考题猜想02平面图形的认识(二)(拔尖必刷52题17种题型)(原卷版+解析)

猜题02平面图形的认识（二）（拔尖必刷52题17种题型专项训练）根据平行线的性质探究角的关系平行线与三角板综合利用平行线的性质与判定解决角的定值问题利用平行线之间的距离解决实际问题利用三角形的三边关系进行化简利用网格求三角形的面积与平行线有关的三角形角计算问题与角平分线有关的三角形角计算问题双角平分线模型与折叠有关的三角形、平行线的计算三角板拼接模型与三角形角度计算有关的动点问题与三角形角度计算有关的新定义问题复杂多边形的内角和平面镶嵌一．根据平行线的性质探究角的关系（共3小题）1．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°．(1)如图1，当P点在EF的左侧时，若∠AEP=20°，∠PFC=30°，则∠EPF=；(2)如图2，当P点在EF的右侧时，猜想∠AEP，∠EPF，∠PFC(3)如图3，点P在EF左侧，且∠EPF=100°，∠PEB和∠PFD的角平分线QE，QF交于点Q，∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，(1)如图1，当点P在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______；如图2，当点P在(2)如图3，若点P，Q都在EF的左侧，且EP，FP分别平分∠AEQ，∠CFQ，则(3)如图4，若点P在EF的左侧，点Q在EF的右侧且EP，FP分别平分∠AEQ，∠CFQ，3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，AB∥CD，G为(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：(2)如图2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点(3)如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与二．平行线与三角板综合（共3小题）4．（22-23七年级下·广西贵港·期末）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线AB、CD和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线AB∥CD和一副直角三角板．

【操作判断】如图1，小华把一个三角板45°角的顶点F、G分别放在直线AB、CD上，请直接写出∠AFE与∠CGE的数量关系______．【迁移探究】如图2，小睿把一个三角板60°角的顶点F放在直线AB上，若∠2=73∠1【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板60°角的顶点，放在E处，即∠MEN=60°（如图3），∠FEN与∠MEG的平分线EP，EQ分别交AB、CD于点P，Q，将含60°角的三角板绕点E转动，使EG始终在∠MEN的内部，请问：∠APE+∠CQE的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．5．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD=α．将一个直角三角板PMN按如图1所示放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，已知(1)若∠ANM=100°，则∠PMD的度数为；(2)若∠ANM=∠EHM+∠PMN，对PM∥(3)如图2，已知∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．①当NO∥EF，PM∥②现将三角板PMN保持PM∥EF，并沿直线CD向左平移，在平移的过程中，直接写出∠MON的度数（用含6．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图、已知∠BDC=40°，∠ABC=100°，且线段DB的延长线BF平分∠ABC的邻补角∠ABE．

(1)求证：AB∥CD；(2)若射线DB绕点D以每秒1°的速度逆时针方向旋转得DB'，同时，射线BA绕点B以每秒2°的速度逆时针方向旋转得BA'，DB'和①当50<t<70，且∠BGD=100°时，求t的值；②当0<t<70，∠BGD=9∠CDG，则t的值是___________．三．利用平行线的性质与判定解决角的定值问题（共3小题）7．（18-19七年级下·山东济南·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．

(1)∠CBD=__________°；(2)当点P运动时，∠APB∠ADB(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．8．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图①，点A、点B分别在直线EF和直线MN上，EF∥MN，∠ABN=45°，射线AC从射线AF的位置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线BD从射线BM的位置开始，绕点B以每秒6°的速度顺时针旋转，射线BD旋转到BN的位置时，两者停止运动．设旋转时间为

(1)∠BAF=______°；(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在转动过程中，若射线AC与射线BD交于点H，过点H做HK⊥BD交直线AF于点K，∠AHK∠ABH9．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．

(1)如图①，∠DPC=度；(2)如图②，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始绕点P按逆时针方向旋转一周，旋转过程中，当PC∥BD时，旋转角为多少度？(3)如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速6°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速4°/秒(PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动)．问：两个三角板旋转过程中，∠CPD∠BPN四．利用平行线之间的距离解决实际问题（共3小题）10．（20-21七年级下·上海·期中）解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有______与(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点11．（22-23七年级下·江苏南京·期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点．问题1：如图1：AD是△ABC的中线，求证：S问题2：如图2：AD∥BC问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积：（1）如图3：在四边形ABCD，小孙同学的辅助线：①连接对角线AC，②作DE∥AC交BC的延长线于E；③取BE的中点M，则直线AM为所求直线．（2）如图4：在四边形ABCD，小悟同学的辅助线：①连接对角线AC和BD；②取BD的中点O，③连接OA、OC；④过点O作AC的平行线与四边形ABCD的边CD交点于P，则直线下面就请你完成小孙和小悟的证明．问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形ABCDE，请你也尝试画一画吧！（保作图痕迹并写出作图方法）12．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，直线AD∥直线BC，则S△ABC______S（2）如图2，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，在线段BC上确定点F，使AF等分△ABC的面积（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图3，小明家有一块三角形种植地ABC，按照建设规划，要将种植地移到长方形区域内，为了补偿小明家，划拨给小明家的新的种植地的面积是原来的两倍，并且还保留种植地为三角形的形状，请作出变动后的△BDE

五．利用平行线的性质与判定解决动点问题（共3小题）13．（22-23七年级下·天津西青·期末）已知直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，EG平分∠AEF交直线CD于点G，且∠FEG=∠FGE，点H是射线GD上的一个动点（不与点G，F重合），EM平分∠FEH，交直线CD于点M，过点M作MN∥EG，交AB于点N，设∠EMN=α，

(1)如图①，求证AB∥(2)如图②，当点H在点F的右侧时，β=50°，求α的度数．14．（22-23七年级下·甘肃陇南·期末）综合与探究：如图，已知直线l1∥l2，直线l与直线l1，l2分别交于点C和点D，点P是直线l上一动点，点A在直线l1上，点B在直线l

(1)如图1，当P点在线段CD（不含端点C和D）上运动时，若∠PAC=20°，∠PBD=50°，则∠APB=______°，请你猜想∠APB，∠PAC，∠PBD三个角的数量关系______；（直接写出猜想结果，无需证明）(2)如图2，当点P运动到直线l1上方时，若∠PAC=m°，∠PBD=n°，则∠APB=______°；（用含有m，n(3)如图3，当点P运动到直线l2下方时，猜想∠PAC，∠PBD和∠APB15．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM=∠EMF．

(1)求证：AB∥(2)点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN=α，①如图2，当点G在点F的右侧时，若β=70°，求α的值，并说明理由；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．六．利用三角形的三边关系进行化简（共2小题）16．（22-23七年级下·甘肃兰州·期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a−b−c|+|b−c−a|+|c+a−b|．17．（22-23七年级下·四川成都·期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．(1)化简：a−b+c−(2)若a2+b2−4a−10b+29=0七．利用网格求三角形的面积（共2小题）18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图为8×9的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的三个顶点均在格点上．按要求画图：(1)画出△ABC的边BC上的高AD；(2)连接格点，用一条线段将△ABC分成面积相等的两部分；(3)直接写出△ABC的面积________．19．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．(1)△ABC的面积为；(2)将△ABC平移后得到△A'B'C'，图中标出了点(3)连接AA'、(4)点P为格点，且S△PBC=S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的八．利用三角形中线求面积（共3小题）20．（20-21七年级下·江苏盐城·期中）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在的直线交于点；②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE，AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）．【综合应用】（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．①若∠ABC=80°,∠C=30°，则∠EBD=；②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系；【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点BM＝14BC，N是AC的中点，若三角形ABC的面积是m21．（22-23七年级下·江西萍乡·期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD理由：因为AD是△ABC边BC上的中线，所以BD=CD．又因为S△ABD=12BD×AH所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，△ABC的面积为a．(1)如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=(2)如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=拓展应用：(4)如图5，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为8a，则△BEF的面积为（用含a的代数式表示），并写出理由．22．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．①若AD是△ABC的中线，求证：S△APB②若BD=3DC，则S△APB【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．①求证：S△HDG②若S四边形ABCD=3九．与平行线有关的三角形角计算问题（共4小题）27．（22-23七年级上·四川宜宾·阶段练习）问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当∠A=60∘时，求证：(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，当∠A=40∘则当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．28．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A=50°．则(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=80°，则(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF=α，29．（22-23八年级上·山东青岛·期末）探究题(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是______；(2)如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P=______；(3)如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=70°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；(4)如图4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=1430．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．

(1)如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；(2)如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（1）问的条件下，若∠APE=45°，∠MND=75°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t十．与角平分线有关的三角形角计算问题（共4小题）27．（22-23七年级上·四川宜宾·阶段练习）问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当∠A=60∘时，求证：(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，当∠A=40∘则当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．28．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A=50°．则(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=80°，则(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF=α，29．（22-23八年级上·山东青岛·期末）探究题(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是______；(2)如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P=______；(3)如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=70°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；(4)如图4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=1430．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．

(1)如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；(2)如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（1）问的条件下，若∠APE=45°，∠MND=75°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t十一．双角平分线模型（共3小题）31．（22-23七年级下·河南周口·期末）【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P=1【变式应用】（2）如图2，∠MON=90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON=90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．

32．（22-23七年级下·四川乐山·期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，PB平分∠MBC，延长AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC=α，∠ACB=β，∠BPC=θ，求证：α=α+β（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，求证：θ=α+β（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF=α，∠ACB=β，∠BPF=θ，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．

33．（22-23七年级下·河南信阳·期末）【情景引入】：（1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明∠D=90°+1【深入探究】：（2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是______；②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是______．【拓展应用】：（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．①∠A=80°，则∠F的度数为______；②∠F=n°，则∠A的度数为______．

十二．与折叠有关的三角形、平行线的计算（共4小题）34．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD是一条两边互相平行的纸带，将其沿着EG折叠，使得点B，C分别落在点H，I处，EH与DG相交于点F，若∠EGF=56°，求∠EFD的度数．35．（22-23七年级下·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C'，D'，将四边形ABFE沿直线EF折叠，点A，B的对应点为A'

(1)若C'、D'在直线AD的上方，当α=50°且满足C'(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明(3)在点G，H运动的过程中，若C'H∥B'36．（23-24七年级上·广东深圳·期末）小明同学喜欢玩折纸游戏，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他用长方形纸片研究折纸过程中角的变化．他在长方形纸片ABCD的边AD上找到一点E，边BC上找到一点F，连接EF，沿着EF进行第一次折叠（如图1），使得D点落在D'处，C点落在C图1

(1)若小明经过测量得到∠CFE=57∘，则∠BFC(2)小明改变点E和F的位置重新折叠，第一次折叠后，将纸片沿着直线FC'进行第二次折叠，使得B点落在B'处（如图2，B'F落在EF

图2(3)小明用一张新长方形纸片折成一架纸飞机，步骤如下图所示：小明在步骤3时测得∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，在步骤5折叠机翼时，将机翼部分ABED沿折痕BE折叠，使得∠CBE=13∠ABC，折痕BE交AC于点F37．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF(1)如图1，当点P落在BC上时，求∠BEP(2)如图2，当PF⊥AC时，求∠AEF十三．三角板拼接模型（共3小题）38．（22-23七年级下·湖北恩施·期中）将一幅三角板按如图方式抎放，即两个直角顶点重合，且OC在直角三角板ABO的内部．直角三角板COD在直线AO的上方．请你完成下列问题的解答：

(1)探究∠AOC与∠BOD的数量关系；(2)探究∠BOC与∠AOD的数量关系；(3)当∠BOC的大小变化时，“这一对三角板是否存在一组边平行？若存在，请求出∠AOC的大小，若不存在，请你简单说明理由．39．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图1，将一副三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°)．(1)当α=度时，AD⊥BC；当α=度时，AD∥BC；(2)当α的度数是45°时，图中互相平行的线段是；当α的度数是135°时，图中互相平行的线段是；当α的度数是150°时，图中互相平行的线段是；(3)当0°<α<45°，连接BD，如图4，在探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数是否会发生变化时，小亮发现利用五角星ABECD五个角的和很容易证明，请给出你的结论并进行证明．

40．（22-23七年级下·四川·期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

(1)将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图2，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；(2)将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，边CD恰好与边MN平行？十四．与三角形角度计算有关的动点问题（共3小题）41．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，D、E分别在△ABC边AB、AC上，∠CBD=∠CDB,DE∥BC,∠CDE的角平分线交AC于F．(1)如图1，求∠BDF的度数．(2)如图2，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数；(3)如图3，H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，∠DEC+∠DMH∠DNI42．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）【初步探究】（1）如图1，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，且∠EBC+∠ECD=90°．求证：AB∥CD．请把下面的证明过程补充完整：证明：∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠ABC=2∠EBC，∠BCD=2∠ECB=2．又∵∠EBC+∠ECD=90°，∴∠ABC+∠BCD=2=．∴AB∥CD（）．【类比探究】（2）如图2，已知∠EFG=∠HGF+∠CEF，写出EC与GH的位置关系，并说明理由．【拓展探究】（3）在（2）的条件下，如图3，若EF平分∠GEC，GF平分∠EGH，N是线段CE上的一个动点（不与点C、E重合），MG平分∠EGN，MG交EF于点Q．①请直接写出∠FGN，∠EGQ，∠EQM之间的数量关系；②试说明∠GEC+∠ENG+∠EGN=180°．43．（20-21八年级上·安徽阜阳·期中）在△ABC中，∠C=80°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上）．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若点P在边AB上，如图①所示，且∠α=40∘，则∠1+∠2=______(2)若点P在△ABC的外部，如图②所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？说明理由；(3)若点P在△ABC的边BA的延长线上CE<CD，直接写出∠α，∠1，∠2之间的数量关系．十五．与三角形角度计算有关的新定义问题（共3小题）44．（22-23七年级下·广东·期中）【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：α=50°，β=20°，α−β=30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2=90°，则∠1=．(2)如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数．45．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为，△AOB（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．应用拓展：在图2中作出：点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．

46．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在△ABC中，∠A=75°，∠B=25°，则∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”．

【理解】(1)若△ABC为和谐三角形，∠A=140°，则这个三角形中最小的内角为______°；(2)若△ABC为和谐三角形，∠A=90°，则这个三角形中最小的内角为______°；(3)已知∠A是和谐△ABC中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；(4)【应用】如图，△ABC中，AC=BC，∠EBC=13∠ABC，EB交AC于点F，点D是BC延长线上一点，∠ECD=13∠ACD，若∠FCB是和谐十六．复杂多边形的内角和（共3小题）47．（2020九年级·全国·专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．48．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．49．（18-19七年级下·江苏宿迁·期中）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=50②若∠C=420，则∠1+∠2=③探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠8=；③若将n边形A1A2A（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置，探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由.十七．平面镶嵌（共3小题）50．（20-21八年级下·全国·课时练习）请你仿照图中图案的绘制方法设计一个平面镶嵌图，并写一篇小论文与同伴交流你的设计过程和原理．51．（20-21八年级上·福建福州·期中）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．52．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题．(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由；(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由；(3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形)镶嵌成的平面图形，写出验证过程．猜题02平面图形的认识（二）（拔尖必刷52题17种题型专项训练）根据平行线的性质探究角的关系平行线与三角板综合利用平行线的性质与判定解决角的定值问题利用平行线之间的距离解决实际问题利用三角形的三边关系进行化简利用网格求三角形的面积与平行线有关的三角形角计算问题与角平分线有关的三角形角计算问题双角平分线模型与折叠有关的三角形、平行线的计算三角板拼接模型与三角形角度计算有关的动点问题与三角形角度计算有关的新定义问题复杂多边形的内角和平面镶嵌一．根据平行线的性质探究角的关系（共3小题）1．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°．(1)如图1，当P点在EF的左侧时，若∠AEP=20°，∠PFC=30°，则∠EPF=；(2)如图2，当P点在EF的右侧时，猜想∠AEP，∠EPF，∠PFC(3)如图3，点P在EF左侧，且∠EPF=100°，∠PEB和∠PFD的角平分线QE，QF交于点Q，∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ【答案】(1)50°(2)∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°，理由见解析(3)∠E【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．（1）过点P作PM∥AB，证AB∥PM∥CD，则∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，从而得∠EPF=∠AEP+∠PFC，再根据∠AEP=20°，∠PFC=30°可得∠EPF的度数；（2）过点P作PN∥AB，证AB∥PN∥CD，则∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，从而得∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，由此可得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系；（3）由（2）可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，由∠EPF=100°得∠BEP+∠DFP=260°，由角平分线定义得∠BEQ+∠DFQ=12∠BEP+∠DFP=130°，由（1）得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，再由角平分线定义得∠BEQ1+DFQ1【详解】（1）过点P作PM∥AB，如图1所示：∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，∴∠EPM+∠FPM=∠AEP+∠PFC，即∠EPF=∠AEP+∠PFC，∵∠AEP=20°，∠PFC=30°，∴∠EPF=∠AEP+∠PFC=50°，故答案为：50°．（2）∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系是：∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°，理由如下：过点P作PN∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，∴AB∥PN∥CD，∴∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，∴∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，∵∠EPN+∠FPN=∠EPF，∴∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°．（3）由（2）可知：∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，∵∠EPF=100°，∴∠BEP+∠DFP=360°−∠EPF=260°，∵EQ，FQ分别平分∠PEB，∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ=1由（1）可知：∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，∵EQ1，FQ1分别平分∴∠BEQ∴∠EQ同理：∠EQ…，以此类推：∠EQ∴∠EQ2．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，(1)如图1，当点P在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______；如图2，当点P在(2)如图3，若点P，Q都在EF的左侧，且EP，FP分别平分∠AEQ，∠CFQ，则(3)如图4，若点P在EF的左侧，点Q在EF的右侧且EP，FP分别平分∠AEQ，∠CFQ，【答案】(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF(2)∠EQF=2∠EPF(3)∠EQF+2∠EPF=360°，理由见解析【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答此题的关键是是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解平行于同一条直线的两条直线平行，难点是类比思想在解题中的应用．（1）过点P作PH∥AB，根据平行线的性质得AB∥PH∥CD，进而得∠AEP=∠EPH,∠PFC=∠HPF，据此即可得出结论；当点P在EF的右侧时，由上述结论得（2）先由角平分线的定义得∠AEQ=2∠AEP，∠CFQ=2∠CFP，再由（1）的结论得∠EPD=∠AEP+∠CFP,∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，据此即可得出结论；（3）先由角平分线的定义得∠AEQ=2∠AEP，∠CFQ=2∠CFP，再由（1）的结论得∠EPF=∠AEP+∠CFP,∠EQF+∠AEQ+∠CFQ=360°，据此即可得出结论．【详解】（1）解：当点P在EF的左侧时，满足∠AEP+∠PFC=∠EPF．理由如下：过点P作PH∥∴∠AEP=∠EPH,∠PFC=∠HPF,∴∠AEP+∠PFC=∠EPH+∠HPF,即：∠AEP+∠PFC=∠EPF；当点P在EF的右侧时，满足∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°．理由如下：由上述结论得：∠EPF=∠BEP+∠DFP，由平角的定义得：∠BEP=180°−∠AEP,∠DFP=180°−∠PFC,∴∠EPF=180°−∠AEP+180°−∠PFC,∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;故答案为：∠AEP+∠PFC=∠EPF,∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°．（2）∠EQF=2∠EPD，理由如下：∵EP,FP分别平分∠AEQ,∠CFQ，∴∠AEQ=2∠AEP,∠CFQ=2∠CFP，由（1）的结论得：∠EPD=∠AEP+∠CFP,∠EQF=∠AEQ+∠CFQ∴∠EQF=∠AEQ+∠CFQ=2(∠AEP+∠CFP)=2∠EPD，∴∠EPF和∠EQF的数量关系为：∠EQF=2∠EPD；故答案为：∠EQF=2∠EPD．（3）∠EQF+2∠EPF=360°，理由如下：∵EP,FP分别平分∠AEQ,∠CFQ，∴∠AEQ=2∠AEP,∠CFQ=2∠CFP,由（1）的结论得：∠EPF=∠AEP+∠CFP,∠EQF+∠AEQ+∠CFQ=360°,∴∠EQF+2∠AEP+2∠CFP=360°,∴∠EQF+2(∠AEP+∠CFP)=360°,即：∠EQF+2∠EPF=360°．3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，AB∥CD，G为(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：(2)如图2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点(3)如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与【答案】(1)证明见解析；(2)∠EMF+∠ENF=108°，理由见解析；(3)∠FGQ=1【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180°，再利用角平分线的定义可求解∠FEG+∠GFE=90°，进而证明结论；（2）分别过M,N作MG∥AB，NH∥AB，根据平行线的性质可得（3）根据垂线的定义可求得∠FGQ=90°−∠GFQ，再根据角平分线的定义可求解∠FGQ=1本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．【详解】（1）∵AB∥∴∠AEF+∠CFE=180°，∵GE平分∠AEF,GF平分∠EFC，∴∠AEG=∠FEG=12∠AEF∴∠FEG+∠GFE=90°，即EG⊥FG；（2）如图，分别过M,N作MG∥AB，∵AB∥∴AB∥∴∠AEM=∠EMG，∠GMF=∠MFC，∠AEN=∠ENH，∠HNF=∠NFC，∴∠EMF=∠AEM+∠MFC，∠ENF=∠AEN+∠NFC，同理：∠EPF=∠AEP+∠PFC，∴∠EMF+∠ENF=∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，∵EM平分∠AEN，FN平分∠MFC，∴∠AEM=12∠AEN∴∠EMF+∠ENF=∵∠AEP=2∴∠MFC+∠AEN=2∠EMF+∠ENF=（3）∠FGQ=1∵AB∥∴∠EHF+∠CFH=180°，∵GQ⊥MF，∴∠FGQ=90°−∠GFQ，∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，∴∠GFE=12∠EFH∴∠GFQ=1∴∠FGQ=90°−90°−二．平行线与三角板综合（共3小题）4．（22-23七年级下·广西贵港·期末）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线AB、CD和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线AB∥CD和一副直角三角板．

【操作判断】如图1，小华把一个三角板45°角的顶点F、G分别放在直线AB、CD上，请直接写出∠AFE与∠CGE的数量关系______．【迁移探究】如图2，小睿把一个三角板60°角的顶点F放在直线AB上，若∠2=73∠1【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板60°角的顶点，放在E处，即∠MEN=60°（如图3），∠FEN与∠MEG的平分线EP，EQ分别交AB、CD于点P，Q，将含60°角的三角板绕点E转动，使EG始终在∠MEN的内部，请问：∠APE+∠CQE的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．【答案】[操作判断]∠AFE+∠CGE=90°；[迁移探究]∠1=27°；[拓展应用]不变，∠APE+∠CQE=75°，理由见解析【分析】[操作判断]过点E作EH∥AB，则AB∥EH∥CD，从而∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠CGE，进而可得∠AFE与∠CGE的数量关系；[迁移探究]过点E作EH∥AB，则AB∥EH∥CD，从而∠2=∠FEH，∠HEP=∠1，进而可得∠2+∠1=90°，结合∠2=7[拓展应用]过点E作EK∥AB，可证∠APE+∠CQE=∠PEQ，设∠NEG=x°，则∠FEN=90−x【详解】［操作判断］：如图1，过点E作EH∥AB∵AB∥CD，∴AB∥EH∥CD∴∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠CGE，∵∠FEH+∠HEG=90°∴∠AFE+∠CGE=90°

故答案为：∠AFE+∠CGE=90°［迁移探究］：如图2，过点E作EH∥AB∵AB∥CD，∴∴∠2=∠FEH，∠HEP=∠1，∴∠FEH+∠FEG=∠FEP=∴∠2+∠1=∵∠2=7∴73∴∠1=

［拓展应用］：不变，∠APE+∠CQE=理由如下：过点E作EK∵AB∥∴AB∴∠APE=∠PEK，∠CQE=∠KEQ∴∠APE+∠CQE=∠PEK+∠KEQ=∠PEQ设∠NEG=x°，则∠FEN=90−x°∵EP、EQ分别平分∠FEN、∠MEG∴∠FEP=∠PEN=1∠MEQ=∠GEQ=∠PEQ=∠PEG+∠NEG+∠GEQ==45−=75°∴∠APE+∠CQE=∠PEQ=75°

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．5．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD=α．将一个直角三角板PMN按如图1所示放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，已知(1)若∠ANM=100°，则∠PMD的度数为；(2)若∠ANM=∠EHM+∠PMN，对PM∥(3)如图2，已知∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．①当NO∥EF，PM∥②现将三角板PMN保持PM∥EF，并沿直线CD向左平移，在平移的过程中，直接写出∠MON的度数（用含【答案】(1)40°(2)见解析(3)①α=60°；②∠MON的度数为30°+12【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠NMD=∠ANM=100°，根据∠PMN=60°，求出结果即可；（2）根据平行线的性质，得出∠NMD=∠ANM，结合已知条件得出∠PMD=∠EHM，最后根据平行线的判定得出结论即可；（3）①根据NO∥EF，PM∥EF，得出NO∥PM，根据平行线的性质得出∠ONM=∠PMN=60°，根据角平分线的定义，得出∠ANO=∠ONM=60°，根据AB∥②分两种情况：当N在点G的右侧，当点N在G点的左侧，分别画出图形，求出结果即可．【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠NMD=∠ANM=100°，∵∠PMN=60°，∴∠PMD=∠NMD−∠PMN=40°；故答案为：40°．（2）证明：∵AB∥∴∠NMD=∠ANM，∵∠NMD=∠PMN+∠PMD，∴∠ANM=∠PMN+∠PMD，∵∠ANM=∠EHM+∠PMN，∴∠PMD=∠EHM，∴PM∥（3）解：①∵NO∥EF，∴NO∥∴∠ONM=∠PMN=60°，∵NO平分∠MNG，∴∠ANO=∠ONM=60°，∵AB∥∴∠NOM=∠ANO=60°，∵NO∥∴∠EHD=∠NOM=60°，即α=60°；②当N在点G的右侧时，如图所示：∵PM∥EF，∴∠PMD=∠EHD=α，∴∠NMD=∠PMN+∠PMD=60°+α，∵AB∥∴∠GNM=∠NMD=60°+α，∵NO平分∠MNG，∴∠GNO=1∵AB∥∴∠MON=∠GNO=30°+1当点N在G点的左侧时，如图所示：∵PM∥EF，∴∠PMD=∠EHD=α，∴∠NMD=∠PMN+∠PMD=60°+α，∵AB∥∴∠GNM+∠NMD=180°，∴∠GNM=180°−60°−α=120°−α，∵NO平分∠MNG，∴∠GNO=1∵AB∥∴∠MON=∠GNO=60°−1综上分析可知，∠MON的度数为30°+12α【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行公理的应用，解题的关键是数形结合，画出相应的图形，并注意分类讨论．6．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图、已知∠BDC=40°，∠ABC=100°，且线段DB的延长线BF平分∠ABC的邻补角∠ABE．

(1)求证：AB∥CD；(2)若射线DB绕点D以每秒1°的速度逆时针方向旋转得DB'，同时，射线BA绕点B以每秒2°的速度逆时针方向旋转得BA'，DB'和①当50<t<70，且∠BGD=100°时，求t的值；②当0<t<70，∠BGD=9∠CDG，则t的值是___________．【答案】(1)见解析(2)①t=60；②32或50【分析】（1）先求出∠ABE=80°，再由角平分线的定义得到∠ABF=40°，则∠BDC=∠ABF，由此即可证明AB∥CD；（2）①如图所示，过点G作GM∥CD，则AB∥CD∥GM，由平行线的性质得到∠BGM=2t°，∠DGM=∠CDG=t−40°，则∠BGD=100°，得到t+40=100，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作GM∥CD，则AB∥CD∥GM，利用平行线的性质求出∠CDG，∠BGD的度数，然后根据∠BGD=9∠CDG建立方程求解即可．【详解】（1）证明：∵∠ABE是∠ABC的邻补角，∠ABC=100∴∠ABE=180°−∠ABC=80°，又∵BF平分∠ABE．∴∠ABF=1又∵∠BDC=40°，∴∠BDC=∠ABF，∴AB∥CD；（2）解：①∵50<t<70∴100°<∠ABG<140°，如图所示，过点G作GM∥CD，又∵AB∥CD

∴AB∥CD∥GM，∴∠BGM=∠ABG=2t°，∠DGM=∠CDG=t−40∴∠BGD=∠BGM−∠DGM=t+40

又∵∠BGD=100°，∴t+40=100，∴t=60；②如图2-1所示，当0<t≤40时，过点G作GM∥CD，又∵AB∥CD

∴AB∥CD∥GM，∴∠BGM=∠ABG=2t°，∠DGM=∠CDG=40−t∴∠BGD=∠BGM−∠DGM=t+40∵∠BGD=9∠CDG，∴t+40=940−t解得t=32；

如图2-2所示，由（2）①∠CDG=t−40∴∠BGD=t+40∵∠BGD=9∠CDG，∴t+40=9解得t=50；综上所述，t的值为32或50．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键．三．利用平行线的性质与判定解决角的定值问题（共3小题）7．（18-19七年级下·山东济南·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．

(1)∠CBD=__________°；(2)当点P运动时，∠APB∠ADB(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．【答案】(1)60(2)是定值，2(3)30°【分析】（1）根据角平分线的定义，和平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可；（2）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义，进行求解即可；（3）根据平行线的性质，以及∠ACB=∠ABD，推出∠DBN=∠ABC，进而推出2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，即可得解．【详解】（1）解：∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠ABN=180°−∠A=120°，∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠PBC=1∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，∴∠CBD=∠PBC+∠PBD=1故答案为：60．（2）∠APB∠ADB∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，设∠DBN=x，则∠PBN=2∠DBN=2x，∵AM∥∴∠ADB=∠DBN=x，∠APB=∠PBN=2x，∴∠APB（3）∵AM∥∴∠ACB=∠CBN，∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD，∴∠DBN=∠ABC，∵AM∥∴∠ABN+∠A=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=180°−∠A=120°，又∵BC平分∠ABP，∴∠ABP=2∠ABC，由（2）知，∠PBN=2∠DBN，∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，∴2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，∴∠ABC=30°．

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，是解题的关键．8．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图①，点A、点B分别在直线EF和直线MN上，EF∥MN，∠ABN=45°，射线AC从射线AF的位置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线BD从射线BM的位置开始，绕点B以每秒6°的速度顺时针旋转，射线BD旋转到BN的位置时，两者停止运动．设旋转时间为

(1)∠BAF=______°；(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在转动过程中，若射线AC与射线BD交于点H，过点H做HK⊥BD交直线AF于点K，∠AHK∠ABH【答案】(1)135(2)t=20，t=25(3)不变，∠AHK【分析】（1）运用平行线的性质直接解题即可；（2）设射线AC与射线BD所在直线的交点为点P，则∠MBD=6t°，∠FAC=2t°，∠DBN=180°−6t°，过点P作PQ∥EF，由平行线的性质可得∠APB=∠FAC+∠DBN，分两种情况∠APB=80°或∠CPB=80°时分别解题即可；（3）由（2）可得∠APB=180°−4t°，由垂直可得∠AHK=(4t−90)°，又∠ABH=(6t−135)°，直接求比值解题．【详解】（1）解：∵EF∥∴∠FAB+∠ABN=180°，∴∠FAB=180°−∠ABN=180°−45°=135°，故答案为135；

（2）解：设射线AC与射线BD所在直线的交点为点P，旋转时间为t秒时，∠MBD=6t°，∠FAC=2t°，即∠DBN=180°−6t°，①如图，当∠APB=80°时，过点P作PQ∥EF，∵EF∥∴PQ∥EF∥MN，∴∠QPA=∠FAC=2t°，∠QPB=∠DBN=180°−6t°，∴∠APB=∠FAC+∠DBN，即80=2t+180−6t，解得t=25，

②如上图，当∠CPB=80°时，则∠APB=100°，由①可知∠APB=∠FAC+∠DBN，即100=2t+180−6t，解得t=20，综上所述，当t=20，t=25时，射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°，（3）∠AHK∠ABH解：如图，由（2）可知∠APB=∠FAC+∠DBN=2t°+180°−6t°=180°−4t°，∵HK⊥BD，∴∠AHK=90°−∠APB=90°−(180°−4t°)=(4t−90)°，∵∠ABH=∠ABN∴∠AHK∠ABH

【点睛】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键．9．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．

(1)如图①，∠DPC=度；(2)如图②，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始绕点P按逆时针方向旋转一周，旋转过程中，当PC∥BD时，旋转角为多少度？(3)如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速6°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速4°/秒(PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动)．问：两个三角板旋转过程中，∠CPD∠BPN【答案】(1)90(2)30°或210°(3)1【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC=180°−∠CPA−∠DPB，进而求出即可；（2）分情况画出图形，利用平行线的性质可求解；（3）设运动时间为t秒，则∠BPM=4t°，得出∠BPN=180°−4t°，∠DPM=30°−4t°，∠APN=6t°，则∠CPD=90°−2t°，可得出答案．【详解】（1）解：∵∠DPC=180°−∠CPA−∠DPB，∠CPA=60°，∠DPB=30°，∴∠DPC=180°−30°−60°=90°，故答案为：90；（2）解：分两种情况：①如图，

∵PC∥BD，∠DBP=90°，∴∠CPN=∠DBP=90°，∵∠CPA=60°，∴∠APN=30°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为30°；②如图，

∵PC∥BD，∠PBD=90°，∴∠CPB=∠DBP=90°，∵∠CPA=60°，∴∠APM=30°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°=210°；（3）解：为定值．理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM=4t°，∴∠BPN=180°−4t°，∠DPM=30°−4t°，∠APN=6t°，∴∠CPD=180°−∠DPM−∠CPA−∠APN=90°−2t°，∴∠CPD【点睛】此题主要考查了角的计算，旋转及平行线的性质，利用数形结合得出等式是解题的关键．四．利用平行线之间的距离解决实际问题（共3小题）10．（20-21七年级下·上海·期中）解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有______与(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点【答案】(1)△ABP(2)①15；②2(3)图见解析，理由见解析【分析】（1）根据m//n，可得△ABC和（2）①先求出SΔABC=15，再由CE∥AB②先求出SΔABC=221，再由∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，可得AC∥BF（3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得SΔABC=【详解】（1）解：∵m//∴△ABC和△ABP同底等高，则△ABC与△ABP的面积相等；（2）解：①∵BC=6，且BC边上的高为5，∴SΔ∵CE∥∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴SΔ②∵BH⊥AC，AC=4，BH=21∴SΔ∵∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠G=∠GBF=∠BFG=60°，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴SΔ（3）解：如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴SΔ∴S四边形∴S四边形∵SΔ∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．11．（22-23七年级下·江苏南京·期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点．问题1：如图1：AD是△ABC的中线，求证：S问题2：如图2：AD∥BC问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积：（1）如图3：在四边形ABCD，小孙同学的辅助线：①连接对角线AC，②作DE∥AC交BC的延长线于E；③取BE的中点M，则直线AM为所求直线．（2）如图4：在四边形ABCD，小悟同学的辅助线：①连接对角线AC和BD；②取BD的中点O，③连接OA、OC；④过点O作AC的平行线与四边形ABCD的边CD交点于P，则直线下面就请你完成小孙和小悟的证明．问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形ABCDE，请你也尝试画一画吧！（保作图痕迹并写出作图方法）【答案】【问题1】见解析；【问题2】见解析；【问题3】见解析；【问题4】①连接对角线AC和AD；②过点B作BM∥AC，交DC延长线于M；过点E作EN∥AD，交CD延长线于N；③取MN的中点H，则直线AH即为所求．【分析】【问题1】过点A作AP⊥BC于点P，根据等底同高解答，即可；【问题2】分别过点A，D作AK⊥BC,DL⊥BC，垂足分别点K，L，根据等高同底解答，即可；【问题3】（1）根据AC∥DE，可得S△DAC=S△EAC，从而得到S四边形ABCD=S△ABE（2）根据O为BD中点，可得OA平分△ABD的面积，OC平分△CBD的面积，从而得到S四边形ABCO=12S四边形【问题4】①连接对角线AC和AD；②过点B作BM∥AC，交DC延长线于M；过点E作EN∥AD，交CD延长线于N；③取MN的中点H，则直线AH即为所求．【详解】【问题1】证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P，∴S△ABD∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD【问题2】证明：如图，分别过点A，D作AK⊥BC,DL⊥BC，垂足分别点K，L，∴S△ABC∵AD∥∴AK=DL，∴S△ABC【问题3】（1）∵AC∥DE，∴S∴S△ABC+S∵M为BE中点，∴AM平分△ABE的面积，即平分四边形ABCD的面积．（2）∵O为BD中点，∴OA平分△ABD的面积，OC平分△CBD的面积，∴折线A－O－C平分四边形ABCD的面积，即S四边形∵AC∥OP，∴S△OAC∴S△ABC+∴AP平分四边形ABCD的面积；【问题4】解：①连接对角线AC和AD；②过点B作BM∥AC，交DC延长线于M；过点E作EN∥AD，交CD延长线于N；③取MN的中点H，则直线AH即为所求．∵BM∥AC，EN∥AD，∴S△ABC=S∴S△ABC+S∴S△AHM=S∵点H为MN的中点，∴S△AHM∴S四边形即线AH平分五边形ABCDE．【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，根据等底同高或等高同底证得两个三角形的面积线等是解题的关键．12．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，直线AD∥直线BC，则S△ABC______S（2）如图2，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，在线段BC上确定点F，使AF等分△ABC的面积（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图3，小明家有一块三角形种植地ABC，按照建设规划，要将种植地移到长方形区域内，为了补偿小明家，划拨给小明家的新的种植地的面积是原来的两倍，并且还保留种植地为三角形的形状，请作出变动后的△BDE

【答案】（1）=；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等以及同底等高的两个三角形面积相等可得答案；（2）根据三角形的三条中线交于一点作出中线AF，根据三角形的中线平分三角形的面积可知AF等分△ABC的面积；（3）作∠CAM=∠BCA，可得BD∥AM，延长BC至点D，使BC=CD可得BD=2BC，然后在AM上且在长方形的内部取一点E，连接BE，DE，可得△BDE【详解】解：（1）∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC和△DBC同底等高，∴S△ABC故答案为：=；（2）如图2，设CD与BE交于点O，连接AO并延长交BC于F，点F即为所求；

证明：由题意得CD与BE是△ABC的中线，∴AF是△ABC的中线，∴AF等分△ABC的面积；（3）如图3，作∠CAM=∠BCA，延长BC至点D，使BC=CD，然后在AM上且在长方形的内部取一点E，连接BE，DE，则△BDE

证明：由作图知：∠CAM=∠BCA，BD=2BC，∴BD∥∴S△BDE【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的面积公式，三角形中线的性质，尺规作图等知识，熟练掌握基本几何图形的性质，能够将复杂作图转化为一般作图是解题的关键．五．利用平行线的性质与判定解决动点问题（共3小题）13．（22-23七年级下·天津西青·期末）已知直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，EG平分∠AEF交直线CD于点G，且∠FEG=∠FGE，点H是射线GD上的一个动点（不与点G，F重合），EM平分∠FEH，交直线CD于点M，过点M作MN∥EG，交AB于点N，设∠EMN=α，

(1)如图①，求证AB∥(2)如图②，当点H在点F的右侧时，β=50°