最短的是（

）A．PD B．PC C．PB D．PA【答案】C【分析】本题考查了垂线段最短：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短．据此即可求解．【详解】解：∵PB⊥∴长度最短的是PB，故选：C15．（22-23七年级下·河南商丘·期末）如图是一个湖泊，C是湖泊外的一块田地，现欲挖一条水渠从湖泊AB将水引到C处．问：从湖泊AB的何处开挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由．【答案】沿线段CD开挖，水渠最短；图见解析；理由：垂线段最短．【分析】本题考查了垂线段最短的应用；根据垂线段最短，过点C作CD⊥AB于点【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则沿线段理由是垂线段最短．题型四点到直线的距离16．（22-23七年级下·福建厦门·期末）下列图形是直角三角板与直线的组合，则线段MN的长表示点M到直线l的距离的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本题考查点到直线的距离．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案．【详解】解：线段MN的长表示点M到直线l的距离的是选项A中的图形．故选：A．17．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，点B和C在线段AD上，PC⊥AD，PA=7.2，PB=6，PC=3.6，PD=4.8，则点

A．7.2 B．6 C．4.8 D．3.6【答案】D【分析】由题意即可推出点P到线段AD的距离即为点P到AD的垂线段的长度即为PC的长度．【详解】解：∵PC⊥AD，∴点P到线段AD的距离为3.6．故选D．【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题的关键在于推出点B到AC的距离为BC的长度．18．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，点A在直线m上，点B，C在直线n上，设AB=x，AC=y且无论x取何值，均有

A．点A到直线n的距离是AB的长度 B．点A到直线n的距离是AC的长度C．点B到直线m的距离是AB的长度 D．点C到直线m的距离是AC的长度【答案】B【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解．【详解】解：∵AB=x，AC=y且无论∴点A到直线n的距离是AC的长度，故选：B．【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键．19．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，三角形ABC的面积为15，AB的长为5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是．

【答案】6【分析】根据垂线段最短即可求解．【详解】解：作CD

S△解得：CD由垂线段最短可知：线段PC的最小值是6故答案为：6【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可．20．（22-23七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB=4米，AC=6米，则点A到DE的距离d可能为

【答案】3米（答案不唯一）【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案．【详解】解：∵AB=4米，AC∴点A到DE的距离d小于或等于4米，∴点A到DE的距离d可能为3米（答案不唯一）．故答案为：3米（答案不唯一）．【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义．21．（21-22七年级上·吉林长春·期末）如图，平面上两点C、D在直线AB的同侧，按下列要求画图并填空．（1）画直线AC；（2）画射线CD；（3）画线段BD；（4）过点D画垂线段DF⊥AB，垂足为F；（5）点D到直线AB的距离是线段的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）DF【分析】（1）连接AC并向两端延长即可；（2）连接CD并延长CD即可；（3）连接BD即可；（4）过D作线段DF⊥AB，垂足为F；（5）根据垂线段的长度是点到直线的距离解答即可．【详解】解：（1）直线AC如图所示；（2）射线CD如图所示；（3）线段BD如图所示；（4）垂线段DF如图所示；（5）垂线段DF的长是点D到直线AB的距离，故答案为：DF．【点睛】本题考查画直线、射线、线段、垂线段、点到直线的距离，熟练掌握基本作图方法，理解点到直线的距离的定义是解答的关键．题型五已知线段垂直求解相关角度问题22．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OD平分∠BOF，∠BOF=60°【答案】∠AOC=30°【分析】本题考查垂直的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数．利用角平分线的定义求出∠BOD的度数，利用对顶角的性质求出∠AOC的度数，利用垂直的定义求出∠DOE【详解】解：∵OD平分∠BOF，∠∴∠BOD∵∠AOC和∠∴∠AOC∵OE⊥∴∠DOE∴∠BOE23．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF(1)图中∠AOF的余角是__________(2)如果∠1=20°，求∠2和∠3的度数．【答案】(1)∠AOD，(2)40°，50°【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系；熟练掌握对顶角相等的性质和角平分线的定义是解决问题的关键．（1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果；（2）由角平分线的定义求出∠AOD，由对顶角相等得出∠2的度数，再由角的互余关系即可求出∠3【详解】（1）解：∵OF⊥∴∠COF∴∠AOF∴∠AOF的余角是∠AOD，故答案为：∠AOD，∠（2）∵OE平分∠AOD∴∠AOD∴∠2=∠AOD∴∠3=90°-∠2=50°．24．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分(1)若∠AOE=40°，求(2)若∠AOE=α，求∠【答案】(1)20°(2)1【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键．（1）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD（2）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD【详解】（1）解：∵直线EF，CD相交于点O，∴∠AOE∵∠AOE∴∠AOF又∵OC平分∠AOF∴∠FOC∴∠EOD∵OA⊥∴∠AOB∴∠BOE∴∠BOD（2）解：∵直线EF，CD相交于点O，∴∠AOE∵∠AOE∴∠AOF又∵OC平分∠AOF∴∠FOC∴∠EOD∵OA⊥∴∠AOB∴∠BOE∴∠BOD25．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O是直线AB上的一点，射线OC，OD在直线AB的异侧，已知OC⊥OD，OE平分

(1)若∠BOD=40°，求(2)∠AOE与∠BOD是否有可能成为对顶角？若有可能，请求出【答案】(1)65°(2)不可能，理由见解析【分析】本题主要考查了对顶角的性质，垂线定义理解，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关性质，数形结合．（1）根据∠BOC与∠BOD互余可得∠BOD（2）根据对顶角相等可得∠BOD+∠BOC+∠COE=180°，再根据∠BOC【详解】（1）解：∵OC⊥∴∠BOC∴∠BOC∴∠AOC∵OE平分∠AOC∴∠AOE（2）解：∠AOE与∠当∠AOE=∠BOD∵OE平分∠AOC∴∠AOE∴∠BOD∵OC⊥∴∠BOC∴∠BOC∴∠BOC与∠BOD∴∠AOE与∠26．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC(1)如图1，则∠AOC的度数为°(2)如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM(3)在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求【答案】(1)70(2)55°(3)55°或165°【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可；（2）首先由（1）可知∠AOC=70°，结合垂直的定义可得∠COD=90°，再结合角平分线的定义可得（3）由（2）知∠AOM=35°，结合∠BOP与∠AOM互余，可求得∠BOP=55°，然后分射线OP在【详解】（1）解：∵∠BOC∴∠AOC故答案为：70；（2）由（1）可知，∠AOC∵OD⊥∴∠COD∵OM为∠AOC∴∠COM∴∠MOD（3）由（2）知∠AOM∵∠BOP与∠∴∠BOP∠BOP当射线OP在∠BOC∠COP=∠当射线OP在∠BOC∠COP=∠综上所述，∠COP的度数为55°或165°【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．1．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的方格纸中，每小方格的边长都为1cm(1)在点A的正东方向取一点B，使A、B两点间的距离为4cm(2)过点A画直线AB的垂线．(3)在点A的正北方向取点C，使AC=(4)以点A为端点，画A点的北偏东45°方向的射线交BC于D点．(5)过点D画直线AB的平行线交AC于点E．(6)在线段AB上取一点F，使得AF=3FB，并画射线(7)写出图中∠ACD的一个同位角，点B到直线AC的距离(8)用数字1在图上标出∠CDE的对顶角，用数字2标出∠【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析(5)见解析(6)见解析(7)∠AEF（答案不唯一），(8)见解析【分析】本题主要考查了根据题意画图，同时考查了同位角、对顶角的概念，难度适中．（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据要求画图，正确表示题干要求，再根据同位角、对顶角、邻补角的概念从图中找出即可．【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求；（2）解：如图，直线l即为所求；（3）解：如图，线段AC即为所求（4）解：如图，射线AD，点D即为所求；（5）解：如图，直线DE即为所求；（6）如图，射线EF即为所求；（7）解：图中∠ACD的一个同位角∠AEF，点B到直线AC故答案为：∠AEF（答案不唯一），4（8）解：如图，∠1，2．（22-23七年级上·北京昌平·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；(2)若在公路BN上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；(3)当一节火车头行驶至铁路AB上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)B【分析】（1）根据两点之间线段最短作图即可；（2）取BN中点即可；（3）作N到AB的垂线段即可；（4）直接根据图作答即可．【详解】（1）理由：两点之间线段最短．（2）（3）（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，故答案为：B．【点睛】本题考查了线段中点问题，最短距离问题，熟练掌握各知识点是解题的关键．3．（22-23七年级上·江苏徐州·期末）在如图所示的方格纸中，C是∠AOB的边OB(1)过点C画OB的垂线，交OA于点D，该垂线是否经过格点？若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点；(2)过点C画OA的垂线，垂足为E．①线段CE的长度是点C到______的距离，______是点D到OB的距离；②线段CD、CE、OD、OC的大小关系是______（用“<”号连接），依据是：______．(3)过点D画直线MN⊥CD，若∠ODM=x°【答案】(1)画图见解析，经过格点D、G、H(2)①OA，CD；②CE<(3)(90-x)°【分析】（1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论；（2）根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果；（3）根据平行线的性质作出图形后，再根据余角的定义即可解答．【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点D、G、H．（2）解：如图所示，①∵CE⊥OA∴线段CE的长度是点C到OA的距离，CD是点D到OB的距离；故答案为：OA，CD；②如图，∵CD⊥OC∴CD∵CE∴CE∴CE依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（3）解：如图所示，∵CD⊥MN∴∠ODC=(90-x故答案为：(90-x)°或【点睛】此题考查的是尺规作图，掌握中垂线的性质及勾股定理是解决此题的关键．4．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点O在直线EF上，点A、B