2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 复分析中的全纯函数

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——复分析中的全纯函数考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共15分。请将正确选项的字母填在括号内。）1.函数$f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}$在下述哪个点处全纯？（）A.$z=0$B.$z=1$C.$z=-1$D.$z=2$2.若函数$f(z)$在区域$D$内解析，且$f(z)$满足$|f(z)|\leq\frac{1}{|z|^2}$（$z$为$D$内任意异于原点的点），则$f(z)$在$D$内必定是（）。A.恒等于常数B.恒等于零C.全纯函数，但不一定是常数D.非全纯函数3.设$C$是圆周$|z|=2$，则积分$\oint_C\frac{e^z}{z(z+1)}dz$的值为（）。A.$2\pii$B.$-2\pii$C.$0$D.$\pii$4.函数$f(z)=\frac{1}{z(z-1)^2}$在$z=0$处的洛朗级数展开式中，$z^{-1}$项的系数是（）。A.$-1$B.$1$C.$-2$D.$2$5.设$f(z)$在$|z|<1$内解析，且$f(0)=1$，则$f(z)$在$|z|<1$内的泰勒级数展开式中，$z^3$项的系数是（）。A.$0$B.$1$C.$-1$D.$2$二、填空题（每题4分，共20分。请将答案填在横线上。）1.函数$f(z)=\sqrt{z(z-1)}$在$z=0$处解析吗？请说明理由。2.柯西积分定理的内容是：若函数$f(z)$在简单闭曲线$C$及其内部区域$D$上连续，则$\oint_Cf(z)dz=$。3.柯西积分公式的内容是：若函数$f(z)$在简单闭曲线$C$及其内部区域$D$上连续，且$a$是$D$内任意一点，则$f(a)=$。4.若函数$f(z)$在$|z|<1$内解析，且满足$f(0)=1$，则$f(z)$在$|z|<1$内的泰勒级数展开式为。5.留数定理的内容是：设函数$f(z)$在简单闭曲线$C$上及$C$内除有限个孤立奇点$a_1,a_2,\dots,a_n$外处处解析，则$\oint_Cf(z)dz=2\pii\sum_{k=1}^n$。三、计算题（每题10分，共30分。）1.计算积分$\oint_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}dz$，其中$C$是圆周$|z|=1$。2.计算积分$\int_{|z|=2}\frac{z^2+3z+2}{(z-1)^2}dz$，其中$C$是圆周$|z|=2$。3.计算积分$\oint_C\frac{z^2}{(z-1)(z^2+1)}dz$，其中$C$是圆周$|z|=2$。四、证明题（每题15分，共30分。）1.证明：若函数$f(z)$在区域$D$内解析，且满足$f(z_0)=0$，则$f(z)$在$z_0$处可以展开成泰勒级数。2.证明：若函数$f(z)$在区域$D$内解析，且$|f(z)|\leq\frac{M}{|z-z_0|^{k+1}}$（$z$为$D$内任意异于$z_0$的点，$M$和$k$为正数），则$f(z)$在$z_0$处的泰勒级数的收敛半径至少为$|z_0|$。试卷答案一、选择题1.C2.A3.A4.D5.A二、填空题1.不解析。$f(z)=\sqrt{z(z-1)}$在$z=0$处不是单值的。2.03.$\frac{1}{2\pii}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}dz$4.$f(0)+f'(0)z+\frac{f''(0)}{2!}z^2+\dots$5.$\text{Res}(f(z),a_k)$三、计算题1.解析：$f(z)=\frac{z^2+1}{z(z-1)}$在$|z|=1$上及内部除$z=0$和$z=1$外处处解析。$z=0$和$z=1$是奇点。$f(z)=\frac{z^2+1}{z(z-1)}=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z}$。$\text{Res}(f(z),0)=1$。$\text{Res}(f(z),1)=\lim_{z\to1}(z-1)f(z)=\lim_{z\to1}\frac{z^2+1}{z}=2$。由留数定理，$\oint_{|z|=1}f(z)dz=2\pii(\text{Res}(f(z),0)+\text{Res}(f(z),1))=2\pii(1+2)=6\pii$。解析思路：判断奇点，利用部分分式分解，计算留数，应用留数定理。2.解析：$f(z)=\frac{z^2+3z+2}{(z-1)^2}$在$|z|=2$上及内部除$z=1$外处处解析。$z=1$是二阶奇点。$\text{Res}(f(z),1)=\lim_{z\to1}\frac{d}{dz}[(z-1)^2f(z)]=\lim_{z\to1}\frac{d}{dz}(z^2+3z+2)=\lim_{z\to1}(2z+3)=5$。由留数定理，$\int_{|z|=2}f(z)dz=2\pii\text{Res}(f(z),1)=2\pii\cdot5=10\pii$。解析思路：判断奇点，计算二阶奇点的留数，应用留数定理。3.解析：$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z^2+1)}$在$|z|=2$上及内部除$z=1$和$z=\pmi$外处处解析。$z=1$是一阶奇点，$z=\pmi$也是一阶奇点。$\text{Res}(f(z),1)=\lim_{z\to1}(z-1)f(z)=\lim_{z\to1}\frac{z^2}{z^2+1}=\frac{1}{2}$。$\text{Res}(f(z),i)=\lim_{z\toi}(z-i)f(z)=\lim_{z\toi}\frac{z^2}{(z-1)(z+i)}=\frac{i^2}{(i-1)(2i)}=\frac{-1}{(i-1)(2i)}=\frac{-1}{2i-2}=\frac{-1}{2(i-1)}=\frac{-i}{2}-\frac{1}{2}$。$\text{Res}(f(z),-i)=\lim_{z\to-i}(z+i)f(z)=\lim_{z\to-i}\frac{z^2}{(z-1)(z+i)}=\frac{(-i)^2}{(-i-1)(-2i)}=\frac{-1}{(-i-1)(-2i)}=\frac{-1}{2i+2}=\frac{-1}{2(i+1)}=\frac{-i}{2}+\frac{1}{2}$。由留数定理，$\oint_Cf(z)dz=2\pii(\text{Res}(f(z),1)+\text{Res}(f(z),i)+\text{Res}(f(z),-i))=2\pii(\frac{1}{2}+(\frac{-i}{2}-\frac{1}{2})+(\frac{-i}{2}+\frac{1}{2}))=2\pii(\frac{1}{2}-i)=\pii-2\pii^2=\pii+2\pi=3\pii$。解析思路：判断奇点，计算各奇点的留数，应用留数定理。四、证明题1.证明：$f(z)$在$D$内解析，根据泰勒定理，$f(z)$在$z_0$处可以展开成泰勒级数：$f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\frac{f''(z_0)}{2!}(z-z_0)^2+\dots$由于$f(z_0)=0$，所以$f(z)=f'(z_0)(z-z_0)+\frac{f''(z_0)}{2!}(z-z_0)^2+\dots$这就是$f(z)$在$z_0$处的泰勒级数展开式。解析思路：直接应用泰勒级数展开定理。2.证明：根据泰勒级数的收敛半径公式，$f(z)$在$z_0$处的泰勒级数的收敛半径$R$满足：$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$其中$a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$。由于$|f(z)|\leq\frac{M}{|z-z_0|^{k+1}}$，所以对任意$n\gek+1$，有$|a_n|=\left|\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\right|\le\frac{M}{(R)^{k+1}}\cdot\frac{1}{n!R^n}\to0$当$n\to