华师大（2024）数学八上12.4.2 线段垂直平分线 教学设计

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）12.4.2线段垂直平分线教学设计学科数学年级八年级课型新授课单元第十二章课题12.4.2线段垂直平分线课时1课时课标要求通过本节课的学习，理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。探索并证明线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何证明、计算及作图问题，在探索与应用过程中，体会数形结合思想和转化思想，发展几何直观和逻辑推理能力。教材分析《线段垂直平分线》是华师大版八年级上册第12章“轴对称”第4节第2课时的内容，是在学生学习了轴对称图形、互逆命题和互逆定理等知识的基础上进行的。本节课既是对轴对称性质的具体应用，也是后续学习角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆的相关知识（如圆的半径性质）的重要铺垫，在整个几何知识体系中起着承上启下的关键作用。学情分析八年级学生已经掌握了轴对称图形的概念和性质，理解互逆命题与互逆定理的关系，熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明，具备了一定的几何直观、动手操作能力和初步的逻辑推理能力。在之前的学习中，学生已经经历过“观察—猜想—证明—应用”的几何探究过程，对几何定理的探究方法有了一定的了解，这为本节课的学习奠定了知识和方法基础。核心素养目标1.通过对线段垂直平分线折叠操作的观察，抽象出线段垂直平分线的概念，明确其“垂直于线段且平分线段”的本质特征。2.通过折叠、尺规作图等动手操作，直观感知线段垂直平分线的对称性和“点到线段两端距离相等”的性质，结合图形理解性质与判定的几何意义，发展几何直观能力。3.经历“观察—猜想—验证—证明”的过程，运用全等三角形的判定与性质证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，培养演绎推理能力；能综合运用两个定理解决几何证明和计算问题，提升逻辑推理的综合性和严谨性。教学重点线段垂直平分线的性质定理与判定定理.教学难点线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的综合运用.教学准备多媒体课件、学习资料教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、引新【想一想】如图，直线CD垂直平分线段AB，在直线CD上任取一点M，连结MA与MB，想一想，如果我们把线段AB沿直线CD对折，线段MA与MB会重合吗？理解线段垂直平分线的概念，在练习本上画出线段及其垂直平分线，标注中点和垂直符号，明确“垂直”和“平分”的双重特征。让学生感受线段垂直平分线在生活中的应用价值，为后续性质探究奠定情境基础；通过画图直观呈现概念，强化学生对“垂直”和“平分”两个核心特征的理解。二、探究探究线段垂直平分线的性质定理我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合。于是有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点.求证：PA=PB.分析：图中有Rt△APC和Rt△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB.证明：∵MN⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°，在△ACP和△BCP中，∵AC=BC，∠ACP=∠BCP=90°，PC=PC，∴△ACP≌△BCP，∴PA=PB.如图：如果改变点P的位置，那么PA还等于PB吗？线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.数学语言：∵MN垂直平分AB，∴PA=PB.【例】如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AB=8，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E和点D，△AEC的周长为13，求AC的长.解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB∴13=8+AC，∴AC=5.探究线段垂直平分线性质定理的逆定理【探索】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？想一想：上述填写的逆命题是否是一个真命题？已知：如图，QA=QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.证明：如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C. ∵QA=QB，QC⊥AB，∴AC=CB(等腰三角形的三线合一).∴点Q在线段AB的垂直平分线上.于是就有定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.数学语言：∵PA=PB，CA=CB，∴PC垂直平分AB.探究三角形三边的垂直平分线相交于一点上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.从图中可以看出，要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.试试看，现在你会证明了吗？证明：∵l是AB的垂直平分线，m是BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∴OA=OC ，∴点O在AC的垂直平分线n上，即AB、AC、BC的垂直平分线相交于点O.小组内交流操作结果，统一猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。明确已知和求证，回顾证明线段相等的常用方法（全等三角形）。跟随教师分析全等三角形的条件，理解证明思路。理解性质定理的文字表述和符号语言，明确定理的本质。对比性质与判定的条件和结论，梳理二者的区别与联系，明确“由线定距用性质，由距定线用判定”的应用规律。让学生从直观层面充分感知线段垂直平分线的性质，为后续演绎证明提供坚实的直观基础；小组交流和动画演示，确保全体学生达成一致猜想，培养学生的合情推理能力。从直观猜想过渡到演绎证明，培养学生的逻辑推理能力，体现几何证明的严谨性；规范证明过程，培养学生的逻辑表达能力。性质与判定的对比，帮助学生理清知识脉络，避免应用时混淆，强化对定理“条件与结论”对应关系的理解。三、尝试【知识技能类作业】必做题：1.如图，PQ是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是(B）.A.AP=BP B.BQ=AP C.AB=AP D.PQ=BQ 2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连结BD.若AC=8，CD=5，则BD=__3___.3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=10°，则∠C的度数是___40°___.4.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则(D).A.点P在∠ABC的平分线上B.点P在∠ACB的平分线上C.点P在边AB的垂直平分线上D.点P在边BC的垂直平分线上【知识技能类作业】选做题：5.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地.为均衡服务A，B，C三地，高铁站需建在到三地距离相等的位置，其选址应为(A).A.AB，BC两边垂直平分线的交点处B.AB，BC两边高线的交点处C.AB，BC两边中线的交点处D.∠B，∠C两内角的平分线的交点处6.如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD=CD，点P是直线a上一动点，连结PB，PC.若AB=5，AC=6，BC=3，则△PBC周长的最小值是__8____.【综合拓展类作业】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E.(1)已知△ADE的周长是7cm，求BC的长；解：∵DM是AB的垂直平分线，∴DA=DB.∵EN是AC的垂直平分线，∴EA=EC.∵△ADE的周长为7cm，∴AD+DE+AE=7cm，∴BD+DE+EC=7cm，∴BC=7cm.(2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数.解：∵DA=DB，∴∠B=∠DAB=30°，∵EA=EC，∴∠C=EAC=40°.∴∠DAE=180°-∠B-∠BAD-∠C-∠EAC=40°.独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。五、提升适时小结，兴趣延伸1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.3.三角形三边的垂直平分线交于一点.认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。

帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。板书设计12.4.2线段垂直平分线1.线段垂直平分线2.线段垂直平分线逆定理3.例题讲解利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。作业设计1.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，连结AD，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(D).A.10cm B.12cm C.14cm D.15cm2.如图是一块三角形的草坪，点A，B，C处各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在(A).A.三边的垂直平分线的交点上B.三条角平分线的交点上C.三条高所在直线的交点上D.三条中线的交点上【知识技能类作业】选做题：3.风筝又称“纸鸢”，距今已有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB=AD，BC=CD，AC=90cm，BD=60cm，则制作这个风筝需要的布料至少为____2700_____cm2.4.如图，直线l与线段AB相交于点O，点P在直线l上，且PA=PB，则下列结论正确的有(A).①AO=BO；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【综合拓展类作业】5.如图，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上.证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC.∵AB+BD